高校地学 アイソスタシー—密度と厚さのつり合いを柱モデルで確かめる｜武蔵野個別指導塾

山の高さと地下の根を結ぶ、補償深度までの柱の質量のつり合いがアイソスタシーです。

よくあるのは、高校生が山の断面を描くとき、地表からの高さと地下に伸びる根の長さを同じにする場面です。山が高いほど根も深いという見通しは役立ちますが、長さの比は地殻とその下の物質の密度によって決まります。柱をどこで切り、何と何の質量を比べるのかを図に書いてから、山を支える条件を考えます。

問いの形を見分ける

アイソスタシーは、地殻などの高さの違いが、その下の密度構造と関係し、長い時間の平均として重力のもとでつり合うという考え方です。問題では、地表の高さから根の長さを求める型、柱の質量を比べてつり合うか判定する型、観測された地殻の厚さと高さからモデルの適否を考える型が現れます。いずれも「高いほど根が深い」という暗記だけでは、与えられた条件を使い切れません。

必要な道具は、密度が質量を体積で割った量であることと、同じ底面積を持つ柱の体積が底面積と厚さの積になることです。高さは基準の地表から上向きに、根は基準の地殻底から下向きに測ります。両者の基準面が違う点が、最初の注意点です。計算の前に図へ基準面と比較の深さを記し、同じ面積の柱を取り出します。

柱の底をそろえて考える

図1のように、平地と山地に同じ水平面積の柱を置き、地表から共通の補償深度までを比較します。補償深度は、この単純なモデルで柱の底の圧力が等しいとみなす深さです。山地の高い部分には余分な地殻があります。一方、地下では低密度の地殻の根が、平地側なら高密度のマントルである部分を置き換えます。

図1の地殻は左右で同じ密度とし、マントルも一様とします。地殻密度をρｃ、マントル密度をρｍ、山の高さをh、根の長さをrとします。ρｍがρｃより大きく、重力加速度が両柱で共通なら、底にかかる圧力の等しさは、同面積の柱の質量の等しさに対応します。水平方向の支えや強度の効果を無視した考え方です。

平地を基準として山地側の余分を数えると、高さhの部分の質量は、単位面積あたりρｃ・hです。根の部分では、厚さrのマントルが地殻に置き換わるので、単位面積あたりの質量は(ρｃ − ρｍ)・rだけ変化します。増加と減少がつり合う条件は次の通りです。

ρｃ・h + (ρｃ - ρｍ)・r = 0
ρｃ・h = (ρｍ - ρｃ)・r
r = ρｃ・h / (ρｍ - ρｃ)

式の左辺は山の付加質量、右辺は根による質量の不足です。根の部分の密度差を使うのは、地下が空洞になるのではなく、もともとのマントルが地殻に置き換わるからです。両密度が等しいと根を作っても質量は減らず、この式から有限の根で正の高さを補償できません。マントル密度の方が小さいという条件でも、正の根は不足分を作れません。式を使う前に密度の大小を確かめます。

「浮く」という言葉は理解の助けですが、マントルの大部分は固体です。固体でも長い時間には変形し得るため、短時間に水へ浮かべた物体と同じ速度で動くと考える必要はありません。モデルはつり合いの条件を表し、どのくらい速くそこへ近づくかを単独では決めません。

基本例題：山の下に必要な根

次の値は計算用の仮定であり、実測値ではありません。平地と山地の地殻密度をともに2.5 g/cm³、マントル密度を3.0 g/cm³とします。山の地表は平地より2.0 km高く、同じ面積の柱は共通の補償深度でつり合います。山地下の根の長さを有効数字2桁、kmで求めてください。密度は各層で一様、重力加速度は共通です。

図2のように、山の高さは平地の地表から山頂まで、根は平地下の地殻底から山地下の地殻底までの差です。補償深度は両方の地殻底より下にあります。底面積を共通として質量を比べるため、長さを両辺ともkmでそろえれば密度と面積の共通の単位換算因子は消えます。

図2の条件を式に代入し、途中を追います。

2.5・2.0 = (3.0 - 2.5)・r
5.0 = 0.5・r
r = 5.0 / 0.5
r = 10 km

答えは10 kmです。地殻の余分な高さ2.0 kmは単位面積あたり2.5・2.0 = 5.0の質量に相当します。同じ換算単位で、根による質量不足は(3.0 − 2.5)・10 = 5.0です。元の柱に戻しても増減が等しく、底の圧力が一致します。数字の比だけでなく、何が増えて何が減るかを言えると式の意味を確かめられます。

例えば平地の地殻の厚さを仮に30 km、補償深度を平地の地表から50 kmと置くと、平地は地殻30 kmとマントル20 kmです。山地は地殻42 kmとマントル10 kmです。単位面積あたりの質量を共通の換算単位で比較すると、平地は2.5・30 + 3.0・20 = 135、山地は2.5・42 + 3.0・10 = 135です。補償深度をそろえると、山地の柱が地表側に2.0 km長いことも正しく含まれます。

逆算と別の解き方

標準例題です。計算用の仮定として、地殻密度を2.4 g/cm³、マントル密度を3.2 g/cm³とします。根の長さが9.0 kmの山地が、共通の補償深度で平地とつり合っています。山の高さを有効数字2桁、kmで求めてください。両側の地殻は同じ密度で、層内は一様です。

根による不足は(3.2 − 2.4)・9.0 = 7.2です。山の付加分2.4・hと等しいので、h = 7.2 / 2.4 = 3.0 kmです。戻すと山の付加分は2.4・3.0 = 7.2、根の不足も0.8・9.0 = 7.2です。高さと根の比は1対3となり、等しい長さにはなりません。

別解では、同じ厚さを入れ替えたときの密度差0.8が地殻密度2.4の3分の1であることに注目します。根1 kmが減らす質量を山で補うには、地殻の高さがその3分の1 km必要です。根9.0 kmに対応する高さは3.0 kmです。比を使う方法でも、交換される物質が地殻とマントルであるという条件は省けません。

発展例題です。別の計算用モデルで地殻密度を2.7 g/cm³、マントル密度を3.0 g/cm³、山の高さを1.0 kmとします。共通の補償深度でつり合うとき、根の長さを有効数字2桁で求め、平地の地殻底から補償深度までが6.0 kmしかないという追加条件と両立するか判定してください。

式からr = 2.7・1.0 / (3.0 − 2.7) = 9.0 kmです。山地下の地殻底は平地より9.0 km深くなるため、平地の地殻底から6.0 km下の補償深度を越えます。式の値は正でも、設定した柱の内部で根が収まらないので、この補償深度を持つモデルとは両立しません。深い補償面を選び直すか、別の構造を考える必要があります。答えを元の図に戻すと、計算上の解と条件を満たす解を区別できます。

観測と模型の距離

地表の高さと地下の境界の深さを複数地点で測り、同じ基準面からの高度と地殻の厚さを対応させれば、山地ほど地殻が厚いという傾向を調べられます。横軸を高さ、縦軸を根の長さとしたグラフでは、このモデルの式は原点を通る直線です。傾きはρｃ / (ρｍ − ρｃ)で、密度差が小さいほど大きくなります。切片や点の散らばりは、基準の取り方や測定誤差、モデルに含めなかった構造を検討する手掛かりです。

地下境界の推定には観測の読み取りや速度モデルの誤差が入り、地表の高さにも基準面や測量の誤差が影響します。同じ条件で繰り返し測り、誤差の範囲を点とともに示せば、小さな差を過大に解釈しにくくなります。点が直線に近くても、この単純な仕組みだけが原因と証明されたわけではありません。地殻密度の場所による違い、岩石の強度による横方向の支え、つり合いに至る途中の変化などを無視しているためです。

学校で安全に扱える模型として、密度の異なる物体を液体に浮かべ、水面上の高さと水面下の深さを測る方法があります。物体の材質と断面積をそろえ、液面と物体の境目を同じ目線で読み、複数回測定します。物体に気泡が付くと押しのける体積の読みが変わり、容器の壁に触れると壁からの力が入ります。浮力と重さがつり合うという共通点を調べる模型であり、液体の流れ方を固体マントルの変形速度にそのまま当てはめる実験ではありません。

誤答を柱に戻す

図3のように、基本例題で高さ2.0 kmに対して根も2.0 kmとする誤答を考えます。山の付加質量は2.5・2.0 = 5.0ですが、根の不足は(3.0 − 2.5)・2.0 = 1.0です。同じ換算単位で4.0の差が残り、柱の底の圧力は一致しません。

図3の比較では、根の密度をそのまま不足分に使っていない点が重要です。根の中にも地殻の質量が残るので、置換前後の差を取ります。正しくは不足を5.0にするため、密度差0.5で割って根を10 kmにします。長さが等しくなるのは密度の条件がたまたまその比を与える場合であって、一般則ではありません。

もう一つの誤りは、山頂からの同じ長さの柱を比べることです。この取り方では柱の底の深さが違い、底の圧力を等しいと置く条件を使えません。平地の地表を高さの基準にし、そこから同じ深さの水平面を両柱の底に引き直します。単位の異なる密度を混ぜた場合も、差を取る前に同じ単位へ直してください。

練習：条件を式と図に移す

以下はすべて計算や読解のために作った条件で、実測値ではありません。各柱は同面積で、密度は層内一様、重力加速度は共通とします。補償深度は各地殻底より深いものとします。

1. 地殻密度2.0 g/cm³、マントル密度3.0 g/cm³、山の高さ4.0 kmです。つり合う根の長さを有効数字2桁、kmで求めてください。
2. 地殻密度2.1 g/cm³、マントル密度2.8 g/cm³、根の長さ6.0 kmです。つり合う山の高さを有効数字2桁、kmで求めてください。
3. 地殻密度2.2 g/cm³、マントル密度3.3 g/cm³、山の高さ3.0 km、根の長さ4.0 kmとします。柱はつり合うか判定し、付加分と不足分を比較して理由を述べてください。
4. 同じ地殻密度2.4 g/cm³、同じ山の高さを持つ2つのモデルがあります。マントル密度はモデルAが3.0 g/cm³、モデルBが3.6 g/cm³です。どちらの根が長いか、密度差を根拠に答えてください。
5. 平地の地殻の厚さを仮に24 km、補償深度を平地の地表から44 km、地殻密度を2.0 g/cm³、マントル密度を2.5 g/cm³とします。山の高さが1.5 kmでつり合う場合、山地下の地殻の厚さを有効数字2桁、kmで求めてください。両柱の質量を元の厚さから比べてください。

答えと確かめ方

1. 2.0・4.0 = (3.0 − 2.0)・rより、r = 8.0 kmです。山の付加分8.0と、根の不足分1.0・8.0 = 8.0が一致します。
2. 2.1・h = (2.8 − 2.1)・6.0より、h = 2.0 kmです。山の付加分2.1・2.0 = 4.2と根の不足分0.7・6.0 = 4.2を比べます。
3. つり合いません。山の付加分は2.2・3.0 = 6.6、根の不足分は1.1・4.0 = 4.4で、付加分が大きいためです。同じ面積と共通の重力加速度のもとでは底の圧力も等しくなりません。
4. Aです。地殻とマントルの密度差はAが0.6、Bが1.2 g/cm³です。同じ付加質量を補うには、置換する厚さが密度差に反比例するので、Aの根はBの2倍です。Aで増やした根の長さに半分の密度差を掛けると、Bと同じ不足分に戻ります。
5. 根は2.0・1.5 / (2.5 − 2.0) = 6.0 kmです。山地下の地殻は24 + 1.5 + 6.0 = 31.5 kmなので、有効数字2桁で32 kmです。丸める前の値で調べると、平地は2.0・24 + 2.5・20 = 98、山地は2.0・31.5 + 2.5・14 = 98です。根は補償深度より上に収まり、柱の質量が一致します。

押さえる点

• 比べる柱は同じ面積と共通の補償深度を持ちます。
• 山の付加分は地殻密度と高さの積です。
• 根の不足分は密度差と根の長さの積です。
• 答えを柱の質量に戻し、根が補償深度より上に収まるか確かめます。
• 単純なつり合いは、現実の構造や変形の速さをすべて決めません。

答案のどこで迷ったか

個別に答案を見直すときは、まず地表の基準と補償深度が図にあるかを確かめます。根を地表から測っていれば、地殻底の差として書き直します。次に、密度差を取った理由を言葉で尋ね、マントルが地殻に置き換わる部分を指せるかを見ます。

式が合っていても単位や有効数字で止まる場合は、代入前の記号式と計算後の柱の質量を並べます。観測の散らばりをすぐ誤りと呼ぶ場合は、測定誤差とモデルの省略を分けて考えます。地表と地下を同じ柱に収めると、根の意味が見えてきます。