高校物理基礎 力の合成とつり合い—成分に分けて静止する物体の条件を立てる｜武蔵野個別指導塾

斜面上の物体を例に、重力の分解と垂直抗力を求める手順をたどり、力のつり合いを読み解きます。

よくあるのは、斜面に置いた物体の問題で、高校生が垂直抗力をいつも重力と同じ大きさにしてしまう場面です。水平な床では両者が等しいことがありますが、傾いた面では向きが違います。面が押し返す向きと、重力のうち面に押しつける成分を比べるところから始めましょう。

図から式へ移す3つの型

力の合成では、同じ物体に働く複数の力を、同じ効果をもつ1つの力で表します。たとえば右向きと上向きの力が同時に働くとき、矢印を辺とする平行四辺形の対角線が合力です。大きさを足す前に向きを確かめる型です。

つり合いの問題では、静止している物体に働く力を描き、横と縦のそれぞれで合計を0にします。斜めの糸があるときは張力を成分に分けると、各方向の式を立てられます。未知の力を先に文字で置き、与えられた力と区別します。

斜面の問題では、水平と鉛直ではなく、面に平行と垂直の方向を選ぶと式が短くなります。重力は鉛直下向きのまま描き、その後に成分へ分けます。ここでは物体を点として力のつり合いを扱い、回転のつり合いは扱いません。摩擦の大きさを決める条件は別に必要です。

矢印を足し、軸に投影する

力には大きさと向きがあります。同一直線上で同じ向きなら大きさを足し、反対向きなら差を取り、大きい方の向きに合力を描きます。互いに垂直な2つの力の合力は、その2本を辺とする長方形の対角線です。斜めの力を2方向に分ける操作は、その逆です。

図1のように、物体に右向き3 N、上向き4 Nが働くとします。右と上を正とすると合力の成分はそれぞれ3 Nと4 Nです。三平方の定理から大きさは5 Nとなります。合力の向きは右上であり、3 Nと4 Nを単純に足した7 Nではありません。

図1の矢印は同じ物体に働く力を表します。対角線をさらに別の力として加えると、元の2力を二重に数えます。合力は元の力を置き換えた表現です。同様に、分力も元の力と同時に追加する力ではありません。

つり合いとは、対象の物体に働く力の合力が0であることです。直交する2軸を選べば、各軸の正向き成分の和がそれぞれ0になります。2力なら同じ大きさで反対向きですが、3力以上では各力が1対1で打ち消し合う必要はありません。対象を変えると力の図も変わるため、机を押す力と机から受ける力を同じ物体のつり合いに混ぜないようにします。

斜面に接する物体が受ける垂直抗力は、面に垂直で面から離れる向きです。重力は常に鉛直下向きです。斜面の傾きが角度θなら、重力の面に平行な成分は重力の大きさにsin θを掛けた値、面に垂直な成分はcos θを掛けた値です。面への押しつけは垂直成分で見ます。ほかに面へ押す力があれば、それも垂直方向の式に入れます。

基本例題：斜面に平行な糸で支える

摩擦のない、水平面となす角が30°の斜面に質量2.0 kgの小物体を置き、斜面に平行な軽い糸で斜面上向きに引いて静止させます。物体を対象とし、斜面上向きと面から離れる向きを各軸の正方向とします。重力加速度を10 m/s²、sin 30° = 1/2、cos 30° = √3/2と仮定します。糸の張力と垂直抗力の大きさを、根号を用いてNで答えてください。

図2のように物体に働く力は、鉛直下向きの重力、糸に沿った張力、面から離れる垂直抗力です。摩擦はないので摩擦力は描きません。物体を押す面に垂直抗力が働くのではなく、面が物体を押します。

重力の大きさをW、張力をT、垂直抗力をNとすると、まず単位をそろえて

W = 2.0 kg × 10 m/s² = 20 N

です。重力を選んだ軸に分けると、斜面下向きの成分の大きさは

20 × sin 30° = 20 × 1/2 = 10 N

面に押しつける向きの成分の大きさは

20 × cos 30° = 20 × √3/2 = 10√3 N

です。各成分は図2の破線矢印に対応します。重力の矢印とその分力を同時に式へ足さず、分力を使ってそれぞれの軸で考えます。

斜面に平行な方向のつり合いは、正方向の張力から下向き成分を引いて

T − 10 = 0

T = 10 N

です。面に垂直な方向では、正方向の垂直抗力から押しつける成分を引いて

N − 10√3 = 0

N = 10√3 N

となります。答えを戻すと、平行方向は10 − 10 = 0 N、垂直方向は10√3 − 10√3 = 0 Nです。2つの成分の大きさから重力を復元しても、√(10² + (10√3)²) = 20 Nとなり、与えた質量と重力加速度から求めた値に戻ります。

水平面なら重力は面に垂直ですが、この斜面では重力の一部が面に沿います。したがって垂直抗力を20 Nと置くと、面から離れる向きに合力が残ってしまいます。力の大きさの比較には、向きの一致が必要です。

応用例題：斜めの糸が上にも引く場合

水平で摩擦のない床の上に質量3.0 kgの小物体があります。軽い糸で水平方向から上へ30°の向きに20 Nで引き、別の水平な糸で左に引いて、物体は静止しています。右向きと上向きを正とし、重力加速度は10 m/s²、sin 30° = 1/2、cos 30° = √3/2と仮定します。水平な糸の張力と床からの垂直抗力を根号を用いてNで求めてください。

対象は小物体です。働く力は重力、床からの垂直抗力、右上向きの20 Nの張力、左向きの水平な糸の張力です。床がなめらかなので水平方向の摩擦力はありません。斜めの張力は右向きに20 × √3/2 = 10√3 N、上向きに20 × 1/2 = 10 Nの成分をもちます。

水平な糸の張力をS、垂直抗力をRと置くと、右向きのつり合いは

10√3 − S = 0、よってS = 10√3 N

です。重力は3.0 × 10 = 30 Nなので、上向きのつり合いは

R + 10 − 30 = 0、よってR = 20 N

です。右向きと左向きはそれぞれ10√3 N、上向きは床からの20 Nと糸の10 Nで合計30 Nとなり、重力30 Nに戻ります。力の単位はいずれもNです。

この場合の分かれ目は、斜めの糸が鉛直方向にも物体を引く点です。糸が上に引く分だけ床からの押し返しは重力より小さくなります。反対に糸が下向きの成分をもつ設定なら、その成分も床へ押しつけます。いずれも「垂直抗力は重力に等しい」という先入観を使わず、面に垂直な方向の力を数えます。

接触を仮定して計算した垂直抗力が負になった場合は、床が物体を引きつけるという意味にはできません。床から離れる可能性があり、最初の接触と静止の条件を見直します。例えばこの例で斜めの張力の上向き成分が重力より大きければ、水平糸と床の垂直抗力だけでは静止できません。

間違いを力の向きから直す

図3のような30°の斜面で、重力20 Nの物体が面に平行な糸に支えられているとします。「垂直抗力は20 N」という誤答は、水平面での関係を向きを見ずに使ったものです。重力は鉛直下向き、垂直抗力は斜面に垂直で、反対向きになっていません。

図3では重力を面に平行な10 Nと面に垂直な10√3 Nに分けます。面に平行な糸には垂直成分がないので、面に垂直なつり合いから垂直抗力は10√3 Nです。もし20 Nを入れると垂直方向に20 − 10√3 Nが残り、静止の条件に合いません。

別の誤りは、重力20 Nと2つの分力をすべて実際の力として式に入れることです。原因は、分解を新しい力の追加と取り違えることにあります。修正するときは重力を描いた図と成分を使う式の対応を線で結び、重力そのものを式に再び足さないようにします。

さらに、sinとcosを記憶だけで入れ替える失敗もあります。斜面の傾きと、重力と面に垂直な方向との角が等しいことを図で確かめます。重力を斜辺とする直角三角形では、その角に隣り合う垂直成分がcos、向かい合う平行成分がsinです。斜面が水平に近づくと垂直成分が重力に近づくことも、式の向きを見直す手がかりです。

条件が変わるときの点検

斜面上で糸を切った後を考えると、切る前の張力をそのまま力の図に残すことはできません。摩擦がなく、ほかに斜面に沿う力もなければ、重力の平行成分が打ち消されず、静止のつり合いは成立しません。垂直方向の関係を調べることと、平行方向でもつり合っていると結論することは別です。

また、力の向きが問題文に示されていないときは、最初に仮の向きを決めて符号つきで計算できます。答えが負なら、実際の向きは仮に選んだ向きと逆です。ただし糸は物体を押せないので、張力に負の値が出た場合は糸が張って静止するという前提を検討します。数値の符号と、装置が実際に及ぼせる力の向きを合わせて読むことが必要です。

自分で力を描く練習

各問で対象は小物体とし、力の大きさはNで答えてください。根号を含む場合は根号を用い、それ以外は整数で表します。力が働く点は物体の位置にまとめて描きます。

1. 小物体に右向き6 N、上向き8 Nの力が働きます。右と上を正とします。合力の各成分と大きさを求め、向きも答えてください。
2. なめらかな水平面上の小物体に、右向き7 Nと左向き2 Nの水平な力が働きます。右向きを正とします。静止させるために加える水平な力の大きさと向きを求めてください。
3. 水平面となす角が30°の摩擦のない斜面に、重力の大きさが12 Nの小物体を置きます。面に平行な軽い糸で上向きに引いて静止させます。斜面上向きと面から離れる向きを正とし、sin 30° = 1/2、cos 30° = √3/2とします。張力と垂直抗力を求めてください。
4. なめらかな水平床上で重力40 Nの小物体を、水平から上へ30°の方向に大きさ12 Nの力で右上へ引きます。同時に水平な糸で左へ引くと静止します。右向きと上向きを正とし、sin 30° = 1/2、cos 30° = √3/2とします。水平な糸の張力と床からの垂直抗力を求めてください。

練習の答えと戻して確かめる手順

1. 成分は右向き6 N、上向き8 Nです。大きさは√(6² + 8²) = 10 N、向きは右上です。成分から2乗の和を取ると100 N²となり、10 Nの2乗に戻ります。力を同一直線上とみなして14 Nにしないことが要点です。

2. 右向きを正にした合力は7 − 2 = 5 Nです。加える力を符号つきでFとすると5 + F = 0なので、F = -5 Nです。したがって左向き5 Nです。元の場面に戻すと右7 N、左2 + 5 = 7 Nでつり合います。負号は選んだ正方向と反対の向きを示し、大きさそのものが負という意味ではありません。

3. 重力の平行成分は12 × 1/2 = 6 Nで斜面下向き、垂直成分は12 × √3/2 = 6√3 Nで面に向かいます。張力をT、垂直抗力をNとすると、T − 6 = 0、N − 6√3 = 0です。答えは張力6 N、垂直抗力6√3 Nです。2軸で差が0になり、成分から√(6² + (6√3)²) = 12 Nと元の重力にも戻ります。

4. 右上向きの力の水平成分は12 × √3/2 = 6√3 N、鉛直成分は12 × 1/2 = 6 Nです。水平な糸の張力をS、垂直抗力をRとすると、6√3 − S = 0、R + 6 − 40 = 0です。よって張力は6√3 N、垂直抗力は34 Nです。右と左は各6√3 N、上向きは34 + 6 = 40 Nとなり、与えられた重力と一致します。上向き成分を引き忘れると、鉛直方向につり合いが残りません。

式を立てる前の要点

対象の物体を決め、実際に受ける力を描きます。
軸と正方向を選び、必要な力を成分に分けます。
各軸の成分の和を0として、未知の力を求めます。
答えを元の方向に戻し、つり合いと単位を確かめます。

どこで止まったかを見分ける

力の図で止まるなら、物体に触れているものと、離れて働く重力を区別して口に出します。図は描けても式に移せないなら、各矢印が正方向と同じか反対かを一つずつ確かめます。計算結果だけが合わないときも、先に数を直すのではなく、成分の向きと三角形の角を調べます。

個別指導で確かめるなら、斜面の角度を変えた図を使い、「なぜ垂直抗力と比べるのは重力全体ではないのか」を自分の言葉で説明できるかを見ると、図と式の間の抜けが見えます。糸の向きを変えた場合も、追加された成分を式に反映できるか確かめます。向きをそろえて判断する力のつり合い。