大学入試数学 動く直線の通過領域—通る点を固定して媒介変数の実数解の条件へ直す｜武蔵野個別指導塾

媒介変数を含む直線の式へ点の座標を代入し、得られた二次方程式が実数解をもつ範囲として通過領域を決めます。境界の一点を実際の直線へ戻す確認と、次数が下がる点の扱いまで答案に入れます。

よくあるのは、媒介変数を含む直線が動く問題で、境界の曲線だけをノートに写して答えにする場面です。曲線をなぞっただけの答案は、直線がその曲線の上だけを通ると読めてしまい、内側の広い部分を落とします。点を一つ固定し、その点を通る媒介変数が実数に取れるかを調べる順に直すと、塗る範囲も境界の所属も同じ計算で決まります。

通過領域は点を固定して存在を問う問題である

出題の形は大きく三つに分かれます。第一に、媒介変数を含む直線の式が与えられ、その直線が動くときに通る点の集合を求める形です。第二に、与えられた点がその集合に入るか、境界の点を含むかを問う形です。第三に、集合のうち x 軸上や第一象限など一部だけを取り出させる形です。どの形でも、答え方は不等式か、境界の曲線と除く点の組になります。

使う道具はどの形でも同じです。点の座標を直線の式へ代入し、媒介変数についての方程式を作ります。その方程式が実数解をもつかどうかを判別式や平方完成で調べ、最後に境界の点へ具体的な媒介変数の値を戻して確かめます。この順番を崩すと、範囲の取り違えや境界の落とし忘れが起きます。

通過領域の問題は、媒介変数の値ごとに答えが変わるのではなく、点の側から見て、その点を通る値があるかを問うています。二本の直線の交点を一つ求める問題とは違い、答えは点の集合になります。だから最後の答えは、不等式か、境界の曲線と除く点の組で書きます。

前提として、媒介変数は実数全体を動くとします。二次方程式の実数解の条件を用いますが、係数が0になる点では方程式の次数が下がるため、二次式としての判別式がそのままは使えません。次数が下がる点の確認を、場合分けの一つとして最初から答案に組み込みます。

点を固定して媒介変数の方程式に直す

媒介変数 t の値ごとに一本の直線 L(t) があるとします。t が実数全体を動くとき、L(t) の上にある点をすべて集めたものが通過領域です。式で書けば、通過領域は t を実数全体で動かしたときの L(t) の和集合になります。

点 P(x, y) を一つ取ります。P が通過領域に入ることは、P を通る L(t) が存在することと同じです。そこで P の座標を L(t) の式へ代入し、t についての方程式 F(t) = 0 を作ります。F(t) = 0 に実数解があれば P は通過領域に入り、実数解がなければ入りません。図1のように、点を固定して方程式の実数解を数える見方に切り替えるのが出発点です。

図1では、直線族のうち三本を描き、そのうち一本の上に点Pを、どの線にも乗らない位置に点Qを置いています。Pには対応する媒介変数があり、Qにはありません。この違いが、そのまま方程式の実数解の有無になります。

F(t) が二次式 a t² + b t + c で、a ≠ 0 のときは判別式 D = b² − 4ac が使えます。D ≥ 0 なら実数解があり、D < 0 ならありません。D = 0 のときは重解で、一つの値だけが対応します。重解は解なしではないため、境界の点も通過領域に含まれます。

a = 0 となる点では、方程式は一次式か、そもそも成立しない式になります。一次式 b t + c = 0 は b ≠ 0 なら t = -c/b という解をもちます。b = 0 まで重なると、c = 0 ならすべての t が解になり、c ≠ 0 なら解がありません。この三つの場合を、点の座標ごとに分けて書く必要があります。

通過領域は和集合ですから、同じ点に複数の媒介変数が対応してもかまいません。二本の直線が交わる点は、二つの t で通ります。答案では少なくとも一つの実数解があればよいと書き、重複は気にしません。

なぜ曲線ではなく面が答えになるのかを、判別式の値で見直します。D > 0 の点では t が二つあり、その点は二本の直線の交点になっています。D = 0 の点では t が一つで、一本の直線が境界に触れるように通ります。D < 0 の点には t がありません。t を少しずつ変えると直線が連続的に動き、隣り合う直線どうしが交わって隙間を埋めるため、答えは曲線ではなく、境界の片側の面になります。

必要条件と十分条件も分けて書きます。D ≥ 0 は、実数解が存在するために満たすべき条件として計算します。その条件を満たす点に本当に t があるかは、t の式を書いて示します。答案では、条件を出した後に「このとき t = … は実数である」と一文を添えるだけで、十分性の確認になります。

曲線を先に決めて、その曲線に接する直線を集める見方もあります。ただし、その見方だけでは内側の点が通るかどうかを示せません。ここでは点の側から方程式を作り、実数解の存在で領域を決めます。媒介変数に範囲が付く問題では、実数解がその範囲に入るかを別に調べますが、ここで扱うのは範囲のない直線族だけです。

基本例題で境界と内側を確かめる

例題1 難しさは標準です。t を実数とするとき、直線 L(t): y = 2tx − t² の通過領域を求めなさい。答えは不等式で表し、境界を含むかどうかも明記します。

点 P(x, y) を固定します。P が L(t) の上にある条件を、t について整理します。

y = 2tx - t²
t² - 2xt + y = 0

t² の係数は1で、0になりません。したがって常に二次方程式として扱えます。判別式を計算します。

D = (-2x)² - 4・1・y
  = 4x² - 4y
  = 4(x² - y)

実数解をもつ条件は D ≥ 0 です。

4(x² - y) ≥ 0
x² - y ≥ 0
y ≤ x²

必要条件だけでは答えになりません。y ≤ x² を満たす点に実際の t があることを示します。

t = x ± √(x² - y)

x² − y ≥ 0 なので根号の中は0以上で、t は実数です。この t を元の式へ代入すると等式が戻ります。境界 y = x² では根号が0になり、t = x が対応します。よって通過領域は y ≤ x² で、境界の放物線も含みます。

同じ計算は平方完成でも済みます。t の二次式を平方の形にすると、実数解の存在がそのまま不等式になります。

t² - 2xt + y = (t - x)² + y - x²
(t - x)² + y - x² = 0
y - x² = -(t - x)²
-(t - x)² ≤ 0 なので y - x² ≤ 0
y ≤ x²

等号は t = x のときです。平方の形にすると、境界で t が決まることも同時に見えます。どちらの方法でも、最後に境界の点へ t の値を戻す作業は省きません。

図2のように、境界の放物線 y = x² と、その下側の面全体が通過領域です。t = 1 の直線 y = 2x − 1 は点 (1, 1) で境界に触れ、その前後では内側を通ります。

数値を入れて確かめます。点 (1, 1) では t = 1 が対応します。点 (2, 3) では t² − 4t + 3 = 0 となり、t = 1 と t = 3 の二つが対応します。点 (0, -1) では t² − 1 = 0 となり、t = 1 と t = -1 が対応します。点 (2, 4) は境界の上で t = 2、点 (2, 5) は 5 > 4 なので t² − 4t + 5 = 0 の判別式が -4 となり、実数解はありません。

標準と発展の例題で場合を分ける

例題2 係数が0になる点を残す

難しさは標準です。t を実数とするとき、直線 L(t): tx + (1 − t)y = 2 の通過領域を求めなさい。

点 P(x, y) を固定し、左辺を t についてまとめます。

tx + (1 - t)y = 2
t(x - y) + (y - 2) = 0

t の係数 x − y が0かどうかで場合を分けます。

1. x ≠ y のとき。両辺を x − y で割ることができ、t = (2 − y)/(x − y) という実数が定まります。よって P は通過領域に入ります。

2. x = y のとき。左辺は 0 + (x − 2) になります。x = 2 なら t の値によらず等式が成立し、x ≠ 2 ならどの t でも成立しません。

答えは {(x, y) | x ≠ y または (x, y) = (2, 2)} です。言葉にすると、直線 y = x 上の点を除き、ただし点 (2, 2) だけは加えた領域になります。

点 (2, 2) はどの t でも通る定点です。t = 0 なら y = 2、t = 1 なら x = 2、t = 2 なら 2x − y = 2 となり、いずれも (2, 2) を通ります。一方、点 (1, 1) は x = y で x ≠ 2 なので、どの t でも通りません。点 (3, 0) は t = 2/3、点 (1, 2) は t = 0 が対応します。

この例題の落とし穴は、x = y を係数0として一括で切り捨てることです。x = y の中に一点だけ通る点が隠れているため、代入してから判断します。

別の見方でも同じ答えになります。式を t(x − 2) + (1 − t)(y − 2) = 0 と書き直すと、どの t でも (2, 2) を通ることが見えます。t = 1 は x = 2、t = 0 は y = 2 で、それ以外の t では傾きが t/(t − 1) です。この傾きは1以外のすべての実数を取るため、集まる直線は (2, 2) を通る直線のうち、傾き1の直線 y = x だけを除いたものになります。除外した直線上の点 (2, 2) だけは、ほかの直線にも乗るため答えに残ります。二つの見方の答えが一致することで、場合分けの取りこぼしを確かめられます。

例題3 次数が下がる点を除く

難しさはやや難です。t を実数とするとき、直線 L(t): tx + t²y = 1 の通過領域を求めなさい。除かれる点があれば座標で書きなさい。

点 P(x, y) を固定し、t の降べきの順に並べます。

y t² + x t - 1 = 0

最高次の係数が y なので、y = 0 かどうかで場合を分けます。

1. y ≠ 0 のとき。二次方程式として判別式を計算します。

D = x² - 4・y・(-1)
  = x² + 4y

D ≥ 0 より x² + 4y ≥ 0、すなわち y ≥ -x²/4 です。このとき t = (-x ± √(x² + 4y))/(2y) は実数です。

2. y = 0 のとき。方程式は x t − 1 = 0 になります。x ≠ 0 なら t = 1/x が対応し、x = 0 なら -1 = 0 となって解がありません。

答えは y ≥ -x²/4 かつ (x, y) ≠ (0, 0) です。放物線 y = -x²/4 の上側で、原点だけを除いた領域になります。

境界の放物線は除かれません。y = -x²/4 の点では D = 0 となり、t = 2/x が対応します。点 (2, -1) では t = 1、点 (-2, -1) では t = -1 が実際に等式を満たします。原点だけは、y = 0 の場合の x = 0 に当たるため通れません。

x = 0 で y ≠ 0 の点は、すべて通ります。点 (0, 1) では t² = 1 より t = 1 と t = -1、点 (0, 1/2) では t² = 2 より t = ±√2 が対応します。

この答えは、曲線だけでも閉じた面でもありません。境界の放物線は含みますが、原点という一点だけが抜けています。点が抜けるのは、y = 0 のときに方程式が一次式へ変わり、その一次式の定数項 -1 が0にならないためです。次数が下がる場面では、最高次の係数だけでなく定数項まで見て判断します。

例題4 判別式の係数が点で変わる

難しさは難です。t を実数とするとき、直線 L(t): (t² − 1)x + 2ty + t² + 1 = 0 の通過領域を求めなさい。

点 P(x, y) を固定し、t について整理します。

(t² - 1)x + 2ty + t² + 1 = 0
(x + 1)t² + 2yt + (1 - x) = 0

最高次の係数が x + 1 なので、x = -1 かどうかで場合を分けます。

1. x ≠ -1 のとき。判別式は次のようになります。

D = (2y)² - 4(x + 1)(1 - x)
  = 4y² - 4(1 - x²)
  = 4(x² + y² - 1)

D ≥ 0 より x² + y² ≥ 1 です。このとき実数解 t が存在します。

2. x = -1 のとき。方程式は 2yt + 2 = 0 になります。y ≠ 0 なら t = -1/y が対応し、y = 0 なら 2 = 0 となって解がありません。

答えは x² + y² ≥ 1 かつ (x, y) ≠ (-1, 0) です。円 x² + y² = 1 の外側と円周を合わせ、点 (-1, 0) だけを除いた領域になります。

円周上の点は境界として含まれます。x ≠ -1 の円周上の点では D = 0 となり、t = -y/(x + 1) が対応します。点 (1, 0) では t = 0、点 (0, 1) では t = -1、点 (0, -1) では t = 1 です。点 (-1, 0) だけは x = -1、y = 0 の場合に当たり、どの t でも 2 = 0 になるため通りません。

円の内側の点は通りません。点 (0, 0) では t² + 1 = 0 となり実数解がなく、点 (0, 1/2) では t² + t + 1 = 0 の判別式が -3 になります。点 (-1, 1/2) は x = -1 の枝で t = -2 が対応するため、円の内側でも通る点として残ります。

円との関係を確かめる計算も添えます。原点から直線までの距離は、点と直線の距離の式で |t² + 1|/√((t² − 1)² + (2t)²) です。分母は √(t⁴ + 2t² + 1) = t² + 1 なので、距離は常に1になります。つまり、この直線族は円 x² + y² = 1 に接する直線を集めたものです。接点は ((1 − t²)/(1 + t²), -2t/(1 + t²)) で、t を動かしても (-1, 0) だけは現れません。円周上の点 (-1, 0) を通る接線は x = -1 だけで、これは族に含まれません。判別式で求めた一点の除外が、図形の言葉でも説明できます。答案では判別式の計算を主にし、この見方は検算として使います。

よくある誤りと直し方

最初の誤りは、境界の曲線だけを答えにすることです。例題1で答えを y = x² と書くと、点 (0, -1) が落ちます。実際には t = 1 でも t = -1 でも (0, -1) を通ります。直し方は、内側の点を一つ選び、t = x ± √(x² − y) のように具体的な値を答案へ書くことです。

二つ目の誤りは、判別式を D > 0 に変えて境界を外すことです。例題1の点 (1, 1) は D = 0 ですが、t = 1 で通り、除外する理由がありません。D = 0 は重解であって解なしではないため、等号を含めて D ≥ 0 と書きます。

三つ目の誤りは、最高次の係数が0になる点を飛ばすことです。例題3で y = 0 を二次式として処理すると、D = x² ≥ 0 から原点まで含めてしまいます。x = 0 のとき方程式は -1 = 0 で解がないため、原点は除きます。係数が0になる点は、必ず元の式へ戻して確かめます。

四つ目の誤りは、不等式の向きを逆にすることです。例題3で D = x² + 4y ≥ 0 を y ≤ -x²/4 と変形すると、放物線の下側を答えてしまいます。直し方は、境界の外の点を一つ代入することです。点 (0, 1) は -x²/4 = 0 より上にあり、実際に t = ±1 で通ります。具体的な点で向きを確かめると、符号の迷いが消えます。

判別式は、方程式が二次式であるときだけ実数解の存在を判定します。最高次の係数が点によって0になる問題では、判別式の計算が意味を持たない点があります。例題2の x = y や例題3の y = 0 がそれです。場合分けを答案の最初に書き、係数0の点を別に処理することが、判別式を使う前提になります。

図3のように、境界上の点 P(1, 1) には t = 1 の直線が通り、内側の点 R(0, -0.25) には t = 1/2 と t = -1/2 の二本が通ります。外側の点 (-1, 2) は、どの媒介変数でも通りません。境界を外す誤りも、内側を落とす誤りも、この一点ずつの確認で見つかります。

練習問題

練習1 実数 t が動くとき、直線 y = 3tx − 3t² の通過領域を求めなさい。答えは不等式で表します。

練習2 実数 t が動くとき、直線 y = t(x − 1) + t² の通過領域を求めなさい。境界を含むかどうかも明記します。

練習3 実数 t が動くとき、直線 tx + (t + 1)y = 4 の通過領域を求めなさい。除かれる点があれば座標で書きなさい。

練習4 実数 t が動くとき、直線 t²x + 2ty + 1 = 0 の通過領域を求めなさい。

練習5 実数 t が動くとき、直線 y = t²x + t の通過領域を求めなさい。境界の曲線の式も書きなさい。

練習問題の解答

練習1の解答。点 P(x, y) を固定し、t について整理します。

y = 3tx - 3t²
3t² - 3xt + y = 0
D = 9x² - 12y

D ≥ 0 より 9x² − 12y ≥ 0、すなわち y ≤ (3/4)x² です。t² の係数は3で0にならないため、場合分けは要りません。境界 y = (3/4)x² では t = x/2 が対応します。点 (2, 3) は境界の上で t = 1、点 (2, 4) は外側で実数解がありません。答えは y ≤ (3/4)x² で、境界を含みます。

練習2の解答。同じく点を固定して整理します。

y = t(x - 1) + t²
t² + (x - 1)t - y = 0
D = (x - 1)² + 4y

D ≥ 0 より y ≥ -(x − 1)²/4 です。係数は1なので場合分けはありません。境界では t = -(x − 1)/2 が対応します。点 (2, 0) では t² + t = 0 より t = 0 と t = -1、点 (1, -1) では t² + 1 = 0 となり実数解がありません。答えは y ≥ -(x − 1)²/4 で、境界を含みます。

練習3の解答。左辺を t についてまとめます。

tx + (t + 1)y = 4
t(x + y) + (y - 4) = 0

1. x + y ≠ 0 のとき。t = (4 − y)/(x + y) という実数が定まり、点は通過領域に入ります。

2. x + y = 0 のとき。方程式は y − 4 = 0 になります。y = 4 かつ x = -4 のときだけ、t の値によらず成立します。

答えは {(x, y) | x + y ≠ 0 または (x, y) = (-4, 4)} です。直線 x + y = 0 上の点を除き、点 (-4, 4) だけを加えた領域になります。点 (-4, 4) は -4t + 4(t + 1) = 4 となり、どの t でも通ります。

練習4の解答。y ではなく x が最高次の係数になる形です。

x t² + 2y t + 1 = 0

1. x ≠ 0 のとき。D = 4y² − 4x より、D ≥ 0 は y² ≥ x です。

2. x = 0 のとき。方程式は 2yt + 1 = 0 になります。y ≠ 0 なら t = -1/(2y) が対応し、y = 0 なら 1 = 0 となって解がありません。

答えは y² ≥ x かつ (x, y) ≠ (0, 0) です。放物線 y² = x の外側で、原点だけを除いた領域になります。点 (1, 1) では t = -1、点 (0, 1/2) では t = -1、境界上の点 (4, 2) では t = -1/2 が対応します。原点は x = 0、y = 0 の場合に当たるため通りません。

練習5の解答。x が最高次の係数になります。

y = t²x + t
x t² + t - y = 0

1. x ≠ 0 のとき。D = 1 + 4xy より、D ≥ 0 は xy ≥ -1/4 です。

2. x = 0 のとき。方程式は t − y = 0 となり、t = y が常に対応します。

x = 0 の点は xy = 0 ≥ -1/4 を満たすため、場合を合わせると答えは xy ≥ -1/4 です。境界は双曲線 xy = -1/4 で、これを含みます。境界上の点 (1, -1/4) では t = -1/2、点 (-1, 1/4) では t = 1/2 が対応します。点 (1, -1) では xy = -1 < -1/4 となり、t² + t + 1 = 0 の判別式が -3 なので通りません。

覚えておくこと

• 通過領域は、点を固定して媒介変数の方程式を作り、実数解の存在に置き換えて求める。
• 二次式なら判別式を使い、最高次の係数が0になる点は一次式として別に調べる。
• D ≥ 0 の等号は境界で、除外せずに含める。ただし原点のように解がなくなる点は除く。
• 答えは判別式の範囲と係数0の場合の和集合になる。
• 最後に境界の一点へ具体的な媒介変数の値を代入して戻す。

つまずきの見分け方

答えが曲線だけになっている答案は、内側の点を一つ選ばせて、その点に対応する t を作らせると直ります。答えが D > 0 になっている答案は、D = 0 の点を式へ戻させると、境界の落とし忘れに気づきます。係数0の場合が抜けている答案は、y = 0 や x = y を代入させると、次数が下がる場面が自分の目で見えます。

説明を確かめるときは、次の三つを言わせます。点を固定したときに作る方程式が何次式になるか。その最高次の係数が0になる点はどれか。境界の点に対応する t は何か。この三つが言えれば、判別式の計算が多少崩れても答案は戻ります。

答案の行を指で追わせるときは、場合分けの行、判別式の行、境界へ t を戻す行の三つがそろっているかを見ます。答えの不等式だけが合っていても、次数が下がる点の確認が抜けていれば、別の直線族では同じ答案が崩れます。逆に、計算が遠回りでも、この三行が書けていれば通過領域の答案として通用します。

個別指導では、直線を一本ずつ紙に描かせてから、点を固定する作業へ移ります。媒介変数の値を三つほど代入して直線を引き、そのうち二本が交わる点を指させると、面ができる理由が自分の言葉になります。式の変形だけを覚えると、係数0の場合分けが暗記になり、初めて見る形で落ちます。

計算の見直しでは、判別式の符号と、境界の点を元の式へ代入した結果を並べて書かせます。通過領域の答えは、境界の一点に媒介変数の値を書き添えたときに確定します。