高校情報I 代表値と散らばり—平均と中央値を比べて分布の特徴を説明する｜武蔵野個別指導塾

外れた値が平均に与える影響や四分位数の求め方を、自作データと箱ひげ図でたどり、分布を読む力を磨きます。

よくあるのは、記録の中に周囲から外れた値が1つあり、平均が動く理由を説明できないという場面です。平均と中央値のどちらが正しいかを決めるのではなく、各値が計算にどう関わるかを追うと、違いを言葉にできます。ここでは度数分布と箱ひげ図も使い、数の並びを要約する練習をします。自分の範囲表やノートで、四分位数の求め方や扱うグラフを照らし合わせて読み進めてください。

定期テストで問われる形

1つ目は、並んでいないデータから平均と中央値を計算し、値が変化した後の違いを説明する問題です。平均は合計を使い、中央値は順番を使います。どの値が変わったかと、並べ直した中央がどこかを別々に確認します。

2つ目は、度数分布表や箱ひげ図を完成させ、どの範囲に値が集まっているかを読む問題です。階級の端を含むかどうか、四分位数をどの規則で求めるかが指定されます。図を見て個々の値をすべて復元できるとは限りません。

3つ目は、目的に合うグラフを選ぶ問題です。階級ごとの件数を見るなら度数分布を表すヒストグラム、複数の集団の中央値や広がりを比べるなら箱ひげ図が候補です。選択理由には「何を比べたいか」を添えます。円グラフは全体に対する各分類の割合を示すときに役立ちますが、値の順序や散らばりを読む目的には向きません。

数の並びを要約する道具

平均値は、値の合計をデータの個数で割った値です。各値が合計に入るため、1つの値が大きく変わると、その変化が平均にも反映されます。中央値は、小さい順に並べた中央の値です。個数が偶数なら、中央の2つの値の平均を使います。最大値が変わっても中央の位置と値が変わらなければ、中央値は動きません。

図1のように、平均は合計と個数から、中央値は並べた位置から求めます。同じデータでも注目する情報が違うため、2つを並べると分布の特徴を考えやすくなります。

図1の「並べる」は、中央値を求める前の作業です。平均を計算するときは順序を変えても合計は変わりませんが、中央値では位置が重要です。どちらも単位は元の値と同じです。

度数分布では、値の範囲を階級に区切り、各階級に入るデータの個数を度数と呼びます。例えば「2以上4未満」なら2は入り、4は入りません。隣の階級を「4以上6未満」とすれば、境界の4を重複させず数えられます。各度数の合計が元の個数と一致するかを調べます。

四分位数は、並べたデータをおよそ4つに分ける位置の目安です。以下の問題では、まず全体の中央値を第2四分位数とし、個数が奇数ならその中央の値を除いた前半と後半を作ります。偶数なら全体を同じ個数の前半と後半に分けます。前半の中央値を第1四分位数、後半の中央値を第3四分位数とします。学校で別の規則が指定された場合は、その規則に従ってください。

箱ひげ図は最小値、第1四分位数、中央値、第3四分位数、最大値を使います。ここでは最小値と最大値までひげを伸ばす規則です。箱の長さに当たる第3四分位数と第1四分位数の差は四分位範囲です。箱の中に個々の値が等間隔に並ぶことを意味するわけではありません。箱ひげ図の規則には別の扱いもあるため、問題の指定を先に読みます。

基本例題：1つの記録を変える

自作の練習用データとして、読書時間が 2、4、4、6、14 分の5件あります。14分が24分に変わった場合の平均と中央値を、それぞれ分単位で求め、なぜ変わり方が違うか説明してください。ほかの4件は変わりません。

まず元の合計は 2 + 4 + 4 + 6 + 14 で30分です。

30を5で割り、元の平均は6分です。

小さい順の中央は3番目なので、元の中央値は4分です。

変更後の合計は、元の30から14を引いて24を加え、40分です。

40を5で割り、変更後の平均は8分です。

変更後の並びは 2、4、4、6、24 で、3番目は4分です。

したがって中央値は4分のままです。図2のように、合計は10分増え、その増分を5件で割るので平均は2分増えます。中央の値は変わらないため、中央値は動きません。

図2の結果を元の場面へ戻すと、平均6分を5件分集めた量は30分、平均8分を5件分集めた量は40分です。変えた記録の増加分10分と合計の増加分が一致します。中央値についても、前後とも中央の4分より前に2件、後ろに2件があると位置で確かめられます。同じ値が並ぶ場合も、件数としてそれぞれ数えます。

この例から「中央値は決して変わらない」と覚えるのは危険です。例えば中央付近の値を変えて並びを作り直した結果、中央に来る値が変われば中央値も動きます。平均が大きいことだけで、すべての記録が大きいとも言えません。

少し難しい例題：階級と箱を対応させる

自作の工作時間8件は 1、2、3、4、5、6、7、12 分です。階級を「0以上3未満」「3以上6未満」「6以上9未満」「9以上12以下」とします。各階級の度数、平均、中央値、第1・第3四分位数と四分位範囲を求め、分布を示す図を選んでください。最後の階級だけは12を含みます。

最初の階級には1と2が入り、度数は2です。次には3、4、5が入り3、次には6と7が入り2、最後には12が入り1です。合計は8件で元の個数と一致します。境界の3と6はそれぞれ次の階級に入ります。12は最後の階級の指定によって数えます。

合計は40分なので平均は5分です。8件の中央は4番目と5番目の4分と5分で、中央値は4.5分です。前半は 1、2、3、4、後半は 5、6、7、12 です。前半の中央の2と3の平均から第1四分位数は2.5分、後半の中央の6と7の平均から第3四分位数は6.5分です。四分位範囲は6.5から2.5を引いて4分です。

平均5分を8件に戻すと40分で、各記録の合計と一致します。箱ひげ図は最小1、第1四分位数2.5、中央値4.5、第3四分位数6.5、最大12の順に位置を取ります。四分位範囲4分を第1四分位数に加えると6.5分に戻ります。度数の山を見たいなら階級ごとの度数を示すヒストグラム、別の集団と中央値や広がりを比較したいなら箱ひげ図が適します。箱ひげ図だけから各階級の度数を正確に読むことはできません。

誤答から計算の筋道を直す

基本例題で「14を24に変えると平均は10分増える」と答えたとします。原因は、1件の増分を5件の平均の増分と取り違えたことです。合計は10分増えますが、平均の増分は10を5で割った2分です。図3のように、増えた量を件数に分けてから平均の変化を出します。

図3の2分を元の平均6分に加えると8分です。変更後の合計40分を5件で割った結果とも一致します。「合計が10分増える」と「平均が10分増える」は別の主張です。単位がどちらも分なので、言葉を省くと混同しやすくなります。

もう1つの誤りは、偶数個のデータで中央の片方だけを中央値にすることです。工作時間の例なら4番目の4分だけではなく、5番目の5分も使います。中央の2件の平均が4.5分かを確かめてから前半と後半に分けます。中央値や四分位数が元のデータに実際に含まれない値になる場合もあります。

度数表で合計が合わないときは、境界の値を2回数えた、またはどの階級にも入れなかった可能性があります。各値の所属先を1件ずつ記録して直します。入力が空欄なら0として計算せず、元の記録を確かめます。道具の集計が途中で止まったり不自然な結果を返したりした場合も、出力をそのまま採用せず、入力件数と階級の条件を再確認して手計算と照合します。

練習問題

次のデータはすべて練習用に作ったものです。時間は分で表し、四分位数とひげは先に示した規則を使います。答えは問題をすべて読んでから確かめてください。

問1

折り紙にかかった時間は 3、5、5、7、10 分の5件です。10分を15分に訂正し、他の値は変えません。訂正前後の平均と中央値を分単位で求め、差が生じる理由を説明してください。

問2

作業時間は小さい順に 2、4、6、8、10、12、14 分の7件です。中央値、第1四分位数、第3四分位数、四分位範囲を分単位で求めてください。箱ひげ図を描くための最小値と最大値も答えてください。

問3

移動時間の記録は 0、2、3、5、6、8、9 分です。階級を「0以上3未満」「3以上6未満」「6以上9未満」「9以上12未満」とします。各階級の度数を順に整数で答え、件数が合うことを確かめてください。各階級の人数の分布を見たい場合、箱ひげ図とヒストグラムのどちらを選びますか。

問4

2組の測定値があります。Aは 1、3、5、7、9、Bは 1、4、5、6、9 です。それぞれの中央値と四分位範囲を求め、中央付近の広がりを比較してください。箱ひげ図から個々の値をすべて決められるかも答えてください。

練習の答えと確かめ方

問1の答え

訂正前の合計は30分で、平均は6分です。訂正後は合計35分、平均7分です。中央の3番目は前後とも5分なので、中央値はどちらも5分です。1件が5分増えたため合計が5分増え、その増分を5件で割ると平均は1分増えます。6分を5件分にすると30分、7分を5件分にすると35分で、元の記録の合計に戻ります。

中央値が変わらなかったのは、訂正した最大の値が大きくなっても中央の位置と値が同じだからです。訂正された値そのものを無視したのではなく、並べ直して中央の位置を確認しています。

問2の答え

中央の4番目が8分なので中央値は8分です。中央を除く前半は 2、4、6、後半は 10、12、14 です。それぞれの中央から第1四分位数は4分、第3四分位数は12分、四分位範囲は8分です。最小値は2分、最大値は14分です。

7件の中央の前後には3件ずつあります。前半と後半の各3件でも中央の前後に1件ずつあるため、位置を元の並びに戻して点検できます。4分に四分位範囲8分を足すと12分に戻り、箱の両端とも整合します。

問3の答え

順に2、2、2、1件です。0と2、3と5、6と8、9がそれぞれの階級に入ります。合計7件で元の記録の個数と一致します。3、6、9は前の階級の「未満」に含まれず、次の階級の「以上」に入ります。階級ごとの件数を見たいのでヒストグラムを選びます。

箱ひげ図は中央値や四分位数を比べる目的には使えますが、指定した階級ごとの正確な件数を示す図ではありません。度数を答えるときは、図の形の印象ではなく、境界を含めた数え上げを根拠にします。

問4の答え

どちらも中央の3番目が5なので中央値は5です。Aの前半は1と3、後半は7と9で、第1四分位数は2、第3四分位数は8、四分位範囲は6です。Bの前半は1と4、後半は6と9で、第1四分位数は2.5、第3四分位数は7.5、四分位範囲は5です。中央付近の半分に対応する箱は、四分位範囲の大きいAの方が広いです。

それぞれ第1四分位数に範囲を加えると、Aは8、Bは7.5に戻ります。箱ひげ図は5つの要約値を示しますが、同じ要約値になる元の並びがあり得るため、個々の値をすべて決めることはできません。中央値が同じでも散らばりを比べる必要がある例です。

手元に残す要点

平均は合計を個数で割り、中央値は並べた中央から求めます。 四分位数は問題で指定された分け方を使い、四分位範囲は第3と第1の差です。 度数は境界を確かめ、合計を元の件数に戻します。 箱ひげ図とヒストグラムは、見たい分布の特徴に合わせて選びます。

つまずきの場所を見つけるには

解答を見直すときは、まず並べ替えた列と件数が元の記録と一致するかを見ます。合計と平均は合っているのに中央値が違うなら、中央の位置や偶数個の扱いを声に出して説明してみてください。四分位数が違う場合は、中央を除く規則を使ったか、前半と後半の範囲を線で区切って確かめます。

個別指導で確認するなら、答えだけでなく階級の境界をどちらに入れたか、箱の端をどの値から決めたかを途中の記録と照合します。計算が合っていても説明が難しい場合は、1件の増分、合計の増分、平均の増分を別々に書くと原因を探せます。代表値と散らばりは、元の値に戻して初めて読み取りの根拠が見えます。