高校物理 原子核と放射線—保存する数をそろえて壊変と半減期の問題を解く｜武蔵野個別指導塾

残った核の個数を半分にし、壊変式の核子数と電荷を照合する手順を通して、数の変化から読み解く半減期です。

よくあるのは、半減期が過ぎるたびに最初の個数の半分を引き、2回目には元の核がなくなると答える場面です。半分になる対象は、その区間の始めに残っていた核です。最初の個数と途中の個数を区別して書けば、次に何を半分にするかが見えてきます。原子核の問題では、このように数える対象を決めることが、式を立てる第一歩です。

答案で問われる3つの型

1つ目は、壊変の前後で核子数と電荷をそろえ、できる核種を求める型です。α線やβ⁻線を出すとき、親核の数字がどう変わるかを丸暗記する前に、出ていく粒子も含めて左右を数えます。核種の記号を見たら、上の質量数と下の原子番号がそれぞれ何を数えているかを口に出してみましょう。

2つ目は、残存割合や経過時間を半減期から求める型です。残った親核を求めるのか、壊変した親核を求めるのかで最後の引き算が変わります。娘核の個数を尋ねる場合には、娘核自身の壊変や最初から存在する娘核の扱いも条件として確かめます。

3つ目は、核子の質量の合計と原子核の質量との差から結合エネルギーを求める型です。質量数の保存と、質量そのものの保存は別の話です。核分裂や核融合についても、反応前後で核子数と電荷を照合し、エネルギーの出入りを質量差と結びつけます。

核を数えるときの約束

原子核は陽子と中性子からなり、両者をまとめて核子と呼びます。陽子数を原子番号 Z、核子数を質量数 A とすると、中性子数は A − Z です。核種は元素記号 X を使って、ここでは X(A, Z) と表します。たとえば X(12, 5) は陽子5個、中性子7個の核を表します。同じ原子番号で質量数が異なる核種は同位体です。元素の種類は陽子数で決まり、中性子数は異なります。

図1のように、壊変式では上段の核子数と下段の電荷を別々に数えます。α粒子は陽子2個と中性子2個からなる核なので、核子数4、電荷は陽子2個分です。β⁻線として出る電子は核子ではなく、核子数0、電荷は陽子1個分を正とすると -1 です。β⁻壊変では核内の中性子が陽子に変わり、電子と反ニュートリノが放出されます。反ニュートリノは核子数も電荷も0なので、2つの数の照合には影響しません。

γ線は電磁波で、励起された核がより低いエネルギーの状態に移るときに放出されます。このとき核子数と原子番号は変わりません。α・β⁻・γのいずれも、エネルギーや運動量を含めた保存を満たしますが、核種を決める第一段階では核子数と電荷の2行をそろえると整理できます。

半減期 T は、ある種類の放射性核の個数の期待値が半分になるまでの時間です。多数の核を扱う通常の計算では、この割合を個数に適用します。個々の核がいつ壊変するかを決める時刻ではありません。初めの個数を N₀、時間 t 後に残る個数を N とすると、t が半減期の整数倍 n のとき、N = N₀ × (1/2) の n 回掛けです。残存割合を先に求めれば、初めの個数が変わっても同じ手順を使えます。

基本例題：残った核を次の出発点にする

ある試料には、時刻0に放射性の親核 P が 1600 個あります。P の半減期を条件として 3 日とし、個数は半減期ごとに正確に半分になるものとして扱います。P は1回の壊変で娘核 Q を1個生じ、Q はこの期間に壊変しません。時刻0に Q はありません。9 日後の P の残存個数、壊変した P の個数、Q の個数をそれぞれ整数で求めてください。

図2のように、時刻0、3、6、9 日を区切り、各区間の始めの P を半分にします。初めの 1600 個を毎回引くのではありません。

まず、9 日に含まれる半減期の回数は、同じ日という単位で割って

9 日 ÷ 3 日 = 3 回

です。1回目に残る P は 1600 × 1/2 = 800 個、2回目は 800 × 1/2 = 400 個です。3回目は 400 × 1/2 = 200 個となります。したがって、9 日後の P は 200 個です。まとめて書けば 1600 × 1/2 × 1/2 × 1/2 = 200 個です。

壊変した P は、最初にあった P から残った P を引きます。

1600 − 200 = 1400 個

問題の条件では、壊変1回につき Q が1個でき、Q は消えず、最初にもありません。したがって、Q は 1400 個です。P の残りと Q を足すと 200 + 1400 = 1600 個となり、初めの P の個数に戻ります。この足し算は、1対1で生成し、Q が失われないという今回の条件の下での確認です。

途中の変化も逆に調べます。9 日後の 200 個を2倍すると6日後の 400 個、その2倍が3日後の 800 個、さらに2倍で初めの 1600 個です。半減期ごとに残りを半分にしたという条件に戻ります。逆算は区間の順番を誤った答案を見つける手がかりです。

同じ計算で「9 日後に壊変していない割合」を求めるなら、200 ÷ 1600 = 1/8 です。「壊変した割合」は 1 − 1/8 = 7/8 になります。分母はどちらも時刻0の P の個数です。残存割合をそのまま壊変した割合として書かないよう、何を数えた分子かを言葉で添えます。

逆向きにたどる例題と条件の分かれ目

核種 X(218, 86) が、α壊変を1回、その後β⁻壊変を2回行い、核種 Y になります。β⁻壊変では毎回、電子と反ニュートリノが1個ずつ放出されるものとします。Y の質量数と原子番号を整数で求めてください。さらに、別の試料では親核 R の半減期が 5 日で、経過した日数は半減期の整数倍です。残存割合が 1/16 のときの経過日数を整数で求めてください。

最初に α粒子へ核子数4と電荷2が渡ります。したがって、α壊変後の核は

質量数 218 − 4 = 214、原子番号 86 − 2 = 84

です。次にβ⁻壊変では核子数0、電荷 -1 の電子が出ます。左右の電荷をそろえるには、娘核の原子番号を1増やします。1回目の後は (214, 85)、2回目の後は (214, 86) です。よって Y の質量数は 214、原子番号は 86 です。Y の陽子数は86、中性子数は 214 − 86 = 128 です。

答えを反応全体に戻すと、核子数は 214 + 4 = 218 で初めに一致します。電荷は娘核の 86 に α粒子の 2 と電子2個の -2 を足して 86 となり、初めの原子番号に一致します。反ニュートリノはどちらの合計にも0を加えます。途中の核についても、β⁻壊変の前後で中性子1個が陽子1個に変わるため、核子の合計は変わりません。

R の残存割合は、半減期を1回、2回、3回、4回と経ると順に 1/2、1/4、1/8、1/16 です。必要な回数は4回なので、経過日数は 5 × 4 = 20 日です。20 日を半減期 5 日で割ると4回に戻り、残存割合も条件どおり 1/16 です。

ここでの分かれ目は、割合が親核についてなのか、娘核についてなのかです。親核の残存割合から壊変した割合を求めることはできますが、娘核がその後も壊変するなら、壊変した親核の個数がそのまま現在の娘核の個数にはなりません。最初に娘核がある場合も、その分を数えます。条件が省かれている答案では、両者を同一視する根拠を確認しましょう。

質量欠損は、ばらばらの陽子と中性子の静止質量の和から、できた原子核の静止質量を引いた値です。光の速さを c とすると、結合エネルギーは質量欠損 Δm に対して Δm c² です。核を静止した核子に完全に分けるために必要なエネルギーに対応します。核子数は整数として保存しますが、静止質量の和はエネルギーの出入りに応じて変わり得ます。核の静止質量を使う問題では、原子全体の質量を混ぜずに同じ対象を比較します。

重い核が複数の核に分かれる核分裂と、軽い核が合わさる核融合では、反応前後の核種や放出粒子を含めて核子数と電荷を数えます。反応前の静止質量の合計が反応後より小さい場合まで、必ずエネルギーが放出されるとは言えません。差が正で、ほかにエネルギーの出入りがない条件なら、その差に c² を掛けたエネルギーが運動エネルギーなどに現れます。

誤答を数の意味から直す

図3の誤答は、最初の個数を基準にした半分を毎回引くものです。たとえば初めに 800 個あれば、1回目に 400 個残るところまでは合っています。しかし次にまた 400 個を引くと0個となり、2回目の区間で始めの 400 個が半分残る条件に反します。正しくは 400 × 1/2 = 200 個です。

原因は「最初の半分」という量と「今ある核の半分」という操作を取り違えることです。修正するときは、各区間の矢印に「残りに 1/2 を掛ける」と書きます。2回目の結果を2倍して1回目の個数に戻るか確かめれば、引く数を固定した誤りに気づけます。

壊変式でも、β⁻線の電荷を見落として原子番号が変わらないとする誤答があります。電子を右辺に書き、娘核の原子番号を z とおけば、電荷の保存は親核の原子番号 = z − 1 です。したがって z は親核より1大きくなります。核子数の0と電荷の -1 は異なる数なので、同じ行にまとめずそれぞれ照合します。

自分で試す4問

各問の数字は計算のために置いた条件です。整数または指定された分数で答え、途中の割合や単位も書いてください。

1. 親核 A は時刻0に 960 個あり、半減期は 4 時間です。個数は半減期ごとに正確に半分になるものとします。12 時間後に残る A と壊変した A の個数を整数で求めてください。
2. 核種 B(150, 62) が α壊変を1回行った後、β⁻壊変を1回行います。β⁻壊変では電子と反ニュートリノが出ます。最後の核の質量数と原子番号を整数で求めてください。
3. 親核 C の半減期は 6 日です。C の残存割合が初めの 1/32 になるのは、半減期の整数倍として何日後ですか。また、その時点で壊変した C の割合を既約分数で求めてください。
4. ある核は陽子2個と中性子2個からなります。計算条件として、陽子の質量を 3 単位、中性子の質量を 4 単位、核の質量を 13 単位とします。1 質量単位の質量に c² を掛けたエネルギーを 10 J として、質量欠損を質量単位で、結合エネルギーを J 単位で整数で求めてください。

答えと途中の確認

1. 12 ÷ 4 = 3 回です。残る A は 960 × 1/2 × 1/2 × 1/2 = 120 個、壊変した A は 960 − 120 = 840 個です。途中の残りは 480 個、240 個、120 個で、いずれも直前の半分です。残りと壊変数を足すと初めの 960 個に戻ります。

2. α壊変の後は (150 − 4, 62 − 2) = (146, 60) です。β⁻壊変で質量数は変わらず、原子番号が1増えるので、答えは質量数 146、原子番号 61 です。全体では核子数が 146 + 4 = 150、電荷が 61 + 2 − 1 = 62 となり、初めの B に戻ります。

3. 1/32 は 1/2 を5回掛けた値なので、6 × 5 = 30 日後です。壊変した割合は 1 − 1/32 = 31/32 です。30 ÷ 6 = 5 回で残存割合は 1/32、残存と壊変の割合の和は1となります。

4. 分かれた核子の質量の合計は 2 × 3 + 2 × 4 = 14 質量単位です。核の質量を引くと、質量欠損は 14 − 13 = 1 質量単位です。指定された換算を使い、結合エネルギーは 1 × 10 = 10 J です。逆に 10 J に対応する質量を核の質量に加えると14質量単位となり、分かれた核子の合計に戻ります。

手元に残す要点

• 壊変式は核子数と電荷を別々に左右でそろえます。
• 半減期ごとに、その時点で残る親核に 1/2 を掛けます。
• 娘核の数は生成とその後の壊変、初めの個数を確かめます。
• 質量欠損に c² を掛け、エネルギーの単位までそろえます。

答案のどこで止まったか

最初の1回は合っていて次の区間で0になるなら、区間の始めに残った数を答案の矢印の左に書いてみます。残存数は合っているのに娘核の数が合わない場合は、初めの娘核と生成後の壊変を問題文から拾えているかを見ます。核反応式が合わないときは、粒子の記号ごとに核子数と電荷を2行に分けると、どちらの数え違いかを特定できます。

個別指導で確認するなら、答えの数字だけでなく、どの核を対象にし、何を保存量として立式したかを本人に説明してもらいます。質量欠損では比較した質量の対象とエネルギーの換算条件も答案に戻して確かめます。残りを次の出発点にし、保存する数を粒子ごとにそろえることが、原子核の計算を支えます。