大学入試数学 初めて到達する確率—最後の一回まで到達しない条件を途中経路に組み込む｜武蔵野個別指導塾

得点が目標に戻る経路と初めて届く経路を分け、最終手前の得点と禁止履歴から追う初到達の道筋です。

よくあるのは、高校生が指定回に目標点へ着く経路に、もっと早く到達済みの列も足してしまう場面です。得点が上下するなら、一度目標に着いた後で離れ、指定回に戻ることもあります。最後の得点だけを見た式では、その違いは残りません。

問いには、指定回に初めて到達する確率、期限までに到達する確率、途中で別の点にも触れないという条件付きの確率があります。いずれも有限回の操作を扱い、各回の結果とそれまでの得点を区別して追います。初成功を待つ問題では各回の成否が直接の条件ですが、ここでは過去の増減を合計した得点が条件です。公式を並べるだけでなく、経路に含める履歴を設計することを目標にします。

得点の列に履歴を残す

開始時を0回目、得点を0点とします。各回の得点変化を順番に並べたものを経路と呼び、k回目直後の得点をSₖと書きます。S₀ = 0です。目標をa点、指定回をn回とすると、n回目に初めてa点に到達する条件は、Sₙ = aに加えて、0回目からn-1回目までのどの得点もaでないことです。開始時に既に目標なら初到達は0回目です。

例えば1点ずつ増減する場合、目標が正なら、初到達前の得点は必ず目標より小さくなります。1回で1点しか増えないので、目標より上へ行くには途中で目標を通るからです。逆に、1回で2点以上動ける場合は目標を飛び越す可能性があり、「目標より小さい」を初到達前の条件にしてはいけません。目標に等しくないという定義に立ち返ります。

図1のように、同じ終点に着いても、途中で目標を通った経路と通らなかった経路は分けます。図の各矢印は1回の増減を表し、数字はその時点の得点です。

図1の上の経路は1回目に目標1点へ着きます。下の経路は3回目に初めて1点に着きます。したがって、終点が1点であることは、3回目に初到達するための必要条件ですが、十分条件ではありません。

確率にする際は、経路が同じ確率かを確かめます。各回が独立で、上昇と下降がそれぞれ1/2なら、長さnの各列の確率は1/2ⁿです。このとき条件に合う列の個数を2ⁿで割れます。上昇と下降の確率が違う場合は、列ごとの確率を掛け算で求めて足します。停止する問題では、指定回より前に終了した経路の先を、実際に行った操作として数えません。計算上は先の結果を補って同じ長さにそろえても、その補い方をすべて含めて重みを保つ必要があります。

基本例題：最後の1回に注目する

【基本・標準】0点から始め、各回独立に同じ確率で1点増えるか1点減る操作を3回まで行います。1点に初めて到達した時点で終了します。3回目に終了する確率を分数で求めてください。

3回目の直前は0点で、最後は1点増える必要があります。ただし直前が0点であるだけでは不十分で、最初の2回に1点へ着いていないことも必要です。図2のように、2回目までの増減を列挙すると、条件を満たすのは下降、上昇の順だけです。

図2で上昇、下降の経路は2回目に0点へ戻りますが、1回目に終了済みです。下降、下降の経路は2回目に-2点で、最後に1点増えても目標に届きません。上昇、上昇も1回目に終了済みです。各列を計算上3回分に補うと、最後まで数えた8列のうち、該当する列は下降、上昇、上昇の1列です。

P(3回目に初到達) = (1/2)・(1/2)・(1/2)
= 1/8

別の見方では、2回目に0点となる2列から、1回目に到達した上昇、下降を除きます。残る1列の確率1/4に最後の上昇の確率1/2を掛けても1/8です。答えを元に戻すと、得点は0、-1、0、1であり、初めて1点になるのは確かに3回目です。

終点から引くか、途中で選ぶか

【標準例題・やや難】0点から各回独立に等確率で1点増減する操作を5回まで行い、1点に到達したら終了します。5回目に初めて到達する確率を分数で求めてください。

最後は0点から1点への上昇です。最初の4回で0点に戻るには上昇2回、下降2回ですが、その途中で1点に着いた列を除きます。先に初到達前の条件を使うと、最初は下降と決まります。残り3回には上昇2回、下降1回が必要です。

下降・上昇・上昇・下降：3回目に1点へ到達
下降・上昇・下降・上昇：4回目まで未到達
下降・下降・上昇・上昇：4回目まで未到達

残る2列に最後の上昇を付ければ、得点の列はそれぞれ0、-1、0、-1、0、1と、0、-1、-2、-1、0、1です。どちらも5回目が初到達です。各5回列は同確率なので、答えは次のとおりです。

P = 2/2⁵
= 1/16

別解として、4回で0点に戻る6列を考えます。初回が上昇の3列は直ちに除外され、初回が下降の3列のうち1列は3回目に到達します。6 − 3 − 1 = 2列です。除く2種類は初回の向きで分かれ、重ならないため、この引き算は重複して引きません。終点を先に選ぶと候補は作りやすく、途中条件を先に使うと不要な候補を早く消せます。

【発展例題・難】0点から各回独立に、2点増える確率が1/3、1点減る確率が2/3の操作を4回まで行います。2点に到達すれば終了します。4回目に初めて2点に到達する確率を分数で求めてください。

上昇をA、下降をBとします。4回後に2点となるには、Aが2回、Bが2回必要です。最初のAが初回なら、その時点で2点に到達するため除きます。初回がBである3列を調べます。

B・A・A・B：得点は-1、1、3、2
B・A・B・A：得点は-1、1、0、2
B・B・A・A：得点は-1、-2、0、2

3列とも最初の3回に2点へ着かず、4回目に着きます。最初の列は途中で目標を飛び越してから下降で到達します。最後の操作が必ず上昇だと決めてしまうと、この列を失います。各列にはAが2回、Bが2回あり、重みは等しいので、求める確率は次のようになります。

P = 3・(1/3)²・(2/3)²
= 4/27

別解は、終点が2点の6列から、初回がAの3列を除く方法です。初回がBの3列については途中の得点を実際に調べたので、目標を飛び越す列も残せます。ここで初回がAの列を除く根拠は、終了後にどう補っても初到達が1回目という事実です。結果を場面へ戻すと、残した3列はいずれも4回目に2点であり、確率4/27も0と1の間です。

誤答を経路に戻して直す

基本例題で、2回目に0点となる確率を2/4とし、それに最後の上昇の1/2を掛けて1/4と答える誤りを考えます。途中までの計算は「3回目に1点である」という終点の条件には合います。しかし、図3のように2回目が0点となる経路には、既に終了している経路が混ざります。

図3の上昇、下降は得点が0、1、0と変化する補った経路であり、実際の操作は1回目で終了しています。一方、下降、上昇は得点が0、-1、0で、まだ終了していません。2回目の位置だけを状態として使うと、次の計算で必要な到達済みかどうかが失われます。

直すには「未到達で2回目に0点」という事象を作り、その確率1/4に最後の上昇の1/2を掛けます。先に終点の確率を求めて到達済みの経路の確率を引いても構いませんが、引く経路が重なる場合はその重なりを調整します。数だけを引くのではなく、各経路の確率が等しいかも確認します。

期限までの確率を求める場合も、指定回の確率と混同しないようにします。初到達回が1回目、3回目、5回目という事象は、同じ経路で同時には起こらないので、期限内に可能な回の確率を足せます。期限までに到達しない経路も残して合計が1になるか確認すると、打切りを落とした誤りを見つけやすくなります。

練習問題

各問の操作は互いに独立とします。到達した時点で終了し、期限まで到達しなければそこで打ち切ります。得点は0点から始めます。答えはいずれも分数で求めてください。

1. 【標準】各回等確率で1点増減します。目標を2点、期限を4回とするとき、4回目に初めて到達する確率を求めてください。
2. 【標準】各回等確率で1点増減します。目標を-1点、期限を4回とするとき、期限までに到達する確率を求めてください。
3. 【やや難】各回、1点増える確率は2/3、1点減る確率は1/3です。目標を1点、期限を3回とするとき、3回目に初めて到達する確率を求めてください。
4. 【やや難】各回等確率で1点増減します。目標を2点、期限を4回とします。4回目の得点が2点であるとわかったとき、4回目が初到達である条件付き確率を求めてください。ここでは途中で到達しても4回まで操作を続けます。
5. 【難】各回等確率で2点増えるか1点減ります。目標を1点、期限を4回とするとき、4回目に初めて到達する確率を求めてください。

練習問題の解答

1. 4回後に2点となるには上昇3回、下降1回です。下降の位置による4列のうち、上昇、上昇で始まる2列は2回目に到達済みです。残る下降、上昇、上昇、上昇と、上昇、下降、上昇、上昇は、それぞれ4回目までの得点が-1、0、1、2と1、0、1、2です。

P = 2/2⁴
= 1/8

2. 1回目に下降すれば到達します。初回が上昇なら、3回目の初到達は上昇、下降、下降の1列です。偶数回の得点は偶数なので2回目と4回目には-1点へ着きません。

P = 1/2 + 1/8
= 5/8

4回分に補うと、初回下降の8列と上昇、下降、下降で始まる2列が該当し、合計10列です。未到達の6列と合わせて16列になります。

3. 3回目の初到達には、最初に下降し、次に上昇して0点へ戻り、最後に上昇します。得点は-1、0、1なので、途中で1点に着いていません。

P = (1/3)・(2/3)・(2/3)
= 4/27

最後が1点増加、直前が0点という条件からも、この列以外は初回に到達済みです。等確率ではないため、列の個数を8で割る方法は使えません。

4. 終点が2点となる4列は、下降の位置を1回目から4回目まで変えたものです。条件事象の確率は4/16 = 1/4で正です。そのうち初到達が4回目の列は、練習1と同様に2列です。

P(4回目が初到達｜4回目が2点) = (2/16)/(4/16)
= 1/2

条件を満たす4列を分母に取り直し、その中の2列を数えています。途中で操作を止める設定とは標本空間が違うことにも注意します。

5. 4回後に1点となるには、2点増加が1回、1点減少が3回です。増加が1回目なら得点は2、1、0、-1となり終点が違うため、これは4回後1点の列ではありません。実際には増加が1回と下降が3回なら終点は-1点であり、1点にはなれません。増加が2回なら終点は2点です。

4回後の得点 = 2k - (4 - k)
= 3k - 4

kは0以上4以下の整数ですが、3k − 4 = 1を満たす整数はありません。したがって該当する経路はなく、確率は0/1です。最後に目標へ着く経路自体がないときも、初到達確率は0です。

覚えておくこと

初到達には、指定回に目標に着く条件と、それ以前に着かない条件の両方が必要です。
最後の1回から直前の得点を絞り、そこまでの履歴を調べます。
目標を飛び越せる操作では、到達前に目標より小さいとは限りません。
経路の重みが等しいときに限り、個数の比をそのまま確率に使います。
期限内の初到達回は重ならず、未到達も含めて全体を確認します。

つまずきを見分けるには

式の分子を書いたら、その中の1経路について0回目から得点を順番に書いてみます。指定回より前に目標の数字が現れたら、その経路を分子から除く必要があります。逆に、最後の操作を決めつけて数えた場合は、目標を飛び越して戻る経路が作れないか調べます。

個別に確かめるときは、まず本人に「いつ終了するか」と「終了しないときはいつ打ち切るか」を経路の言葉で説明してもらいます。次に、直前の得点が同じ2経路を比べ、到達済みかどうかの情報が必要かを確認します。条件付き確率なら、観測された条件を満たす列を分母に並べ直すところまで追います。

初めてという言葉は、終点の数字だけでなく、それまでに通った得点にも条件を置きます。得点の列を一歩ずつたどれば、到達の時刻を根拠を持って区別できます。