高校物理基礎 運動の法則—合力と質量から運動方程式を一行ずつ立てる｜武蔵野個別指導塾

左右の力を符号つきで合計し、質量から加速度を出す過程と、等速運動で力がつり合う理由を追えます。

よくあるのは、等速で動く台車を見て、高校生が進行方向に合力が必要だと考える場面です。台車が右に動いていることと、右向きに速度が変化していることは別です。手で押す力が働いていても、それと逆向きの力が同じ大きさなら合力は0です。物体を1つ選び、力と速度の変化を分けて見るところから始めます。

問題文から拾う3つの型

まず、力がつり合っている物体について、その後の運動を選ぶ型があります。静止していたなら静止を続け、動いていたなら速度の大きさと向きを変えずに直線上を進みます。どちらも加速度が0で、合力が0という同じ条件に対応します。動いているかどうかでは、合力の有無を判定できません。

次に、質量と複数の力から加速度を求める型があります。力は大きさだけで足さず、選んだ正方向に沿って符号をつけて合計します。その合力を質量で割ると、符号を含む加速度が出ます。答えの符号は、最初に定めた正方向との関係を表します。

さらに、加速度と質量から未知の力を逆算する型があります。式の形は同じでも、未知数は加速度ではなく力です。運動の向きと加速度の向きが逆になる場面では、進行方向を正に選んでも加速度が負になることに注意します。連結された複数の物体の式は扱わず、ここでは1物体に注目します。

合力が変えるのは速度

慣性とは、物体がその速度を保とうとする性質です。静止も速度が0で保たれている状態に含まれます。物体に働く力の合力が0なら、静止または等速直線運動を続けます。力が一切ない場合に限らず、複数の力が打ち消し合う場合も合力は0です。

図1のように、水平面上の物体を対象に選びます。右向きと左向きの力は同じ大きさです。鉛直方向では床からの垂直抗力と地球からの重力がつり合い、水平・鉛直のどちらにも合力が残りません。

図1の物体が右向きに動いていても、水平の合力は0です。矢印は物体に働く力を示し、速度の矢印とは意味が違います。力の矢印を足して速度そのものを出すのではなく、速度がどの向きに変わるかを考えます。合力が0のとき、速さが0とは限りません。

力がなくなった瞬間に物体が止まると思うと、慣性を見落とします。現実の床では摩擦や空気抵抗が運動と反対向きに働き、押すのをやめた後に速さが減ることがあります。問題でそれらを無視すると指定された場合は、その抵抗を力の図に加えず、残った力の合力を判断します。条件を変えれば合力も変わるので、現実の見え方だけから式を決めないことが大切です。

質量は、力によって運動の状態が変わりにくい程度を表します。同じ合力が働くなら、質量が大きい物体ほど加速度の大きさは小さくなります。質量の単位は kg、力の単位は N、加速度の単位は m/s² です。1 N は、1 kg の物体に 1 m/s² の加速度を生じさせる大きさの力です。

一直線上の運動では、正方向を決めた後、運動方程式を次のように書きます。m は対象の質量、a は符号つきの加速度、F は同じ方向について符号をつけた合力です。

m a = F

たとえば右を正にして右向きの力を正、左向きを負とします。F が負なら a も負で、加速度は左向きです。速度が左向きとは決まりません。右向きに進みながら左向きの加速度を受けると、その間は右向きの速度が小さくなります。速度と加速度はそれぞれ別に向きを判断します。

両側から押される台車の加速度

【基本例題】水平な床の上の質量 2.0 kg の台車に、右向きに 10 N、左向きに 4.0 N の水平な力が働きます。床との摩擦と空気抵抗は無視でき、台車は床から離れません。重力加速度は 10 m/s² とします。台車を対象とし、右向きを正に選び、水平な加速度を小数第1位まで m/s² で求めてください。

図2のように、まず台車に働く力を選びます。右から左へ向かう 4.0 N の力と、左から右へ向かう 10 N の力の両方が、台車に作用します。台車が他の物体に及ぼす力は、台車の運動方程式には入れません。

図2では、重力と垂直抗力も台車に働いています。床から離れず鉛直方向に加速しないので、鉛直方向の合力は0です。重力は 2.0 kg × 10 m/s² = 20 N で下向き、垂直抗力は 20 N で上向きです。鉛直の2力は水平方向の合力には加えません。

右を正とした水平の合力 F は、次のように求めます。

F = 10 N − 4.0 N = 6.0 N

加速度を a m/s² とおいて、台車の水平な運動方程式に代入します。

2.0 a = 10 − 4.0

2.0 a = 6.0

a = 3.0 m/s²

答えは右向きに 3.0 m/s² です。正の値なので、選んだ右向きと一致します。単位も N/kg = m/s² です。確かめとして質量に加速度を掛けると 2.0 kg × 3.0 m/s² = 6.0 N となり、左右の力の差に戻ります。初めの速度を与えていないので、この結果から台車が右に動いているとは決められません。

もし左右の力の大きさを足して 14 N とすると、反対向きの力を同じ向きとして扱ったことになります。逆に 4.0 N の力を見落として 10 N のまま使うと、台車への作用を1つ捨てたことになります。矢印の向きと対象を見ながら、式の各項に対応する力を確かめてください。

進行方向と加速度が逆になるとき

【例題】摩擦と空気抵抗を無視できる水平面上で、質量 3.0 kg の小箱が右向きに動いています。小箱には右向きに 3.0 N、左向きに 9.0 N の一定の水平な力が働き、床から離れません。重力加速度は 10 m/s² とします。小箱を対象とし右向きを正にして、水平な加速度を小数第1位まで m/s² で求め、その力が働く間に右向きの速さがどう変わるか答えてください。ただし、速さの変化は小箱が右向きに動いている間について考えます。

小箱の水平な合力は、右向きの力から左向きの力を引いて 3.0 − 9.0 = -6.0 N です。鉛直方向には重力 30 N と垂直抗力 30 N が働いてつり合います。水平な加速度を a m/s² とすると、式は次のようになります。

3.0 a = 3.0 − 9.0

3.0 a = -6.0

a = -2.0 m/s²

加速度は左向きに 2.0 m/s² です。負号は、速さが負という意味ではなく、加速度が正方向と反対を向くことを示します。小箱が右に動いている間は速度が正で、左向きの加速度によってその値は小さくなり、速さも減ります。

ここが分かれ目です。停止した後も同じ力が働き続ければ、小箱は左向きに動き始め、その後の速さは増えます。同じ左向きの加速度でも、速度が右向きか左向きかで速さの変化は違います。たとえば1秒ごとの速度の変化を考えると、右を正にした速度は毎秒 2.0 m/s ずつ減ります。ただし、初めの速度が示されていないため、停止までの時間は決められません。力が一定である間は加速度が一定で、停止の前後で急に逆向きになるわけでもありません。答えを元に戻すと、3.0 kg × (-2.0 m/s²) = -6.0 N で、与えられた水平な力の差と一致します。

間違いを力の図に戻す

等速で右へ進む物体について「右に動くから、右向きの合力がある」と答える誤りがあります。図3のように、速度は右向きでも加速度が0なら、水平な合力は0です。右向きの力と左向きの力が同じ大きさで働く状況なら、その差は0になります。

図3の矢印を見直すと、速度は物体の運動状態を、2本の力は周囲から物体への作用を示しています。速度の矢印を力の足し算に入れたことが誤りの原因です。修正するときは、対象に働く力を描き直し、速度が変化しているかを別に判断します。

もう1つの誤りは、右向きを正に決めた後で、左向きの加速度を正の数として式に入れることです。左向きに 2 m/s² なら a = -2 m/s² と置きます。正方向を左に変える方法もありますが、その場合は力の符号も同時に変えます。座標の選び方を途中で変えず、最後に符号を向きの言葉へ戻すと、答えを読み違えにくくなります。

自分で式を立てる4問

各問では指定した物体を対象にし、指定した向きを正とします。答えは指定された単位で、小数第1位まで表してください。床から離れない物体は鉛直方向に加速せず、床は水平です。

1. 摩擦と空気抵抗を無視できる床の上で、質量 4.0 kg の荷物に右向き 18 N、左向き 6.0 N の水平な力が働きます。荷物を対象として右を正に取り、水平な加速度を m/s² で求めてください。重力加速度は 10 m/s² とします。
2. 摩擦と空気抵抗を無視できる床の上を、質量 5.0 kg の箱が左向きに動いています。箱には右向き 15 N の水平な力が働きます。箱を対象として右を正に取り、加速度を m/s² で求め、箱が左向きに動いている間の速さの変化も答えてください。重力加速度は 10 m/s² とします。
3. 摩擦と空気抵抗を無視できる床の上の質量 2.5 kg の板に、右向きの未知の水平な力と、左向き 5.0 N の水平な力が働きます。板は右向きに 4.0 m/s² の加速度をもちます。板を対象として右を正に取り、未知の力を N で求めてください。重力加速度は 10 m/s² とします。
4. 空気抵抗を無視できる鉛直線上で、質量 0.80 kg の荷物が上向きに等速で移動しています。荷物には上向きの張力と下向きの重力が働きます。重力加速度を 10 m/s² とし、荷物を対象として上を正に取り、合力と張力をそれぞれ N で求めてください。

答えと途中の判断

1. 力の差を質量で割る

荷物に働く水平な合力は 18 − 6.0 = 12 N です。加速度を a m/s² とすると、4.0 a = 12 なので a = 3.0 m/s² です。正の値なので右向きです。

鉛直方向では重力 40 N と垂直抗力 40 N がつり合います。水平については、4.0 kg × 3.0 m/s² = 12 N が元の力の差に一致します。左右の力の和ではなく差を使うことを確認できます。

2. 左へ進みながら右に加速する

箱に働く水平な合力は +15 N です。5.0 a = 15 から、a = 3.0 m/s² となり、加速度は右向きです。速度は左向きなので、箱が左向きに動いている間は速さが減ります。

鉛直方向の重力と垂直抗力はそれぞれ 50 N です。水平について 5.0 kg × 3.0 m/s² = 15 N と戻せます。左に進んでいるという情報は加速度の符号を負にする根拠ではなく、速さが増えるか減るかの判断に使います。

3. 未知の力を式の中に残す

右向きの未知の力を P N とします。合力は P − 5.0 N、加速度は正の 4.0 m/s² です。したがって、2.5 × 4.0 = P − 5.0、10.0 = P − 5.0、P = 15.0 N です。

鉛直方向の重力と垂直抗力はそれぞれ 25 N です。求めた力を戻すと 15.0 − 5.0 = 10.0 N で、2.5 kg × 4.0 m/s² と同じです。未知の力は合力そのものではなく、左向きの力との差が合力です。

4. 速さが一定なら加速度は0

上向きの速度が変わらないため、加速度は 0 m/s² です。運動方程式から合力は 0.0 N です。重力は 0.80 kg × 10 m/s² = 8.0 N で下向きに働きます。

張力を T N とすると、0.80 × 0 = T − 8.0 なので T = 8.0 N です。張力から重力を引くと 8.0 − 8.0 = 0.0 N に戻ります。上向きに移動していても、上向きの力が重力を上回る必要はありません。

手元に残す要点

• 対象物体と正方向を先に決め、対象に働く力を描きます。
• 同じ方向の力を符号つきで足し、m a = 合力を立てます。
• 合力0なら加速度0で、静止または等速直線運動です。
• 加速度の向きと速度の向きを比べ、速さの変化を判断します。
• 求めた値を質量に掛けて、元の力の差に戻します。

説明が止まる場所を見つける

式が立たないときは、まず対象の名前を言い、その物体に誰がどの向きの力を及ぼすかを指で示してみてください。矢印を描けても符号が定まらない場合は、正方向を紙に書き、矢印ごとに正負を付け直します。式を解けても向きを答えられない場合は、負号がどの方向に対応するかを正方向の矢印と照らします。

個別指導で確かめるなら、等速で動く物体に力が2つ働く図を使い、速度と合力を別々に説明できるかを見るとよいでしょう。さらに進行方向と逆向きの合力を加え、停止する前と後で速さの変化がどう違うかを言葉にします。運動方程式の左辺と右辺がそれぞれ何を表すか説明できれば、数字が変わっても立式の道筋を追えます。