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大学入試数学開いた領域と最大最小—近づける値と実際に取れる値を区別して答案にする｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴大学入試数学不等式と最大・最小

x+2y を上から 4 で押さえても、4 を取る点が除かれていれば最大値はありません。上界の不等式と達成点の所属を分けて書き、近づく点列で鋭さを示す答案を整えます。値が取れない理由は、斜辺を除いた開いた境界です。

自習中のノートに、連立不等式の表す三角形を描き、x+2y の値が 4 を超えないことを確かめたうえで、「最大値は 4」と書き込んだ場面です。図の上では確かに 4 が天井に見えます。ところが、4 を取る点が三角形の斜辺の上にあり、その斜辺が条件から外れていると、4 は天井であっても値として取れません。押さえられることと、取れることは別の判断です。ここでは半開いた多角形を題材に、上限と最大値を答案の言葉で書き分けます。

開いた領域で問われる三つの型

領域の問題では、連立不等式を図にしたあと、目的式の値を最大化したり最小化したりします。出方は大きく三つに分かれます。

第一は、x<4 や x+y<2 のように、境界の一部が条件から外れている領域です。このときは最大値と最小値があるかを先に判断し、存在しない場合は上限と下限を答えます。第二は、閉包の頂点が外れているものの、隣り合う辺や別の頂点で同じ値が取れる場合です。値の候補と達成点を分けて調べます。第三は、係数に文字を含み、a=1 のような境目で達成点が現れる場合です。場合分けの境目は、等号成立条件を元の不等式へ戻して決めます。

使う道具は、連立不等式の図示、直線どうしの交点、一次式への代入、平方完成、実数の大小です。微分や偏微分は使いません。答案は、上界または下界の不等式、その値を取る点が領域に属するかの確認、存在しない場合に値を近づける点列の三段で組みます。上界を求めただけで「最大値」と書くと、この三段のうち二段目が抜けます。

境界を含むかどうか、上限と最大値

連立不等式の表す領域を D とします。境界は、不等式を等式に変えた直線のうち、もとの条件を満たす部分です。x<4 のように等号を含まない辺は境界から外れ、その両端の点も D に属しません。外れた境界をすべて足した領域を閉包と呼びます。閉包は、条件の不等号をすべて等号付きに変えた領域です。

D が原点を中心とする十分大きい円に収まるとき、D は有界であるといいます。ここで扱う多角形はすべて有界です。有界な領域で一次式や二次式を考えれば、値の集合にも上限と下限が存在します。上界とは、D のすべての点で f≤M を満たす M のことです。上界のうち最も小さいものを上限と呼び、下限も同じように定めます。

最大値は、上限を実際に取る点が D にあるときの値です。上限が 4 でも、f=4 となる点が D になければ最大値は存在しません。「最大値がない」と「上限がない」は別の状態です。有界な領域では上限は必ずありますが、最大値はないことがあります。

閉じた多角形では、一次式の最大値と最小値は頂点のいずれかで取ります。辺と目的式の直線が平行なときは、その辺全体で同じ値を取ります。境界の一部が外れている場合は、外れた辺の端点の値が候補として残りますが、その点は達成点にはなりません。候補の値と、実際に取れる値を分けて書く必要があります。

図1の左は境界をすべて含む三角形で、斜辺の上でも値を取れるため最大値があります。右は斜辺を除いた三角形で、上から押さえる値はあっても、その値を取る点が斜辺の上にしかありません。図1のように、辺を含むかどうかで結論が変わります。

たとえば x+y<2 の閉包は x+y≤2 で、斜辺の点 (0,2) は閉包に属しますが D には属しません。閉包の頂点は値の候補を出すために使い、達成点の確認には使いません。上界の最小性を示すときは、4 より小さい数を選ぶと、その数より大きい値を D の点で作れることを示します。

判定は四つの手順で進みます。一、各辺の不等式を等式に直し、含む辺は実線、除く辺は破線で図にします。二、閉包の頂点をすべて求め、目的式の値を並べます。三、最適な値が除かれた辺や頂点にあるなら、その値は上限または下限として残ります。四、その値を D の点で取れるかを、辺の上の点や点列で確かめます。

基本例題：上から押さえても最大値はない

D を x≥0、y≥0、x+y<2 を満たす点全体とします。f=x+2y について、最大値と最小値があれば求め、存在しない場合は上限または下限を求めてください。（標準）

解答に入ります。まず領域を図示します。x軸とy軸は条件に含まれ、斜辺 x+y=2 は含まれません。図2のとおりです。

最小値から調べます。x≥0、y≥0 より x+2y≥0 です。等号は x=0 かつ y=0 のときに限り、この点は 0+0<2 を満たすので D に属します。したがって最小値は 0、その点は (0,0) です。

最大値は、値の上界を式で押さえてから達成点を探します。x≥0 より x≤2x なので、次のように変形できます。

x+2y ≤ 2x+2y
2x+2y = 2(x+y)
x+y < 2 より 2(x+y) < 2・2 = 4

よって D のすべての点で f<4 です。4 は上界ですが、f=4 となる点はありません。なぜなら、途中の x≤2x で等号が成り立つには x=0 が必要で、さらに 2(x+y)=4 には x+y=2 が必要だからです。点 (0,2) は斜辺の上にあり、D に属しません。

次に、4 より小さい上界がないことを示します。n=2,3,4,… に対して Pₙ=(0, 2-1/n) とおきます。x=0≥0、y=2-1/n>0、x+y=2-1/n<2 なので、Pₙ は D の点です。このとき

f(Pₙ) = 0+2(2-1/n)
= 4-2/n

となり、n を大きくすると 4 に近づきます。したがって 4 より小さい数 M を選ぶと、n を十分大きくして f(Pₙ)>M とできます。4 が上限です。

結論は、最大値は存在しない（上限は 4）、最小値は 0 で点 (0,0) で取る、です。上界の不等式だけでは最大値の有無は決まらず、等号の点が D にあるかをもう一度確かめる必要があります。

標準例題：同じ領域でも目的式で結論が変わる

D を x≥1、y≥1、x+y≤6、x<4 を満たす点全体とします。(1) f=x+y の最大値と最小値、(2) g=2x+y の最大値と最小値を求めてください。存在しない場合は上限または下限も答えます。（標準）

閉包の頂点を求めます。x=1 と y=1 の交点が (1,1)、x=1 と x+y=6 の交点が (1,5)、x=4 と y=1 の交点が (4,1)、x=4 と x+y=6 の交点が (4,2) です。閉包は四角形で、辺 x=4 の 1≤y<2 の部分が除かれます。したがって点 (4,2) も D に属しません。

f について。x≥1、y≥1 より f≥2 で、等号は (1,1) で成り立ちます。この点は x<4 を満たすので D に属します。最小値は 2 です。最大値は、閉包の頂点の値が (1,1) で 2、(4,1) で 5、(4,2) で 6、(1,5) で 6 となることから、6 以下です。値 6 は辺 x+y=6 の上で取れます。たとえば (3,3) は x=3<4、y=3≥1、x+y=6 を満たすので D の点で、f=6 です。最大値は 6、最小値は 2 です。
g について。最小値は、x≥1、y≥1 より g=2x+y≥3 で、等号は (1,1) のときです。この点は D に属するので最小値は 3 です。

最大値は、x<4 を式に取り込んで押さえます。g=2x+y は x+(x+y) と書けるので、

g = x+(x+y)
x+y ≤ 6 より g ≤ x+6
x < 4 より g < 4+6 = 10

となります。したがって g<10 です。値 10 を取るには、x=4 かつ x+y=6 が必要で、その点は (4,2) であり D に属しません。次に 10 に近づく点列を作ります。n=2,3,4,… に対して Qₙ=(4-1/n, 2) とおくと、x≥1、y=2≥1、x+y=6-1/n≤6、x<4 をすべて満たすので Qₙ は D の点です。g(Qₙ)=2(4-1/n)+2=10-2/n となり、10 に近づきます。上限は 10 で、最大値は存在しません。

同じ領域でも、f の最大値は残り、g の最大値は消えます。違いは、除かれた点 (4,2) の値 6 を辺 x+y=6 の他の点が与えるかどうかです。g では辺 x+y=6 の上で g=6+x となり、x<4 より 10 に届きません。除かれた点が最適値を持つときは、隣の辺や別の頂点で同じ値が取れるかを必ず調べます。

やや難例題：最大値も最小値も存在しない

D を x>0、y>0、x+y<4 を満たす点全体とし、h=(x-3)²+(y-3)² とします。最大値と最小値の有無を調べ、存在しない場合は上限と下限を求めてください。（やや難）

まず式を整理します。展開すると

h = x²+y²-6x-6y+18

です。また、平方の和の恒等式

(x-3)²+(y-3)² = ((x+y-6)²+(x-y)²)/2

が成り立ちます。右辺を展開すると左辺に一致します。この形は、x+y と x-y に分けて評価したいときに役立ちます。

下限から調べます。x+y<4 より x+y-6<-2 なので (x+y-6)²>4 です。したがって

h = ((x+y-6)²+(x-y)²)/2
≥ (x+y-6)²/2
> 4/2 = 2

となります。h=2 となるのは x+y=4 かつ x=y=2 のときですが、この点は斜辺 x+y=4 の上にあり D に属しません。よって最小値は存在せず、下限は 2 です。2 に近づく点として Rₙ=(2-1/n, 2-1/n)（n=3,4,…）を取ると、x+y=4-2/n<4、x>0、y>0 を満たし、h(Rₙ)=2(1+1/n)² は 2 に近づきます。

上限は、s=x+y、p=xy とおいて評価します。x²+y²=s²-2p なので

h = s²-2p-6s+18
= (s-3)²+9-2p

です。0<s<4 より (s-3)²<9 で、x>0、y>0 より p>0 です。したがって h<9+9=18 となります。18 に近づく点として Sₙ=(1/n, 1/n) を取ると、x+y=2/n<4、x>0、y>0 を満たし、h(Sₙ)=2(3-1/n)² は 18 に近づきます。よって最大値は存在せず、上限は 18 です。

結論は、最大値も最小値も存在しない、上限 18、下限 2 です。有界な領域なので上限と下限はありますが、どちらも境界の上でしか実現しません。

難例題：係数の境目で最大値が現れる

a>0 とし、D を x>0、y≥0、x+y≤3 を満たす点全体とします。f=ax+y について、最大値と最小値の有無を調べ、存在しない場合は上限と下限を求めてください。（難）

最小値から調べます。x>0、y≥0、a>0 より f=ax+y>0 です。値 0 を取るには x=0 が必要で、D に属しません。一方、点列 (1/n, 0) は x>0、y=0、x+y=1/n≤3 を満たし、f=a/n は 0 に近づきます。最小値は存在せず、下限は 0 です。

最大値は、a の値で場合分けします。まず y≤ay に注目します。a>1 のときは y≥0 より y≤ay が成り立ちます。そこで

f = ax+y ≤ ax+ay = a(x+y)
x+y ≤ 3 より f ≤ 3a

となります。等号が成り立つのは y=0 かつ x=3 のときです。点 (3,0) は x=3>0、y=0、x+y=3 を満たすので D に属します。よって a>1 のとき最大値は 3a、その点は (3,0) です。

a=1 のときは f=x+y です。x+y≤3 より f≤3 で、等号は x+y=3 の上で成り立ちます。たとえば (1,2) は x>0、y=2≥0、x+y=3 を満たすので D の点です。最大値は 3 です。

0<a<1 のときは、x>0 より ax<x です。したがって

f = ax+y
< x+y
≤ 3

となり、f<3 です。等号は成り立ちません。一方、点列 (1/n, 3-1/n) は x>0、y≥0、x+y=3 を満たし、f=a/n+3-1/n=3-(1-a)/n は 3 に近づきます。最大値は存在せず、上限は 3 です。

まとめると、a>1 のとき最大値 3a、a=1 のとき最大値 3、0<a<1 のとき最大値なしで上限 3 です。最小値はいずれの場合も存在せず、下限は 0 です。場合分けの境目は、y≤ay の等号が y=0 に限られるか、ax<x が厳しくなるかで決まります。境目では x+y=3 の辺全体で等号が成り立つため、最大値が現れます。

よくある誤りと答案の直し方

最初の誤りは、上に有界であることから最大値の存在を結論することです。基本例題で「4 が上界だから最大値は 4」と書くと、4 を取る点が D にないことを見落とします。破綻するのは、上界の不等式の等号と領域の条件が両立しない場合です。直し方は、上界の不等式と達成点の確認を別の行に分けることです。図3のように、除かれた辺に印を付け、最適値の候補点が D にあるかを座標で確かめます。

二つ目は、除かれた頂点を達成点として答える誤りです。標準例題の (2) で「最大値 10、点 (4,2)」と書くと、x<4 を満たさない点を答案に残します。直し方は、辺の不等式へ座標を代入することです。x=4 は x<4 と両立しません。

三つ目は、上限を最大値と同じ意味で使う誤りです。4 にどこまでも近づけることと、4 を取ることは違います。「最大値は存在しない。上限は 4 である」と二つの文に分け、上界の不等式と点列を添えます。上限の語と根拠が答案に残ります。

四つ目は、開いた辺の端点だけを見て最大値なしと決める誤りです。標準例題の (1) では (4,2) が除かれていますが、辺 x+y=6 の他の点で 6 を取ります。直し方は、除かれた点の値と同じ値を隣の辺や別の頂点が与えないか調べることです。目的式を辺の式に代入し、値が一定になるかを見ます。

五つ目は、境界の線種の読み違いです。x<4 と x≤4 では領域の形が変わり、頂点の位置も変わります。各辺について含むか除くかを表にし、頂点の座標を代入して確かめます。図を描き直すときは、破線の位置と交点の座標を声に出して確認すると、読み違いが減ります。

練習問題

練習1　D を x>0、y≥0、x+y≤5 を満たす点全体とします。f=2x+y の最大値と最小値を求めてください。存在しない場合は上限または下限も答えてください。

練習2　D を x≥1、y≥0、x+y≤5、y<3 を満たす点全体とします。f=2x+y の最大値と最小値を求めてください。

練習3　D を x>0、y≥0、x+y≤6 を満たす点全体とし、h=(x-2)²+(y-1)² とします。最大値と最小値の有無を調べ、存在しない場合は上限と下限を求めてください。

練習4　D を x≥0、y≥0、x+2y≤6、x<3 を満たす点全体とします。f=x-y の最大値と最小値を求めてください。存在しない場合は上限または下限も答えてください。

練習5　a≥b>0 とし、D を x>0、y>0、x+y<4 を満たす点全体とします。f=ax+by について、最大値と最小値の有無を調べ、存在しない場合は上限と下限を求めてください。

練習問題の答えと解き方

練習1の答え　最大値は 10（点 (5,0)）、最小値は存在しない（下限は 0）。

解き方。x>0 より f=2x+y>0 で、0 は取りません。点列 (1/n, 0) は x>0、y=0、x+y=1/n≤5 を満たし、f=2/n は 0 に近づくので下限は 0 です。最大値は f=x+(x+y)≤x+5≤10 で押さえられ、等号は x=5、y=0 のときです。点 (5,0) は D に属し、f=10 です。よって最大値は 10 で、最小値は存在しません。

練習2の答え　最大値は 10（点 (5,0)）、最小値は 2（点 (1,0)）。

解き方。閉包は四角形で、頂点は (1,0)、(5,0)、(2,3)、(1,3) です。辺 y=3 の 1≤x<2 の部分が除かれ、点 (2,3) と (1,3) は D に属しません。f=2x+y=x+(x+y)≤x+5≤10 で、等号は x=5、y=0 のときです。点 (5,0) は y=0<3 を満たすので D に属します。最小値は f=2x+y≥2・1+0=2 で、等号は (1,0) のときです。点 (1,0) は D に属します。よって最大値 10、最小値 2 です。除かれた辺 y=3 は、最大値にも最小値にも影響しません。

練習3の答え　最大値は存在しない（上限は 29）、最小値は 0（点 (2,1)）。

解き方。点 (2,1) は x=2>0、y=1≥0、x+y=3≤6 を満たし、h=0 です。h≥0 なので最小値は 0 です。最大値は、x を固定すると h が y の二次関数になり、y の区間 0≤y≤6-x の端点で最大を取ることから調べます。y=0 では h=(x-2)²+1 で、0<x≤6 より 17 以下です。y=6-x では h=(x-2)²+(5-x)²=2(x-3.5)²+4.5 で、0<x<6 より 29 未満です。したがって D では h<29 です。点列 (1/n, 6-1/n) は x>0、y≥0、x+y=6 を満たし、h=2/n²-14/n+29 は 29 に近づきます。よって最大値は存在せず、上限は 29 です。

練習4の答え　最大値は存在しない（上限は 3）、最小値は -3（点 (0,3)）。

解き方。閉包の頂点は (0,0)、(3,0)、(3,1.5)、(0,3) で、辺 x=3 の 0≤y≤1.5 の部分が除かれます。最小値は f=x-y≥-y≥-3 で、等号は x=0、y=3 のときです。点 (0,3) は x=0<3、2・3=6 を満たすので D に属します。最大値は f=x-y≤x<3 で、3 は取れません。点列 (3-1/n, 0) は D の点で、f=3-1/n は 3 に近づきます。よって最大値は存在せず、上限は 3、最小値は -3 です。

練習5の答え　最大値は存在しない（上限は 4a）、最小値も存在しない（下限は 0）。

解き方。x>0、y>0、a≥b>0 より f=ax+by>0 です。点列 (1/n, 1/n) で f=(a+b)/n は 0 に近づくので下限は 0 です。最大値は、b≤a と y>0 より by≤ay なので