大学入試数学 確率の漸化式と箱の変化—中身が変わる試行で状態に必要な個数を見極める｜武蔵野個別指導塾

印を付けた3枚のカードを二つの箱の間で1枚ずつ交換するとき、次に追うのは箱ごとの印の個数です。取り替えた後の配置を初期のまま使わずに状態を更新し、2回目と3回目の確率を分数で積み上げる様子を、印が行き来する二つの箱で見ます。

箱Aに5枚、箱Bに7枚のカードを入れ、12枚のうち3枚に印を付けておきます。最初は印の付いた3枚がすべて箱Aに入っているとします。両方の箱から1枚ずつ取り出し、取り出したカードを入れ替えて戻す操作を1回の交換と呼ぶことにします。取り出し方は、そのときの箱の中身からどのカードも同じ確率で選ばれるものとします。

この設定で問われるのは、大きく三つの型です。第一は、1回の交換の直後に箱Aの印が何枚になるかを問う型です。第二は、2回、3回と交換を重ねた後の確率を問う型です。第三は、初めの配置や箱の大きさを変えて、同じ考え方が使えるかを問う型です。

どの型でも間違いやすいのは、交換によって箱の中身が変わっているのに、次の回の計算で最初の配置をそのまま使ってしまう場面です。1回目の結果として箱Aの印が2枚になっているかもしれないのに、2回目も3枚から始まるかのように確率を掛けると、答えは実際より小さくなります。ここでは、いま箱Aに印が何枚あるかという一個の数を状態として持ち、交換のたびにその状態の確率を配り直す手順を組み立てます。

二つの箱で何を状態と呼ぶか

この設定では、交換を何回繰り返しても、カードの総数12枚と、箱Aの5枚・箱Bの7枚という内訳は変わりません。印の付いたカードの総数3枚も変わりません。この三つが固定されていることが、状態を小さくまとめられる理由になります。

いま箱Aに印の付いたカードがk枚あるとします。箱Aは5枚なので、印の付かないカードは5-k枚です。印の総数は3枚なので、箱Bにある印付きは3-k枚、箱Bは7枚なので、その無印は7-(3-k)=4+k枚です。つまり、kが決まれば、箱Aと箱Bの両方の中身がすべて決まります。そこで、n回の交換の後の箱Aの印の枚数をXₙと書き、これを状態と呼びます。Xₙは0から3までの整数です。

kの範囲は、箱の大きさと印の総数から決まります。箱Bの印付きは3-k枚なので、これが0以上でなければなりません。また箱Aの印付きはk枚なので、kは5以下です。今回は0以上3以下です。一般には、箱Aの枚数をa、箱Bの枚数をb、印の総数をmとすると、max(0, m-b)以上min(a, m)以下となります。範囲の外は最初から起こりません。

1回の交換でkがどう移るかを数えます。箱Aから1枚、箱Bから1枚を取り出すので、取り出し方の組は5・7=35通りあり、どれも同じ確率1/35です。この35が遷移の分母になります。分母が固定なのは、一度に取り出す枚数と二つの箱の大きさが変わらないからです。

kからk+1へ増えるのは、箱Aから無印、箱Bから印付きを取り出した場合です。箱Aの無印は5-k枚、箱Bの印付きは3-k枚なので、場合の数は(5-k)(3-k)通り、確率は(5-k)(3-k)/35です。kからk-1へ減るのは、箱Aから印付き、箱Bから無印を取り出した場合で、場合の数はk(4+k)通り、確率はk(4+k)/35です。残りはkのままです。増える場合と減る場合と変わらない場合を足すと、35通りの取り出し方になります。

1回の交換の確率を表にまとめる

k=0から3までを表にすると、次のようになります。行が交換前の状態、列が交換後の状態です。

表の行は、いまの状態kと、1回の交換の後の状態を並べたものです。各行の確率を足すと1になります。k=0の行は20/35+15/35=1、k=1の行は5/35+22/35+8/35=1、k=2の行は12/35+20/35+3/35=1、k=3の行は21/35+14/35=1です。端の状態では、増える場合か減る場合のどちらかが0通りになり、式が自然に0を与えます。

4つの状態と、1回の交換で移る確率を矢印でまとめたものが図1です。矢印の向きは確率の移動の向きで、数はその向きに移る確率です。

図1のように、状態は0、1、2、3の4つで、隣り合う状態の間だけを移動します。1回の交換で2段階以上動くことはありません。この隣接性も、計算を小さく保つ助けになります。

基本例題（標準）：1回の交換で印はどこへ移るか

箱Aに5枚、箱Bに7枚、印の付いたカード3枚を入れ、初めは3枚とも箱Aにあるとします。1回の交換の後、箱Aの印の枚数が2枚である確率と、3枚である確率を求めなさい。答えは既約分数で表しなさい。

初めはX₀=3です。このとき箱Aは印3枚と無印2枚、箱Bは印0枚と無印7枚です。箱Bから取り出す1枚は、必ず無印です。

箱Aの印の枚数が2枚になるのは、箱Aから印付きを取り出した場合です。その確率は3/5です。箱Bから無印が出る確率は1なので、X₁=2となる確率は3/5です。

箱Aの印の枚数が3枚のままなのは、箱Aから無印を取り出した場合です。その確率は2/5です。箱Bからは無印しか出ないので、X₁=3となる確率は2/5です。

3/5+2/5=1となり、ほかに場合はありません。表のk=3の行で確かめると、2枚へ移る確率は21/35=3/5、3枚のままは14/35=2/5で、同じ値です。

図2は、この1回の交換で分かれる二つの経路を樹形図にしたものです。箱Bからは無印しか出ないため、分かれ目は箱Aから何を取り出すかだけです。

図2のように、経路は箱Aから印付きを取り出すか、無印を取り出すかで二つに分かれます。答えを問題の場面に戻すと、印が1枚だけ箱Bへ渡る確率が3/5、印が箱Aに残ったままの確率が2/5です。交換したのに印の枚数が変わらない場合がある、という点がこの題材の出発点になります。

標準例題（やや難）：2回の交換を分布の更新で追う

同じ箱で、交換を2回続けます。2回の交換の後、箱Aの印の枚数が1枚、2枚、3枚である確率をそれぞれ求め、合計が1になることを確かめなさい。答えは既約分数で表しなさい。

1回目の後は、X₁=3の確率が2/5、X₁=2の確率が3/5でした。2回目の確率は、この二つの状態から出発して、表の係数を掛けて足します。

X₂=3となるのは、X₁=3から3のまま移る場合と、X₁=2から3へ増える場合です。順に計算すると、次のようになります。

P(X₂=3) = (2/5)(2/5) + (3/5)(3/35)
        = 4/25 + 9/175
        = 28/175 + 9/175
        = 37/175

X₂=2となるのは、X₁=3から2へ減る場合と、X₁=2から2のまま移る場合です。こちらも同じように足します。

P(X₂=2) = (2/5)(3/5) + (3/5)(4/7)
        = 6/25 + 12/35
        = 42/175 + 60/175
        = 102/175

X₂=1となるのは、X₁=2から1へ減る場合だけです。X₁=3から1へは1回で移れません。

P(X₂=1) = (3/5)(12/35)
        = 36/175

X₂=0は、1回の交換の後が2枚以上なので起こりません。合計は37/175+102/175+36/175=175/175=1です。

答えを場面に戻すと、2回の交換で箱Aの印が3枚に戻る確率は37/175、2枚のままは102/175、1枚まで減るのは36/175です。3枚に戻る経路には、いったん2枚に減ってから戻る道が含まれます。この道を落とすと37/175ではなく28/175になります。

漸化式にまとめる

回数が増えても同じ手順を繰り返せるように、文字で書きます。dₙ=P(Xₙ=0)、aₙ=P(Xₙ=1)、bₙ=P(Xₙ=2)、cₙ=P(Xₙ=3)と置きます。

1回の交換の後の確率は、前の回の確率を表の係数で配り直して足したものです。四つの状態をまとめると、次の連立の漸化式になります。

dₙ₊₁ = (4/7)dₙ + (1/7)aₙ
aₙ₊₁ = (3/7)dₙ + (22/35)aₙ + (12/35)bₙ
bₙ₊₁ = (8/35)aₙ + (4/7)bₙ + (3/5)cₙ
cₙ₊₁ = (3/35)bₙ + (2/5)cₙ

初めはX₀=3なので、(d₀,a₀,b₀,c₀)=(0,0,0,1)です。この初期値と上の式があれば、何回先でも順に計算できます。

n=1のとき、c₁=(2/5)・1=2/5、b₁=(3/5)・1=3/5で、基本例題と一致します。n=2のとき、c₂=(3/35)・(3/5)+(2/5)・(2/5)=9/175+28/175=37/175、b₂=(4/7)・(3/5)+(3/5)・(2/5)=12/35+6/25=60/175+42/175=102/175、a₂=(12/35)・(3/5)=36/175で、標準例題と一致します。

n=3のとき、c₃=(3/35)・b₂+(2/5)・c₂=(3/35)・(102/175)+(2/5)・(37/175)=306/6125+74/875=306/6125+518/6125=824/6125です。

各回でdₙ+aₙ+bₙ+cₙ=1が保たれます。これは、表の各行の確率の合計が1であることから、前の回の確率の合計が1なら次の回も1になる、という形で確かめられます。式で書けば、Σ[j=0..3] P(Xₙ₊₁=j) = Σ[k=0..3] P(Xₙ=k)・Σ[j=0..3] p(k→j) = Σ[k=0..3] P(Xₙ=k) = 1 です。更新のたびに合計を足して1になるかを見るのは、係数の写し間違いを見つける簡単な点検になります。

ここで扱うのは、回数を決めた有限回の計算までです。交換を無限に続けたときにどうなるかは、ここでは扱いません。

発展例題（難）：初めの配置を変え、文字で遷移を導く

同じ箱A（5枚）と箱B（7枚）、印3枚を使いますが、初めは印3枚がすべて箱Bにあるとします。次の問いに答えなさい。

1. 1回の交換の後、箱Aの印が0枚である確率と1枚である確率を求めなさい。
2. 2回の交換の後、箱Aの印が0枚、1枚、2枚である確率を求めなさい。
3. 箱Aの枚数をa、箱Bの枚数をb、印の総数をmとして、状態kからk+1へ増える確率とk-1へ減る確率を文字で表しなさい。また、状態をkだけで決めてよい理由を説明しなさい。

初めはX₀=0です。箱Aは印0枚と無印5枚、箱Bは印3枚と無印4枚です。1回目の交換で、箱Aからは必ず無印が出ます。

X₁=0となるのは、箱Bからも無印を取り出した場合です。箱Bの無印は4枚なので、確率は4/7です。X₁=1となるのは、箱Bから印付きを取り出した場合で、確率は3/7です。4/7+3/7=1です。

2回目は、X₁=0の確率4/7とX₁=1の確率3/7から出発します。X₂=0となるのは、0のまま移る場合と1から0へ減る場合です。

P(X₂=0) = (4/7)(4/7) + (3/7)(1/7)
        = 16/49 + 3/49
        = 19/49

X₂=1となるのは、0から1へ増える場合と1のまま移る場合です。

P(X₂=1) = (4/7)(3/7) + (3/7)(22/35)
        = 12/49 + 66/245
        = 60/245 + 66/245
        = 126/245
        = 18/35

X₂=2となるのは、1から2へ増える場合だけです。1から2へ増える確率は8/35なので、次の値になります。

P(X₂=2) = (3/7)(8/35)
        = 24/245

合計は19/49+18/35+24/245=95/245+126/245+24/245=245/245=1です。

文字での表現に移ります。箱Aには印がk枚、無印がa-k枚あります。箱Bには印がm-k枚、無印がb-(m-k)=b-m+k枚あります。箱Aから1枚、箱Bから1枚を取り出す組はab通りです。増えるのは箱Aから無印、箱Bから印付きを取り出す場合なので、確率は(a-k)(m-k)/(ab)です。減るのは箱Aから印付き、箱Bから無印を取り出す場合なので、確率はk(b-m+k)/(ab)です。

増える場合、減る場合、変わらない場合で、ab通りの取り出し方を重複なく分けています。この三つの場合の確率の合計は1になります。a=5、b=7、m=3を代入すると、(5-k)(3-k)/35とk(4+k)/35になり、表の値と一致します。

状態をkだけで決めてよい理由は、a、b、mが交換で変わらないからです。この三つが固定されている限り、箱Aの印の枚数が決まれば箱Bの印の枚数も決まり、無印の枚数も決まります。次の遷移を決める情報がkに集約されているので、状態としてkだけで足ります。状態の範囲はmax(0, m-b)以上min(a, m)以下です。

初期値が変われば、同じ漸化式でも出発点が変わります。初めがX₀=3なら1回目の分布は3枚が2/5、2枚が3/5ですが、初めがX₀=0なら0枚が4/7、1枚が3/7です。式の係数は同じでも、初期値が違えば後の確率は変わります。

また、aやbが交換のたびに変わるなら、kだけでは遷移が決まりません。その場合は箱Aの枚数も状態に含めます。この点は次の節で詳しく見ます。

誤答を直す：取り替えた後の箱を初期状態のまま使う

次の誤答を考えます。2回の交換の後も3枚とも箱Aにある確率を、(2/5)・(2/5)=4/25と計算しました。正しい値は37/175です。4/25=28/175なので、9/175だけ小さくなっています。

この9/175は、1回目に印が2枚へ減り、2回目に3枚へ戻る経路の確率です。(3/5)・(3/35)=9/175。誤答は、この戻る経路を落としています。

誤りの理由は、2回目の交換でも箱Aに印が3枚あるかのように、初めの配置の確率2/5をそのまま使ったことです。1回目の交換の後、確率3/5で箱Aの印は2枚になっています。状態が2枚のとき、3枚へ増える確率は3/35で、3枚のままの確率2/5とは違います。箱の中身が変われば、次の遷移の分子も変わるのです。

直し方は四つの手順です。第一に、状態を「いま箱Aにある印の枚数」と決めます。第二に、1回目の交換の後の分布を出します。第三に、2回目は各状態からの遷移確率を掛けて足します。第四に、出た確率の合計が1になることを確かめます。

図3は、初めの配置をそのまま2回使う計算と、1回目の分布を更新して2回目を計算する正しい道を並べたものです。

図3のように、誤りの側は1回目と2回目に同じ2/5を使っています。正しい側は、1回目に2枚へ減る3/5と3枚のままの2/5を分け、それぞれの状態から3枚へ来る確率を掛けて足します。

もう一つの誤りは、1回の交換で2枚以上動くとする計算です。状態は隣り合う数へしか移らないので、3枚から1枚へ一度に変わる確率は0です。表の0の位置を確かめれば、この誤りはすぐに見つかります。

各回の取り出しは、その時点の箱の中身から一様に選びます。前の回の結果を与えたうえで、次の回の取り出しは独立に選ばれます。ただし、回をまたいで同じ確率をそのまま使えるわけではありません。状態が変われば、箱Aと箱Bの印の枚数が変わり、遷移の確率も変わるからです。

状態に足りない情報があるとき

状態をkだけで置けるのは、総数、箱の大きさ、印の総数が交換で変わらない場合です。次のような変更では、状態に足す情報が変わります。

第一に、交換のたびに箱の大きさが変わる場合です。たとえば、取り出した2枚を交換せずに片方の箱へ寄せる操作を加えると、箱Aの枚数aが変わります。このとき、kだけでなくaも状態に含めなければ、次の遷移の分母と分子が決まりません。

第二に、印が二種類ある場合です。赤い印と青い印の両方を追うなら、赤の枚数と青の枚数の組を状態にします。片方の合計だけでは、もう片方の移動が決まらないからです。

第三に、1回に2枚ずつ交換する場合です。総数と箱の大きさが変わらないなら、kだけで状態は閉じます。ただし、遷移の確率は1枚ずつの場合と変わります。箱Aから2枚、箱Bから2枚を取り出す組の数はC(5,2)・C(7,2)=10・21=210通りになり、分子は何枚が印付きかで数え分けます。状態は同じでも、遷移の表は作り直す必要があります。

状態に何を含めるかは、次の遷移を決める情報が残っているかで判断します。いまの状態から次の状態への確率が、その情報だけで決まるなら、状態として十分です。足りなければ、確率が変わってしまう情報を状態に足します。

この判断は、漸化式を立てる前の設計です。式を立ててから係数が合わないと気づくより、先に何が変わると遷移が変わるかを書き出す方が速く直せます。

練習問題

次の5問は、本文の例とは数も場面も変えています。答えはすべて既約分数で表しなさい。難しさは各問の後ろに示します。

練習1（標準）二つのかごLに4個、かごRに8個の玉が入っています。金の玉は2個で、初めは両方ともかごLにあります。1回の交換の後、かごLの金の玉が1個である確率を求めなさい。

練習2（標準）二つの引き出しPに5枚、引き出しQに5枚の札が入っています。当たり札は2枚で、初めは両方とも引き出しPにあります。2回の交換の後、引き出しPの当たり札が1枚である確率を求めなさい。

練習3（やや難）二つの袋Sに6個、袋Tに6個の玉が入っています。赤い玉は4個で、初めは袋Sに3個、袋Tに1個あります。2回の交換の後、袋Sの赤い玉が4個である確率を求めなさい。

練習4（やや難）二つの棚Uに5枚、棚Vに9枚の付箋があります。黄色い付箋は2枚で、初めは両方とも棚Uにあります。2回の交換の後、棚Uの黄色い付箋が0枚である確率を求めなさい。

練習5（難）二つのトレイWに6個、トレイZに4個の玉が入っています。青いシールの付いた玉は4個で、初めはトレイWに2個、トレイZに2個あります。2回の交換の後、トレイWの青いシールの玉が3個以上である確率を求めなさい。

練習問題の答えと解き方

練習1は、かごLの金の玉をk個とします。初めはk=2です。かごRの金の玉は2-k個、かごRの金でない玉は8-(2-k)=6+k個です。1回の交換で増える確率は(4-k)(2-k)/(4・8)、減る確率はk(6+k)/32です。k=2では、増える確率は(4-2)(2-2)/32=0、減る確率は2・8/32です。1回目で1個になる確率は、次の計算で1/2になります。

P(X₁=1) = (2/4)(8/8)
        = 16/32
        = 1/2

1個になる確率1/2と、2個のままの確率1/2を足すと1になります。答えは1/2です。

練習2は、引き出しPの当たり札をk枚とします。初めはk=2で、PとQは5枚ずつ、当たりは2枚です。1回の交換で増える確率は(5-k)(2-k)/25、減る確率はk(5-2+k)/25=k(3+k)/25です。k=2では、1枚へ減る確率は2・5/25=2/5、2枚のままは3/5です。k=1では、0枚へ減る確率は1・4/25=4/25、2枚へ増える確率は4・1/25=4/25、1枚のままは1-4/25-4/25=17/25です。

2回目の後、Pが1枚になるのは、1回目が1枚で1枚のままの場合と、1回目が2枚で1枚へ減る場合です。順に計算します。

P(X₂=1) = (2/5)(17/25) + (3/5)(2/5)
        = 34/125 + 6/25
        = 34/125 + 30/125
        = 64/125

合計を確かめると、0枚は(2/5)(4/25)=8/125、2枚は(2/5)(4/25)+(3/5)(3/5)=8/125+9/25=8/125+45/125=53/125です。8/125+64/125+53/125=1になります。答えは64/125です。

練習3は、袋Sの赤い玉をk枚とします。初めはk=3で、SとTは6枚ずつ、赤は4枚です。1回の交換で増える確率は(6-k)(4-k)/36、減る確率はk(6-4+k)/36=k(2+k)/36です。k=3では、2個へ減る確率は3・5/36=5/12、4個へ増える確率は3・1/36=1/12、3個のままは1/2です。k=4では、3個へ減る確率は4・6/36=2/3、4個のままは1/3です。

2回目の後、Sが4個になるのは、1回目が3個で4個へ増える場合と、1回目が4個で4個のままの場合です。順に計算します。

P(X₂=4) = (1/2)(1/12) + (1/12)(1/3)
        = 1/24 + 1/36
        = 3/72 + 2/72
        = 5/72

答えは5/72です。

練習4は、棚Uの黄色い付箋をk枚とします。初めはk=2で、Uは5枚、Vは9枚、黄色は2枚です。1回の交換で増える確率は(5-k)(2-k)/45、減る確率はk(9-2+k)/45=k(7+k)/45です。k=2では、1枚へ減る確率は2・9/45=2/5、2枚のままは3/5です。k=1では、0枚へ減る確率は1・8/45=8/45、2枚へ増える確率は4・1/45=4/45、1枚のままは33/45=11/15です。

2回目の後、Uが0枚になるのは、1回目が2枚で1枚へ減り、2回目に1枚から0枚へ減る場合だけです。順に計算します。

P(X₂=0) = (2/5)(8/45)
        = 16/225

答えは16/225です。

練習5は、トレイWの青いシールの玉をk個とします。初めはk=2で、Wは6個、Zは4個、シール付きは4個です。1回の交換で増える確率は(6-k)(4-k)/24、減る確率はk(4-4+k)/24=k²/24です。k=2では、1個へ減る確率は4/24=1/6、3個へ増える確率は4・2/24=8/24=1/3、2個のままは1/2です。k=3では、2個へ減る確率は9/24=3/8、4個へ増える確率は3・1/24=1/8、3個のままは1/2です。

2回目の後、Wが3個以上になるのは、3個になる場合と4個になる場合です。Wが3個になるのは、1回目が2個で3個へ増える場合と、1回目が3個で3個のままの場合です。順に計算します。

P(X₂=3) = (1/2)(1/3) + (1/3)(1/2)
        = 1/6 + 1/6
        = 1/3

Wが4個になるのは、1回目が3個で4個へ増える場合だけです。

P(X₂=4) = (1/3)(1/8)
        = 1/24

3個以上になる確率は、二つを足して1/3+1/24=8/24+1/24=9/24=3/8です。答えは3/8です。

覚えておくこと

• 状態は、次の遷移を決める最小の個数で置く。
• 総数と箱の大きさが変わらないなら、片方の箱の印の数だけで両方の中身が決まる。
• 1回の交換の分母は、二つの箱の枚数の積になる。
• 2回目以降は、前の回の分布を遷移確率で配り直して足す。
• 更新のたびに、確率の合計が1になることを確かめる。

つまずきの見分け方と確かめる場所

最初に見るのは、2回目以降の計算で、1回目の後の箱Aの印の枚数を書き出しているかどうかです。書き出さずに初めの3枚のまま係数を掛けているなら、状態の更新が抜けています。ノートの余白に「1回目の後は2枚が3/5、3枚が2/5」と一行書いてもらうと、どこで止まっているかがはっきりします。

次に、遷移の分母を確かめます。35という数は、箱Aの5枚と箱Bの7枚の積です。12枚から2枚を取り出すC(12,2)=66と書いていたら、二つの箱から1枚ずつ取り出す操作と取り違えています。箱をまたいで取り出すのではないので、分母は5・7です。

状態の範囲を尋ねるのも有効です。箱Aの印が3枚のとき、箱Bの印は0枚です。箱Aの印が0枚のとき、箱Bの印は3枚です。この対応を表に書けるかどうかで、kだけで中身が決まることを理解しているかを見分けられます。

確率の合計が1にならないときは、表の行の合計と、更新後の分布の合計を別々に確かめます。行の合計が1でないなら係数の写し間違いです。行の合計は1なのに更新後の合計が1でないなら、前の分布のどこかを足し忘れています。

図を自分で描くときは、状態を丸で囲み、移る向きに確率を書き込ませます。3枚から1枚へ直接矢印を引いていたら、隣り合う状態しか移らないことを確認します。矢印の数と表の0の位置が対応しているかを見れば、抜けは見つかります。

取り替えた後の箱を初期状態のまま使わない、その一歩が、漸化式を自分の計算道具に変えます。