高校数学C 四点を通る球面—等距離条件の差から中心と半径を決定する｜武蔵野個別指導塾

距離の二乗の差を連立し、共面の四点も吟味して求める球面の中心を考えます。

よくあるのは、理系の高3が四点の座標を見て、四点を通る球面は無条件に1つと決めてしまう場面です。平面上の三点から円を考える経験は手がかりになりますが、点の並び方を調べずに個数を断定することはできません。四点が同じ平面にあると、中心の候補が残ることも、条件が食い違うこともあります。

中心を未知の点に置き、各点までの距離を比べましょう。距離の二乗の差を取れば、中心の座標の二次の項が消えます。連立一次方程式を解いた後、半径が正であることと、元の四点を通ることまで確かめます。座標とベクトルを空間へ拡張する数学Cの範囲で扱います。

四点の並びから問いを読む

出方の1つは、四点が同一平面上になく、球面の方程式を求める問題です。中心の3成分に対して等距離の式を3本作れば、中心が決まります。半径を求める前に四点の配置を確認すると、解の一意性を説明できます。

もう1つは、四点が同一平面上にあるときの球面の個数を問う問題です。四点が同一円周上にあれば、円の中心を通る平面への垂線上に球面の中心が並びます。同一円周上になければ球面は存在しません。三点が一直線に並ぶ場合も含め、等距離条件が両立するか調べます。

さらに、座標に文字を含む問題では、その値によって四点の配置や式の両立が変わります。先に文字で割ると、0の場合を落とします。割る前に場合を分け、各場合で元の条件へ戻ることが到達点です。

等距離の式を一次式に変える

球面は、ある点 C からの距離が正の定数 r に等しい点の集合です。C を中心、r を半径といいます。点 A、B、D、E を通るなら、中心は CA = CB = CD = CE を満たし、共通の距離が正でなければなりません。逆に、この条件を満たす C があれば、その距離を半径とする球面は四点を通ります。

中心 C(x, y, z)、基準点 A(a, b, c)、別の点 B(p, q, s) とします。長さは非負なので、CA = CB は CA² = CB² と同値です。両辺を展開して共通する x²、y²、z² を消すと、次の式になります。

(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = (x-p)² + (y-q)² + (z-s)²
2(p-a)x + 2(q-b)y + 2(s-c)z = p² + q² + s² - a² - b² - c²

この一次式は、A と B が異なれば線分 AB の垂直二等分面を表します。A と B が一致すれば等距離は自動的に成り立ち、式は 0 = 0 です。基準点と残りの3点で同じ操作をすると、中心は3本の式の共通解です。図1のように、各等距離条件の共通部分を中心の候補として見ます。図は関係を模式的に表し、見かけの長さを実際の距離として読みません。

図1の交わりが1点でも、連立式から得た点が四点と一致する特殊な場合には半径0です。半径0は球面として扱わないので、最後に距離を確かめます。四点が相異なれば共通距離は正です。

四点が同一平面上にない場合、A から残る3点へのベクトルは独立です。中心が2つあると仮定し、その差を v（ベクトル）とすると、等距離の一次式を引いて v はその3方向すべてと内積0になります。独立な3方向で空間の任意のベクトルを表せるため、v 自身とも内積0です。よって v = 0 であり、中心は高々1つです。また独立な3方向に対応する3本の一次式は一意に解けるので、中心が存在します。四点は相異なるため半径も正です。

一方、相異なる四点が同じ平面にあるとします。球面とその平面に共通する点が3点以上あれば、切り口は円です。したがって四点を通る球面があるなら四点は同一円周上にあります。逆に同一円周上なら、その円の中心から平面に垂直な直線上の各点を球面の中心に選べます。平面内の円の半径を ρ、中心の平面からの距離を h とすれば、球面の半径は √(ρ² + h²) です。円周上にない場合は存在しません。

基本例題：軸上の三点を使う

原点 A(0, 0, 0)、B(4, 0, 0)、D(0, 6, 0)、E(0, 0, 8) を通る球面の中心を座標で、半径を根号を用いて、方程式を標準形で求めてください。

ベクトル AB = (4, 0, 0)、AD = (0, 6, 0)、AE = (0, 0, 8) は独立です。したがって四点は同一平面上になく、球面は一意に存在します。中心 C(x, y, z) を置き、まず A との距離の二乗を使います。

CA² = x² + y² + z²
CB² = (x-4)² + y² + z²
CA² = CB² より 8x = 16
x = 2
CD² = x² + (y-6)² + z²
CA² = CD² より 12y = 36
y = 3
CE² = x² + y² + (z-8)²
CA² = CE² より 16z = 64
z = 4

中心は C(2, 3, 4) です。図2のように A から各軸方向へ伸びる3辺について、中心の対応する成分はそれぞれ辺の中点の成分です。斜めに見える線の長さは投影によるもので、数値を直接測りません。

半径 r は原点までの距離から求まります。図2の C から各頂点への距離を二乗で比較すると、計算の検算にもなります。

r² = 2² + 3² + 4²
r² = 29
r = √29
(x-2)² + (y-3)² + (z-4)² = 29

r は正です。B、D、E への差の成分はそれぞれ (-2, 3, 4)、(2, -3, 4)、(2, 3, -4) で、いずれも二乗の和は 29 です。方程式に四点を代入しても右辺に戻るので、中心の候補が実際に求める球面を与えることまで確認できます。

標準例題：斜めの辺でも差を取る

A(1, 1, 1)、B(5, 1, 1)、D(1, 5, 1)、E(2, 2, 4) を通る球面の中心と半径を求め、球面の方程式を標準形で答えてください。半径は根号を用います。

AB = (4, 0, 0)、AD = (0, 4, 0) の実数倍の和は第3成分が0です。AE = (1, 1, 3) の第3成分は0でないため、四点は同一平面上にありません。中心を C(x, y, z) とし、A を基準に等距離の差を取ります。

CA² = CB² より 8x = 24
x = 3
CA² = CD² より 8y = 24
y = 3
CA² = CE² より 2x + 2y + 6z = 21
6 + 6 + 6z = 21
z = 3/2

最後の式の右辺は、E の各成分の二乗の和 24 から A の二乗の和 3 を引いた 21 です。差を取る順番を逆にしても、両辺の符号が同時に変わるため結果は同じです。

CA² = (3-1)² + (3-1)² + (3/2-1)²
CA² = 4 + 4 + 1/4
CA² = 33/4
r = √33/2
(x-3)² + (y-3)² + (z-3/2)² = 33/4

E への差は (1, 1, -5/2) で、二乗の和は 1 + 1 + 25/4 = 33/4 です。B と D への差もそれぞれ (-2, 2, 1/2)、(2, -2, 1/2) なので同じ値です。連立の解が元の距離に戻ることを各点で確認しました。

発展例題：文字が0になる場合

A(0, 0, 0)、B(2, 0, 0)、D(0, 2, 0)、E(2, 2, t) を通る球面について、実数 t の値ごとに球面の個数を求めてください。1つの場合は中心と半径を、複数の場合は中心と半径を実数を用いて表してください。

中心を C(x, y, z) とします。最初の2つの等距離条件から、t の値にかかわらず次を得ます。

CA² = CB² より 4x = 4
x = 1
CA² = CD² より 4y = 4
y = 1
CA² = CE² より 4x + 4y + 2tz = 8 + t²
8 + 2tz = 8 + t²
2tz = t²

ここで t で割る前に場合を分けます。t ≠ 0 なら z = t/2 です。AB、AD の第3成分は0で、AE の第3成分は t ≠ 0 なので四点は非共面です。中心は (1, 1, t/2)、半径は √(2 + t²/4) で、球面は1つです。半径の二乗は正です。

CA² = 1 + 1 + t²/4
CE² = (1-2)² + (1-2)² + (t/2-t)²
CE² = 2 + t²/4

B、D についても第1成分または第2成分の符号が変わるだけで、距離の二乗は同じです。したがって答えは元の四点を通ります。

t = 0 なら最後の式は 0 = 0 で、z は任意です。中心を (1, 1, h)、h を任意の実数とすると半径は √(2 + h²) です。四点は平面 z = 0 上の正方形の頂点で、中心 (1, 1, 0)、半径 √2 の同一円周上にあります。各頂点から中心までの距離の二乗は 2 + h² で正ですから、異なる h ごとに異なる球面があり、無数に存在します。

共面なら必ず無数とは限りません。例えば A(0, 0, 0)、B(2, 0, 0)、D(0, 2, 0)、E(3, 3, 0) では、最初の3点から x = 1、y = 1 ですが、E との等距離条件は 6x + 6y = 18 です。左辺は 12 なので矛盾し、中心はありません。この四点を通る球面も存在しません。0 = 0 と 0 = 正の数は異なる結論につながります。

誤答を中心の条件へ戻す

誤答として「四点があれば球面は1つである。発展例題で t = 0 としても z = t/2 = 0」とする答案を考えます。t ≠ 0 の式を t = 0 に持ち込んだ点が誤りです。2tz = t² から z = t/2 を得る操作は t で割るため、t = 0 のときには使えません。

図3のように t = 0 では、中心は正方形の中心を通る垂線上に動けます。例えば h = 0 と h = 1 は別の中心を与え、半径はそれぞれ √2 と √3 です。両方とも4頂点への距離が等しく、1つと限定する根拠はありません。

別の誤りは、中心の連立式が矛盾したのに半径を適当に決めることです。図3のような中心の直線が現れるのは、等距離条件が両立するときです。矛盾があれば距離が等しい点そのものがないので、半径を選ぶ段階に進めません。式を消去した結果が 0 = 0 か、0 = 0 でない数かを読み分けます。

練習問題

いずれも自作の座標です。中心は座標で、半径は必要に応じて根号を用いて答えてください。球面の方程式を求めるときは標準形で表します。

1. A(0, 0, 0)、B(6, 0, 0)、D(0, 4, 0)、E(0, 0, 2) を通る球面の中心、半径、方程式を求めてください。
2. A(0, 0, 0)、B(2, 0, 0)、D(0, 4, 0)、E(2, 4, 0) を通る球面の個数と、中心および半径の取り得る値を求めてください。
3. A(0, 0, 0)、B(4, 0, 0)、D(0, 2, 0)、E(4, 4, 0) を通る球面の個数を求めてください。
4. A(0, 0, 0)、B(2, 0, 0)、D(0, 2, 0)、E(0, 0, s) を通る球面の個数を実数 s で場合分けしてください。存在する場合は中心と半径も求めてください。
5. A(1, 0, 0)、B(3, 0, 0)、D(1, 2, 0)、E(1, 0, 4) を通る球面の中心、半径、方程式を求めてください。

練習の解答と解き方

1

3方向 (6, 0, 0)、(0, 4, 0)、(0, 0, 2) は独立なので、球面は一意です。中心を (x, y, z) とし、原点との距離の二乗をそれぞれ比較します。

12x = 36
8y = 16
4z = 4
(x, y, z) = (3, 2, 1)
r² = 9 + 4 + 1 = 14
r = √14
(x-3)² + (y-2)² + (z-1)² = 14

各頂点への差は (3, 2, 1) の成分の符号を1つ変えたものです。どの距離の二乗も14で、正の半径 √14 に戻ります。

2

四点は z = 0 上にあります。中心 (x, y, z) の等距離条件を原点を基準に取ります。

4x = 4
8y = 16
4x + 8y = 20
x = 1、y = 2

最後の式も成立し、z は任意です。任意の実数 h に対して中心は (1, 2, h)、半径は √(5 + h²) です。4点への距離の二乗はどれも 5 + h² で正なので、球面は無数に存在します。4点が同一円周上にあることにも対応します。

3

原点との距離を比較すると、B、D からそれぞれ x = 2、y = 1 です。E との比較も必要です。

8x = 16
4y = 4
8x + 8y = 32
8・2 + 8・1 = 24

最後の等式は成り立ちません。共通の中心が存在しないため、求める球面の個数は0です。例えば候補 (2, 1, h) から A への距離の二乗は 5 + h²、E へは 13 + h² で、どの h でも一致しません。

4

B、D との等距離から x = 1、y = 1 です。E との比較は 2sz = s² になります。

s ≠ 0 のとき z = s/2
中心 (1, 1, s/2)、半径 √(2 + s²/4)
s = 0 のとき 0 = 0
中心 (1, 1, h)、半径 √(2 + h²)

s ≠ 0 なら3方向は独立で球面は1つ、s = 0 なら E は A と一致し、任意の実数 h に対する球面があるので無数です。前者では E への第3成分の差が -s/2 となり、A への差 s/2 と二乗が等しいことを確認できます。後者でも A と E は同じ点で、B、D への距離の二乗は 2 + h² です。

5

A からの3方向 (2, 0, 0)、(0, 2, 0)、(0, 0, 4) は独立です。中心 (x, y, z) と各点の距離を比べます。

4x = 8
4y = 4
8z = 16
(x, y, z) = (2, 1, 2)
r² = (2-1)² + 1² + 2² = 6
r = √6
(x-2)² + (y-1)² + (z-2)² = 6

A への差 (1, 1, 2) に対して、B、D、E への差はそれぞれ (-1, 1, 2)、(1, -1, 2)、(1, 1, -2) です。二乗の和はいずれも6で、求めた方程式は四点を通ります。

手元に残す要点

• 中心から基準点と残りの点までの距離の二乗を等しくし、差を取ります。
• 非共面の四点なら中心と正の半径が一意に定まります。
• 共面の相異なる四点は、同一円周上なら無数、そうでなければ0個です。
• 文字で割る前に0の場合を分け、中心と半径を元の条件へ戻します。

止まった場所を見分ける

式が複雑なら、基準点から各点へのベクトルを並べ、二乗の差で中心の二次項が消えているか確認します。符号が合わなければ、基準点を左右どちらに置いたかを各式でそろえます。連立後は、解の個数と球面の個数を結ぶ前に半径の正負を調べます。

個別指導で説明を試すなら、共面の図に中心の候補を描き、どの距離が等しいか言葉にしてみましょう。矛盾する例では、どの2つの条件が両立しないか式に印を付けます。四点の配置と等距離の連立が、球面の個数を決めます。