テスト前の勉強で途中から丸めすぎたら—元の値を残して答えのずれをたどる復習法｜武蔵野個別指導塾

途中で丸めた値と元の値を行ごとに並べ、答えがずれ始めた位置を探す手順をたどります。記録の鍵は途中丸めです。

よくあるのは、高1のお子さまがテスト前の夜に問題を解き、途中の小数を丸めたところ、模範解答と答えが合わなくなったという場面です。答えだけを見直すと、計算が苦手なのか、公式を覚えていないのかと迷います。まず答案に残った数字を消さず、どの行で何を使ったかを追ってみましょう。丸める前の値が残っていれば、ずれの入口を絞れます。

答えの差を最初の書き換えまで戻す

たとえば、7を3で割り、その結果に6を掛ける計算を考えます。途中の値を分数のまま残せば、7 ÷ 3は7/3で、これに6を掛けると14です。一方、途中で7 ÷ 3を2.3と書き換えてから6を掛ければ13.8です。最終結果の差は0.2ですが、その差が最初に生じたのは掛け算の後ではありません。7/3を2.3に置き換えた行です。

図1のように、同じ出発点から2つの道を並べると、どの値を次の計算に渡したかが見えます。分数のまま進む道と、2.3を使う道を混ぜずに読みます。最後の14と13.8だけを比べても、どの行で値が変わったかはわかりません。

ここでの2.3は、7/3と同じ値ではありません。小数で表すと2.333…と続く値を短くしたものです。そのため、次の計算に使う値も変わります。丸めた後に掛ける数があると、途中で生じた差もその計算を受けます。今回の例では、7/3と2.3との差である1/30に6を掛け、差は1/5、つまり0.2になります。

ただし、答えが違う理由を最初から丸めと決めないでください。問題文の数の写し間違い、演算の取り違え、別の行の計算間違いでも差は生じます。丸めた行が見つかったら、その前の計算が問題文に沿っているかも確かめます。丸め前の計算が違っていれば、その行まで戻り、正しい値を出してから比較し直します。

問題文に答えの表し方や途中の値の扱いが指定されている場合は、その指示を先に読みます。最後にどこまで表すかという指示と、途中でどの値を使うかという記録は分けて考えます。模範解答が小数で書かれていても、そこに至る途中で同じ桁にしてよいとは限りません。

また、途中の値を長く残したこと自体が正解の証拠になるわけではありません。数字を多く書いても、元の計算が違えば先の値も違います。自分が実際に使った数字を保存し、その隣に丸める前の値を置くことで、差が生じた場所と計算の誤りを別々に調べられます。

自分の答案に2本の道を作る

準備するものは、問題文、自分の答案、模範解答、そして書き足すための余白です。最初に答案へ正解を上書きせず、元の数字が読める状態を保ちます。紙が足りなければ別の紙に式を写し、どの行を写したか印を付けます。消した部分が読めない場合は、見える部分と推測した部分を区別してください。

図2のように、問題文から始めて、自分の値と元の値を同じ高さに並べます。丸めた場所に印を付け、その次の行ではそれぞれの列にある値を使います。片方の列だけを途中から正しい値に入れ替えると、どの操作が差を生んだか追えません。

最初に、問題文の数と自分の1行目を照合します。等しくないなら、その食い違いを記録します。次に各行の演算をたどり、自分の答案の値から次の値が本当に出るか確かめます。たとえば、途中値を2.3としたのに次の行が13.2なら、2.3に6を掛けた結果ではありません。この場合は丸め以外にも計算の確認が必要です。

続いて、丸める前の列を作ります。割り切れない割り算は、問題の条件に反しなければ分数のまま残すと元の値を表せます。有限の小数なら、出た桁を消さずに書けます。どちらの場合も、答えの表記について問題に指示があるなら、その指示に従います。途中の記録を残すことと、最終的にどの形で答えるかは別の作業です。

2列が最初に異なった行に印を付け、何をどう書き換えたかを短く書きます。「7/3を2.3にした」のように、前後の両方が読める表現にします。「小数を間違えた」だけでは、元の値が何だったか後から追えません。その次に、両列を同じ演算で進めます。最後の差だけでなく、丸めた直後の差も見ておくと、後の演算で差がどう変わったか確かめられます。

自分の列が再現できたら、元の値を残した列と模範解答を比べます。合えば、今回の差は記録した書き換えで説明できるかを、各行の計算と合わせて判断します。合わなければ、丸めた行より前の式、次に使った演算、問題文の条件を順に見ます。模範解答だけを写して終えず、初めて一致しなくなる行を探してください。

元の値が残っていない場合にも、問題文から同じ計算をやり直せることがあります。直前の式が読めるなら、その式から求めた値を別の欄に書きます。ただし、途中の式も消えていて計算の道筋が複数考えられるなら、元の答案を確定したことにはなりません。「ここから先は候補」と印を付け、残った記録と整合するか調べます。候補が複数あるときは、どれか1つを事実として書き戻さず、問題文と相談できる相手に見せます。

計算用の道具に長い値が表示された場合も、表示された数字と実際に次の行に書いた数字を区別します。画面を閉じて元の入力がわからなくなったら、見えていた桁を想像で補わず、問題文から入力し直します。道具が使えないときは、分数のまま計算できる範囲から進め、止まった場所を残します。道具が使える場合も使えない場合も、他人がたどれる形に入力と結果を記録します。

別の計算で入口を探す

今度は5を6で割り、その値に12を掛けます。元の値を残すと、5 ÷ 6は5/6です。5/6に12を掛けると10になります。一方、途中で0.8と書いて12を掛けると9.6です。図3のように、0.8に変えた時点ですでに値が異なり、その後の掛け算にそれぞれの値が渡っています。

この例では、5/6と0.8の差は1/30です。両方に12を掛けた結果の差は12/30、つまり0.4です。10と9.6の差も0.4なので、途中の差と最後の差がつながります。差の計算が合えば、その比較は筋道を持っています。ただし、元の問題を正しく読んだかどうかは別に照合します。

2列を最後まで書けたときは、丸めた行に印を残し、次に同じ種類の問題を解く際の自分向けの一言を添えます。「割った直後の分数を残してから掛ける」と書けば、次の行動が具体的です。正しい答えだけを横に書くより、どこに戻るかが明確になります。新しい問題で実際にその記録を使い、途中の値を再現できるか試します。

途中で止まったときは、止まった位置によって戻り先を変えます。5/6を12倍する計算ができなければ、分数に整数を掛ける行に戻り、5に12を掛けて6で割る形を確かめます。0.8を12倍する計算が合わなければ、その掛け算を別に書き直します。元の値の列と丸めた列の両方が途中で違うなら、共通する問題文の読み取りから点検します。

最後の値がたまたま同じ表記になっても、途中の2つの値が同じだったとは限りません。最後の指定に従って表した結果が一致した場合は、表す前の値も記録しておきます。逆に、最後に違いが出たからといって、丸めた行以外に誤りがないとも限りません。自分の行を1行ずつ再現できたかが、原因を考える土台です。

記録が途中で途切れたとき

答案に「0.8」とだけ残っていて、その直前に何を割ったか書いていない場合を考えます。問題文から5 ÷ 6という計算をすることは読み取れても、本人が実際にその計算をして0.8を書いたか、別の計算から書いたかは答案だけでは断定できません。問題文から作った列には5/6を書き、答案から読める列には0.8を書きます。その間にある操作は空欄のままにして、推測で矢印を完成させないようにします。

その後の9.6が0.8に12を掛けた結果として再現できれば、少なくともその先のつながりは確かめられます。一方、再現できなければ、掛けた数の写し間違いや計算の途中の省略も候補です。どちらの場合も、読める事実と考えられる筋道を分けて書きます。元の答案の穴が埋まらないままでも、次に同じ問題を解くときに分数と演算を残す練習はできます。

時間が足りず、その場で2列の最後まで進めない日もあります。その場合は、問題文に戻れる印、最初に違うと考えた行、次にする計算の3点を残します。翌日に再開したら、印の前の行から数字を読み直し、記憶だけで続きを書かないようにします。予定どおり最後までできたときは、最後の差から逆に丸めた行へ戻り、記録した経路が両方向に読めるかを確認します。

模範解答の途中式が省略されているときもあります。その場合、答えが違う場所を解答から直接読み取ることはできません。自分で元の値を残した列を問題文から作り、各行を計算してから最終結果と照合します。それでも合わないときは、解答に合わせるために途中の数を変えず、問題の条件と自分の式を持って質問します。答えが合った場合にも、自分の各行が正しいかは別に確認します。

紙を折ってから挑む確認問題

次の問題は、上の説明とは別の数です。答えの部分を隠し、まず自分で2列を書いてください。

8を3で割った結果に9を掛けます。Aさんは途中の値を2.7として計算しました。元の値を分数のまま残した列と、Aさんの列をそれぞれ最後まで書きます。初めて値が異なる行と、最後の値の差も求めてください。

考える途中では、元の値を書いた行から次の計算へ矢印を引きます。Aさんの列にも別の矢印を引き、それぞれに9を掛けます。元の値をどちらの列にも使ってしまうと、Aさんが実際にした計算の再現にはなりません。計算の順番を問題文に戻って確認してから解答を開きます。

解答と戻り先

元の値の列は8 ÷ 3が8/3、次に8/3に9を掛けて24です。Aさんの列は2.7に9を掛けて24.3です。最初に異なるのは8/3を2.7とした行で、最後の値の差は0.3です。8/3は2.666…と続くため、2.7は元の値より大きくなっています。その差1/30に9を掛けると3/10で、0.3です。

24が出なかった場合は、8/3に9を掛ける行に戻り、9を3で割ってから8を掛けられるか確認します。24.3が出なかった場合は、2.7に9を掛ける計算を独立して確かめます。差の向きが逆になった場合は、8/3と2.7の大小に戻り、2つの列の引く順番をそろえます。丸めた位置がわからなかった場合は、問題文の「途中の値を2.7」とした箇所と、自分の列の8/3を並べます。

両方の答えが出た場合も、最後の数字だけで採点せず、どの行から値が異なるか説明できるか確認します。説明が途中で途切れたら、完成した解答を隠し、2列の各行に「この値を次に使う」と書き添えて再度たどります。式の形を覚えるだけでなく、自分の答案に戻ったときに同じ照合ができる状態を目指します。

家で見せる紙と尋ねる言葉

家で確かめるときは、問題文、自分の答案、模範解答、2列の記録を一緒に置きます。お子さまが答えを直した後なら、直す前の値が読める箇所も示します。保護者の方は、最終結果を先に告げる代わりに「次の行へ渡した数はどれ」と尋ねると、本人が自分の記録をたどれます。丸め前の値が不明なら、不明の印をそのまま残して問題文に戻ります。

個別指導などで相談するときは、「この行までは再現できたが、ここで元の値が消えた」と見せると、質問する場所が定まります。2列を最後まで書けた場合は、最初に異なる行と最後の差がつながるかを尋ねられます。途中で止まった場合も、止まる直前の式と試した計算を持っていけば、どの操作から確かめるか選べます。

答えが合った問題にも、途中で値を書き換えた行があれば、元の値を横に残してみます。合わなかった問題では、最後の数字だけを消さず、最初に値が変わった行まで戻ります。答案の中に残した元の値が、次に見直すときの道しるべです。