高校物理基礎 摩擦とエネルギー—保存できない場合を仕事の式でつなぎ直す｜武蔵野個別指導塾

動摩擦力の仕事を負として数え、速さや停止距離を求める手順から、摩擦の収支をたどります。

よくあるのは、高校生が摩擦のある床を滑る物体にも力学的エネルギー保存の式をそのまま使うという場面です。速さが落ちているのに、水平面だから高さもエネルギーも変わらないと考えると、途中で止まることを説明できません。摩擦がした仕事を式に加えれば、初めと終わりの状態をつなげられます。どの区間で摩擦が働くかを見分け、その区間の移動距離を使って収支を作りましょう。

摩擦が入る問題の読み方

定期テストでは、粗い水平面を進む物体の後の速さを求める型があります。初めの運動エネルギーから動摩擦力の仕事に対応する分を引き、残った運動エネルギーを速さに直します。もう一つは、初めの速さを与えて停止距離を求める型です。止まった瞬間の速さを0として、摩擦が働いた距離を未知数にします。

なめらかな部分と粗い部分が続く型もあります。なめらかな部分では重力による位置エネルギーと運動エネルギーの和が保存されますが、粗い部分を含めた前後では摩擦の仕事を入れます。区間をまとめて式を立てても、摩擦の距離は粗い部分に限ることが条件です。問題文の「なめらか」「粗い」「滑る」を線の上に書き分けると、仕事を計算する距離を選びやすくなります。

減った量と負の仕事

対象は滑っている物体と地球とし、床は外側に置きます。地球との相互作用を重力による位置エネルギーで表し、床から物体に働く動摩擦力の仕事を外からの仕事として扱います。床は固定され、物体は床に沿って滑り、空気抵抗は無視します。ほかに仕事をする外力がない場合、次の関係を使えます。

後の力学的エネルギー − 初めの力学的エネルギー = 動摩擦力の仕事

力学的エネルギーは運動エネルギーと重力による位置エネルギーの和です。質量を m、速さを v、基準の高さからの高さを h、重力加速度を g とすると、それぞれの大きさは運動エネルギーが (1/2)mv²、位置エネルギーが mgh です。高さの基準は任意ですが、初めと後で同じ基準を使います。

図1のように物体が右へ滑るとき、動摩擦力は物体に左向きに働きます。右向きを移動の正方向として、一定の動摩擦力の大きさを f、滑った距離を d とすると、力と移動は反対向きです。したがって動摩擦力の仕事は -fd です。f と d は大きさなので正の値を入れ、負号を別に付けます。

この式は「エネルギーが消えた」という意味ではありません。物体と床の接触によって、力学的エネルギーの一部が物体や床の内部エネルギーなどに移ります。ここではその温度上昇や熱量は計算せず、力学的エネルギーの変化を摩擦の仕事で追います。物体と地球と床を含むように対象を広げると、床との相互作用の扱いも変わるため、同じ式を対象の説明なしに移さないことが大切です。

水平面では位置エネルギーが変わらず、式は後の運動エネルギー = 初めの運動エネルギー − fd となります。斜面では高さも変わるので、運動エネルギーの差だけを摩擦の仕事としないでください。垂直抗力はこの設定では移動方向に垂直で、仕事は0です。重力は位置エネルギーに含めたため、さらに重力の仕事を右辺に加えると二重に数えます。

基本例題：粗い床を進んだ後の速さ

質量 2 kg の小物体が固定された粗い水平面上を右向きに速さ 6 m/s で滑っています。物体に働く動摩擦力の大きさは一定で 4 N です。右向きを正とし、空気抵抗を無視します。物体が右へ 5 m 滑った地点の速さを、整数で m/s 単位で求めてください。床の高さを位置エネルギーの基準とします。

図2のように、初めと 5 m 先の2状態を選びます。対象は物体と地球です。床は固定され、床からの動摩擦力は物体の移動と反対向きに働きます。初めの運動エネルギーは

(1/2) × 2 × 6² = 36 J

です。床の高さは変わらないので、位置エネルギーは両地点で0 Jです。摩擦がした仕事は

-4 × 5 = -20 J

です。求める地点の速さを v m/s とし、後の力学的エネルギーから初めの力学的エネルギーを引くと、

(1/2) × 2 × v² − 36 = -20

v² = 16

速さは負にならないので、v = 4 m/s です。符号を指定した速度を求める場合も、この区間では右向きに滑っているので +4 m/s です。図2にある 36 J から 20 J を引くと 16 J が残り、(1/2) × 2 × 4² と一致します。

ここで、指定地点に本当に届くかも確かめます。停止まで必要な摩擦の仕事の大きさは 36 J なので、一定の 4 N なら停止距離は 36 ÷ 4 = 9 m です。5 m はその手前ですから、途中で停止することなく指定地点に届きます。もし距離を 10 m とした場合、同じ式は v² を負にしてしまいます。これは負の速さを選ぶ合図ではなく、滑り続けるという条件が途中で破れる合図です。停止後に外から別の力が加わらなければ、物体は止まったままです。

高さの変化と粗い区間を組み合わせる

質量 1 kg の小物体を、高さ 3 m の点から静かに放します。下向きを移動の正方向とするなめらかな斜面の下端は、高さ0の水平面につながっています。水平面は粗く、物体が右向きに滑る間、左向きに一定の 2 N の動摩擦力が働きます。斜面と水平面の接続は滑らかで、速さの大きさは接続点で変化しないものとします。重力加速度は 10 m/s²、空気抵抗は無視します。粗い面を 6 m 滑った後の速さを、整数で m/s 単位で求めてください。

対象は物体と地球で、高さ0の面を位置エネルギーの基準にします。初めの速さは0なので運動エネルギーは0 J、位置エネルギーは

1 × 10 × 3 = 30 J

です。斜面はなめらかで、斜面からの垂直抗力は移動方向に垂直なので仕事をしません。したがって斜面の下端では、30 J が運動エネルギーになっています。粗い面の 6 m で摩擦がする仕事は -2 × 6 = -12 J です。

求める速さを u m/s とすると、初めの点から求める点までまとめた収支は

(1/2) × 1 × u² − 30 = -12

(1/2)u² = 18

u² = 36

u = 6 m/s

です。後の運動エネルギー 18 J に摩擦の仕事の大きさ 12 J を戻すと、初めの 30 J になります。粗い面の停止距離は 30 ÷ 2 = 15 m なので、6 m 地点には到達します。

分かれ目は、摩擦が働く区間と高さが変わる区間です。斜面の長さが問題に与えられていなくても、なめらかな斜面では高さの差から下端の運動エネルギーを求められます。一方、粗い水平面の距離は摩擦の仕事に必要です。経路全体の距離を 6 m と読み替えたり、斜面上でも同じ摩擦が働くと付け足したりしないでください。逆に粗い区間が斜面上にある問題なら、摩擦力の大きさが与えられたうえで、その斜面に沿った滑走距離を使います。

誤答から収支を直す

図3は、水平面で初めの力学的エネルギーが 25 J、動摩擦力の仕事が -9 J の場合です。「保存するから後も 25 J」とすると、摩擦の仕事を数えていません。後から初めを引いた差が0になるため、問題の -9 J と合わないことが誤りの手がかりです。

正しくは後 − 25 = -9 なので、後は 16 J です。後から初めを引けば 16 − 25 = -9 J に戻ります。符号を反対にして 34 J とすると、抵抗する摩擦で増えたことになり、この設定の運動とは合いません。右辺の -9 J は仕事そのもの、9 J はその大きさです。この2つを混ぜずに式を読むと、引き算の理由を言葉でも説明できます。

もう一つの誤りは、停止後も動摩擦力が同じ向きに仕事を続けるとして計算することです。動摩擦力の式は滑っている区間について使います。求めた地点が停止点より先なら、そこまでの距離を代入した負の v² は実際の速さを表しません。まず停止に必要な距離を求め、到達可能かを判定します。外力の有無が異なる場合は、停止後に何が起こるかをその条件から別に考えます。

自分で解く4問

各問では対象を物体と地球とし、床を固定し、空気抵抗を無視します。水平面では床の高さを位置エネルギーの基準とします。答えは指定の単位で整数または簡単な根号で表してください。

1. 質量 2 kg の箱が粗い水平面を右向きに 5 m/s で滑ります。右を正とし、一定の動摩擦力は左向きに 3 N です。2 m 滑った後の運動エネルギーを J 単位で求めてください。

2. 質量 1 kg の滑り具が粗い水平面を左向きに 8 m/s で滑ります。左を正とし、一定の動摩擦力は右向きに 4 N です。ほかに水平方向の力がないとき、止まるまでの距離を m 単位で求めてください。

3. 質量 2 kg の小物体を高さ 2 m から静かに放します。なめらかな斜面を下り、固定された粗い水平面に滑らかにつながります。水平面上で右向きに滑る物体には、左向きに一定の 5 N の動摩擦力が働きます。斜面下向きと水平面右向きをそれぞれ正とし、重力加速度を 10 m/s² とします。水平面を 4 m 進んだ後の速さを m/s 単位で求めてください。

4. 質量 1 kg の小物体が粗い水平面を右向きに 6 m/s で滑ります。右を正とし、滑走中の動摩擦力は左向きに一定の 3 N、ほかの水平力はありません。出発点から 8 m 先に到達するかを判定し、到達しない場合は停止位置までの距離を m 単位で求めてください。

解答と確かめ

1. 初めの運動エネルギーは (1/2) × 2 × 5² = 25 J です。仕事は -3 × 2 = -6 J なので、後は 25 − 6 = 19 J です。19 + 6 = 25 J と初めに戻ります。停止距離は 25/3 m で 2 m より長く、地点に届きます。

2. 初めの運動エネルギーは (1/2) × 1 × 8² = 32 J です。停止距離を d m とすると、0 − 32 = -4d です。よって d = 8 m です。4 N の摩擦が 8 m で行う仕事は -32 J となり、初めの運動エネルギーと差し引き0になります。左向きの運動でも、摩擦は移動と反対向きなので仕事は負です。

3. 初めの位置エネルギーは 2 × 10 × 2 = 40 J です。斜面の下端では運動エネルギーが 40 J、粗い面での仕事は -5 × 4 = -20 J です。後の速さを v m/s とすると、(1/2) × 2 × v² = 40 − 20 = 20 なので、v = √20 = 2√5 m/s です。後の 20 J に摩擦で減った 20 J を足すと 40 J に戻り、停止距離 40 ÷ 5 = 8 m より 4 m 地点は手前です。

4. 初めの運動エネルギーは (1/2) × 1 × 6² = 18 J です。停止距離は 18 ÷ 3 = 6 m ですから、8 m 先には到達しません。6 m の仕事は -18 J で、停止時の運動エネルギー0 J とつながります。8 m を滑ったと仮定すると摩擦の仕事は -24 J となり、初めの 18 J を超えるため、その仮定は成立しません。

式を選ぶ前の確認

摩擦の大きさが問題に示されていないときは、距離だけから仕事を決めることはできません。動摩擦係数と垂直抗力が与えられれば、それらの積から動摩擦力の大きさを求め、その後で滑走距離を掛けます。床が水平でも、押す力などによって垂直抗力の大きさが変わる条件なら、その力も考慮します。数値が不足しているときに、摩擦力を勝手に重力と等しく置かないでください。

また、物体が途中で向きを変える場合は、それぞれの滑走区間の距離を使います。動摩擦力は各区間の運動と反対向きなので、往復の変位が0でも摩擦の仕事が0とは限りません。一定の大きさなら、滑った道のりを合計して負の仕事を求められます。区間ごとに大きさが異なる場合は、それぞれの仕事を計算してから足します。

手元に残す要点

• 初めと後の力学的エネルギーの差は、その間の摩擦の仕事です。
• 一定の動摩擦力が滑る向きと反対なら、仕事は -fd です。
• 高さが変わる場合は位置エネルギーも収支に入れます。
• 停止距離を越える地点には、滑走を続ける式を使えません。

どこで立ち止まったかを見つける

式が立たないときは、初めと後の2地点、対象、位置エネルギーの基準を紙に書いてください。次に、摩擦力が働く向きと実際に滑った区間を矢印で示します。力の大きさをそのまま仕事にしていないか、距離を掛けた後に負号を付けたかを確認します。

個別指導で確かめるなら、まず図3の誤答を見て、なぜ後の値が初めと同じではないのかを自分の言葉で説明できるかを見ます。次に例題の距離を停止距離より長くしたとき、負の v² が何を示すかを尋ねます。数式と運動の様子を往復できれば、摩擦のある区間の収支を自分で点検できます。