中3定期テスト 数学の式の展開と因数分解—ワークの計算欄を逆算で点検し符号の誤りを直す｜武蔵野個別指導塾

定数項の符号が合わないワークから、分配法則と乗法公式の選び方を確かめ、因数分解した式を展開して誤りの行まで戻ります。

よくあるのは、提出するワークを丸付けしたところ、文字の項は合っているのに定数項の符号が合わないという場面です。答えを写して丸に変える前に、範囲表の単元とページ、授業で習った式の型、提出条件を見比べましょう。ワークの該当箇所と小テストの計算欄を並べれば、符号を掛ける段階で間違えたのか、因数分解の組を選ぶ段階で間違えたのかを探せます。

範囲表から計算の型を選ぶ

まず、学校から示された範囲表の中で、式の展開と因数分解に当たる欄を探します。ページを見つけたら、ワークの問題番号だけでなく、授業ノートにある解き方も照合します。提出する範囲、丸付けや解き直しの条件は、手元の指示をそのまま確認します。二期制の場合は、表の学期を前期・後期に読み替えて使ってください。

空欄は学校の資料を見ながら埋めます。学期ごとに何を習うかは決めつけず、今回の範囲にある型に印を付けます。授業で扱っていない型を先回りして覚えるより、指定された欄の計算を自分で再現できるか調べましょう。

出方は大きく3つに分けられます。1つ目は、かっこの外の数や文字を各項に掛ける分配法則です。2つ目は、2つのかっこや同じかっこの積を展開する計算です。3つ目は、和や差の形から共通因数や乗法公式を見つけて因数分解する計算です。式の形が似ていても、展開する問題と因数分解する問題では、答えの形が逆になります。

小テストで定数項に誤りがあったら、その問題がどの型に属するかを先に書きます。ワークの同じ型を解き直し、掛け算の符号と途中の足し算を別々に点検します。答えが違った場所を見つけることと、次に自力で正しく書けることは別の段階です。

小テストの符号から、式の向きを確かめる

展開は積の形を、かっこのない和や差の形に直すことです。因数分解は反対に、和や差の形を積の形に直すことです。積を作るそれぞれの式を因数と呼びます。たとえば x² + 5x + 6 は (x + 2)(x + 3) と表せます。右側を展開すると元の左側に戻ります。

図1のように、展開と因数分解の矢印は反対向きです。まず問題文が求める向きを確認し、因数分解した後には展開を検算に使います。式が正しいかを調べるとき、かっこを消す前の形と消した後の形を対応させると、どこで符号が変わったかを追いやすくなります。

共通因数とは、各項に共通して掛かっている数や文字です。6x² − 9x では、どちらの項にも 3x があるので、3x(2x − 3) とくくれます。かっこの外と中を掛け直すと、6x² − 9x に戻ります。共通因数を先に探すと、残ったかっこの中がさらに因数分解できる場合にも気づきやすくなります。

乗法公式を使う前には、式の形を見ます。(a + b)² は a² + 2ab + b²、(a − b)² は a² − 2ab + b² です。最後の項は b を2回掛けるため、どちらも正です。一方、(a + b)(a − b) は a² − b² となり、真ん中の項が消えます。文字 a、b は式の部分を表す記号です。公式に合わせるために符号を勝手に変えることはできません。

因数分解では、これらを右から左へ読みます。ただし、見た目だけで公式を決めないことが肝心です。両端がそれぞれ何の2乗か、中央がその積の2倍に合うかを順に照合します。符号が合わないときは、別の組を探すか、分配法則に戻ります。

小テストの答案を見返すときは、正解の数だけで判断しません。たとえば分配の行が書かれていれば、各項に掛けた後の符号を確認できます。途中式がなく答えだけが違う場合は、元の問題をもう一度解き、掛けた結果を項ごとに残します。どの時点で違いが生じるかがわかれば、その行の計算を練習できます。

公式を選ぶ練習では、問題の式に印を付けます。かっこの2乗なら同じ式を2回掛けることを確認し、和と差の積なら中央の項が打ち消されるかを見ます。公式の形に見えても符号が違うときは、無理に当てはめず分配法則で各項を掛けます。授業で習った書き方と照らし、途中をどこまで記すかも提出条件に合わせましょう。

基本例題：積を作ってから展開で戻す

次の式を因数分解し、積の形で答えましょう。答えを展開し、元の式に戻ることも確かめます。

x² − x − 12

x² の係数が 1 なので、まず (x + □)(x + □) の形を考えます。2つの数を p、q とすると、分配法則から積は x² + (p + q)x + pq です。したがって、探す数の和は -1、積は -12 でなければなりません。

積が負なので、一方は正、もう一方は負です。12 を作る整数の組を調べ、4 と 3 に注目します。-4 と 3 なら、和は -1、積は -12 です。この2つをかっこに入れます。

x² − x − 12 = (x − 4)(x + 3)

図2のように、選んだ数の和が文字の項、積が定数項に対応します。和だけを見て -4 と 3 を選んだつもりにならず、積も確かめると、定数項の符号違いを防げます。

戻し検算では、左のかっこの各項を右のかっこの各項へ掛けます。まず x と x の積は x²、x と 3 の積は 3x です。次に -4 と x の積は -4x、-4 と 3 の積は -12 です。4つを並べ、同じ文字の項をまとめます。

(x − 4)(x + 3) = x² + 3x − 4x − 12
= x² − x − 12

元の式の x² の項、x の項、定数項がそれぞれ一致しました。かっこを入れ替えて (x + 3)(x − 4) と書いても積は同じです。検算で元の式に戻らない場合は、和と積の組の選び方と、展開時の符号を順に見直します。

例えば、和が合うという条件だけで数を決めてしまうと、積が合わない組も残ります。逆に積が -12 という条件だけでは、和が異なる組もあります。2つの条件を同時に満たす組を選ぶことが、計算欄を短くしても省いてはいけない確認です。

少し難しい例題：共通因数を先に見る

次の式を因数分解し、積の形で答えましょう。最後に展開して、問題の式へ戻します。

2x² − 2x − 12

3つの項にはいずれも 2 が共通しています。最初に 2 をくくり、かっこの中を確認します。

2x² − 2x − 12 = 2(x² − x − 6)

各項を 2 で割った結果をかっこの中に書きました。特に最後は -12 を 2 で割るので -6 です。2 を掛け戻せば、かっこの中の各項が元の3項になることも確認できます。

次に、かっこの中で和が -1、積が -6 になる整数を探します。-3 と 2 は、-3 + 2 = -1、-3 × 2 = -6 を満たします。したがって、かっこの中をさらに因数分解できます。

2(x² − x − 6) = 2(x − 3)(x + 2)

これが積の形の答えです。外の 2 を置き忘れないように、最初の行から最後の行まで残します。戻すときは、まず2つのかっこを掛けます。

(x − 3)(x + 2) = x² + 2x − 3x − 6
= x² − x − 6

さらに各項に 2 を掛けると、2x² − 2x − 12 です。問題に与えられた式の全項に戻るので、くくった数も含めて確認できました。途中のかっこの中だけが合っていても、外の数を掛け忘れた答えでは元の式になりません。

この例では共通因数を先に取り出すと、残りの式で和と積を調べられます。共通因数があるかどうかは、先頭の項だけでなく、定数項を含む各項で調べてください。各項に共通していない数を外へ出すと、掛け戻したときに元の式が変わります。

計算を終えた後は、展開した式の同じ種類の項を縦に対応させると照合しやすくなります。2x² は元の2次の項、-2x は文字を1つ含む項、-12 は文字を含まない項です。どれかが一致しなければ、最後の行からさかのぼり、外の 2 を掛けた行と2つのかっこを展開した行を分けて調べます。元の式への戻し方は、答えの形を整える作業と併せて行います。

誤答を計算欄から直す

基本例題の x² − x − 12 に対して、(x − 4)(x − 3) と書いたとします。-4 と -3 の積は正の 12 です。また和は -7 なので、中央の項も元の -x と一致しません。検算で定数項だけを見るのではなく、文字の項も確認する理由がここにあります。

図3のように、誤った2つの数をいったん取り出し、和と積を別々に調べます。符号を両方負にしたことが原因なので、-4 を残してもう一方を正の 3 に直します。和と積がそれぞれ -1 と -12 になることを確かめてから、(x − 4)(x + 3) と書き直します。

別の間違いとして、正しい (x − 4)(x + 3) を展開するとき、最後を +12 とすることもあります。この場合は組の選択ではなく、-4 と +3 の掛け算をした行に原因があります。負の数と正の数の積は負なので -12 です。因数分解の組が違うのか、検算の掛け算が違うのかを分けて直しましょう。

答えを赤で書き換えるだけでは、次に同じ符号を選ぶことがあります。誤った途中式に印を付け、その横に「和」「積」など短い手掛かりを書いて、自力で解き直します。翌日などに元の問題を見て、答えを隠した状態でも再現できるか確かめると、写しただけかどうかを見分けられます。

確かめ問題

次の4問を解き、指定された形で答えてください。問題は先にまとめて解き、下の解答と照合します。因数分解の問題は、解答を展開して問題の式へ戻しましょう。

1. 3x(x − 5) を展開し、かっこのない式で答えましょう。
2. (x + 6)(x − 2) を展開し、同類項をまとめた式で答えましょう。
3. x² + 7x + 10 を因数分解し、積の形で答えましょう。
4. 3x² + 12x + 12 を因数分解し、積の形で答えましょう。

答えと解き方

1. 3x² − 15x です。3x を x に掛けると 3x²、-5 に掛けると -15x です。かっこの2項の両方に掛けたことを確認します。3x をくくり戻すと 3x(x − 5) となり、問題の積に戻ります。

2. x² + 4x − 12 です。順に掛けると x² − 2x + 6x − 12 となります。中央の2項をまとめると 4x です。6 と -2 の和が 4、積が -12 であることからも、問題の2つのかっこに対応していると確かめられます。

3. (x + 5)(x + 2) です。和が 7、積が 10 になる数は 5 と 2 です。展開すると x² + 2x + 5x + 10、つまり x² + 7x + 10 です。和と積を使った選択と、掛け戻した各項を照合します。

4. 3(x + 2)(x + 2)、または 3(x + 2)² です。各項に共通する 3 をくくると 3(x² + 4x + 4) です。かっこの中は x² + 2 × x × 2 + 2² の形なので、同じかっこの積にできます。戻すと 3(x² + 4x + 4) から 3x² + 12x + 12 になり、元の3項に一致します。

丸付けでは答えの数字だけでなく、指定された形も見ます。1と2はかっこを外して同類項をまとめ、3と4は積として残します。4で 3 をくくった後のかっこをそのまま残した場合は、さらに因数分解できるところを探してみましょう。積が元の式に戻ることに加え、共通因数や公式を使い切ったかも見直します。

覚えておくこと

展開は積を和や差に直し、因数分解は積の形に戻します。
共通因数を探し、残りの式にも因数分解できる部分がないか見ます。
数の組は和と積を両方照合し、答えは展開して元の式へ戻します。

提出前の解き直し

範囲表の該当欄に戻り、ワークの指定箇所と提出条件をもう一度照合します。誤答の横に正しい答えがあっても、途中を隠して解けなければ、原因になった行から書き直しましょう。小テストでも同じ符号を間違えていたなら、数の組を選ぶ段階と掛け算の段階のどちらで変わったかを比べます。

お子さまが答えを見れば理解できるのに白紙から進めない場合は、最初に何を探すかを声に出してもらうと、式の型の見分けと計算のどちらにつまずいているかが見えます。個別指導で答案を見るときも、正誤だけでなく、共通因数を書いた行、和と積の選択、掛け戻しの各項を確認します。定数項に戻るまで追うと、符号を直す場所が見えてきます。