大学入試数学 条件のある組分け—役割を持つ組と交換できる組を区別して分割を数える｜武蔵野個別指導塾

係付きの組への所属禁止と無名の組の交換を、具体的な分割の対応から読み解き、条件のある組分けを考えます。

よくあるのは、高校生が係付きの箱と無名の箱を同じように交換する場面です。例えば人を同じ人数ずつの組に分け、1組には受付係という役割を与え、残りの組には名前を付けないとします。人数が同じだからといって受付係の組と無名の組を入れ替えると、誰が受付を担当するかが変わります。

問いには、特定の人が係の組に入れない場合、2人の所属先が異なる場合、さらに無名の組の中で同組を禁じる場合があります。どの組を区別し、どの交換が同じ完成物を表すかを、条件を付ける前から決めることが出発点です。ここで扱うのは人が互いに区別でき、各人がちょうど1組に所属する有限の分割です。

組の名前と条件を先に読む

C(n,k)は、区別できるn人から順序を考えずにk人を選ぶ組合せの数です。nは0以上の整数、kは0以上n以下の整数とし、C(n,0)=1とします。人数が足りない選び方は0通りです。例えばC(5,2)=10であり、選んだ2人の順番は区別しません。

係付きの組をR、同じ人数の無名の組を2組とします。図1のように、Rと無名の組を交換すると役割を受け持つ人が変わります。一方、2つの無名の組は、箱に付いた一時的な記号を外せば同じ分割です。

図1ではRにAとB、無名の組にCとD、EとFが入っています。無名の2組を入れ替えた表示は同じ完成物ですが、RをCとDの組と交換した表示は別の完成物です。人が同じでも、役割の所属先が違うためです。

無名の2組に仮にX、Yという名前を付けて数え、最後に2で割る方法が使えるのは、条件を満たす各完成物がちょうど2通りの名前の付け方に対応するときです。空でない互いに重ならない2組なら、XとYの付け方は2通りあります。条件が「XにAを入れない」のように仮の名前に依存すると、交換後が条件を満たさないことがあり、この割り算をそのまま使えません。

実際には、係の組を決めてから残りを無名の組に分けると、どこで割るかが見えやすくなります。所属禁止が係の組だけにかかるとき、残りの分割には同じ交換が働きます。無名の組の内部にも条件があるときは、その条件が交換しても変わらないかを別に調べます。

基本例題：係の組を先に決める

【基本例題・標準】6人A、B、C、D、E、Fを2人ずつ3組に分けます。1組は受付係の組、残り2組は無名です。Aは受付係の組に入れません。分け方を整数で何通りか求めてください。

受付係の組に入れるのはA以外の5人です。その2人を選んだ後、残り4人を2人ずつの無名の組に分けます。図2のように、残り4人から最初の2人を選ぶ数をそのまま使うと、同じ2組を両方の順序で数えます。

図2の例では受付係がB、Cで、残りがA、D、E、Fです。ADとEFという分割は、ADを先に選んでもEFを先に選んでも同じです。AEとDF、AFとDEも同様に対応します。

受付係の選び方 = C(5,2) = 10
残りの分け方 = C(4,2)/2 = 3
求める分け方 = 10・3 = 30

答えは30通りです。受付係の各選択に対して残りの3分割があり、どの完成物からも受付係と残りの分割を一意に取り出せます。この対応が積の法則の根拠です。Aが受付係でないことは最初の選択で保証され、最後に無名の組を交換しても変わりません。

別の数え方として、制限なしの受付係はC(6,2)=15通り、Aを含む受付係は5通りです。各選択の残りの分け方は3通りなので、15・3 − 5・3 = 30通りです。全体から禁止される所属を除くときも、無名の2組の重複は係の選択ごとに処理します。

標準例題：禁止を重ねて除く

【標準例題・やや難】8人A、B、C、D、E、F、G、Hを2人ずつ4組に分けます。1組は記録係、残り3組は無名です。AとBはどちらも記録係に入れず、さらにAとBは同じ組に入れません。分け方を整数で何通りか求めてください。

記録係をA、B以外から選ぶとC(6,2)=15通りです。残り6人には必ずA、Bがいます。Aの相手をB以外の4人から選び、残り4人を2組に分ければ、無名の組に名前を付けなくても数えられます。

記録係の選び方 = C(6,2) = 15
Aの相手の選び方 = 4
残り4人の分け方 = C(4,2)/2 = 3
求める分け方 = 15・4・3 = 180

答えは180通りです。Aの組はAを含むことで識別されるので、その組を先に作っても重複しません。残り2組は無名なので2で割ります。完成した分割から記録係、Aの相手、残りの2組を逆に読み取れるため、漏れも重なりもありません。

別解では残り6人の全分割からAとBが同組のものを除きます。全分割はC(6,2)・C(4,2)/(3・2)=15通り、AとBが同組なら残り4人の分け方は3通りです。よって15・(15 − 3)=180通りです。除く対象はAとBが同組という完成物であり、仮の組名ごとに引く必要はありません。

発展例題：係の組への入り方で分類する

【発展例題・難】8人A、B、C、D、E、F、G、Hを2人ずつ4組に分けます。1組は案内係、残り3組は無名です。Aは案内係に入れず、BとCは同じ組に入れません。分け方を整数で何通りか求めてください。

BとCのうち案内係に入る人数は0人か1人です。2人とも入れば同組になって条件に反します。この2つの場合は重ならず、条件を満たす分割を尽くします。残りの組でBとCを気にする必要があるかどうかによって、分け方が変わります。

0人の場合、案内係はDからHの5人から選びます。残りにはB、Cがいるので、Bの相手はC以外の4人から選び、残り4人を無名の2組に分けます。

0人の場合 = C(5,2)・4・3 = 120

1人の場合、案内係に入るBまたはCを2通りに選び、その相手をDからHの5人から選びます。残りのBまたはCは案内係の人と別組なので、残り6人には追加の同組禁止がありません。6人の無名の2人組への分割は15通りです。

1人の場合 = 2・5・15 = 150
合計 = 120 + 150 = 270

答えは270通りです。別解は、Aを除く7人から案内係を選ぶ全体から、BとCが同組の分割を引く方法です。全体はC(7,2)・15=315通りです。禁止される分割では、BとCの組が案内係なら残り6人の分け方が15通り、無名なら案内係をDからHの5人から選び、残り4人を3通りに分けるので30通りです。

禁止される分割 = 15 + C(5,2)・3 = 45
条件を満たす分割 = 315 - 45 = 270

2つの方法で係の組にBとCが入る場合を点検すると、引き算側では禁止の15通りに含まれ、直接分類側では除かれています。Aが係に入らないという制限も、どちらの方法でも係の選択時に入っています。

誤答を対応表で直す

基本例題で「3組は同人数だから、受付係を選ぶ10通りと残りの選択6通りを掛け、さらに3組の並べ方6で割って10通り」とする誤答を考えます。図3のように、固定した受付係に対する重複は無名の2組を入れ替える2通りです。受付係を無名の組と交換したものは、受付の担当者が変わる別の完成物です。

図3で受付係BCを固定すると、ADとEFの順序を入れ替えた2行が同じ完成物です。受付係ADの行は受付係が異なるので、その2行には加えません。したがって10・6/2=30と直します。

割り算の前には、完成物を1つ固定し、数えた手順へ何通りに戻れるかを考えます。手順の数が完成物によって違うときは、一律の数で割れません。とくに、名前付きの箱に対して個別の禁止があると、箱を交換した手順が禁止される場合があるからです。無名の箱に後から付けた名前と、問題に最初からある役割の名前は区別しましょう。

練習問題

各問の人は互いに区別し、全員を指定の組に入れます。役割のない組は互いに無名です。答えはいずれも整数の通り数で求めてください。

1. 【標準】6人P、Q、R、S、T、Uを2人ずつ3組に分け、1組を清掃係とします。PとQは清掃係に入りません。何通りですか。
2. 【標準】6人J、K、L、M、N、Oを3人ずつ2組に分け、1組を展示係とします。Jは展示係に入れず、Kは展示係に入ります。何通りですか。
3. 【やや難】10人P、Q、R、S、T、U、V、W、X、Yを2人ずつ5組に分け、1組を運搬係とします。Pは運搬係に入れず、QとRは同じ組に入れません。何通りですか。
4. 【やや難】6人J、K、L、M、N、Oを2人ずつ3組に分け、1組を連絡係とします。Jは連絡係に入らず、JとKも同じ組に入りません。何通りですか。
5. 【難】8人P、Q、R、S、T、U、V、Wを2人ずつ4組に分け、2組にそれぞれ受付係と誘導係の役割を付けます。残り2組は無名です。Pは受付係に入れず、Qは誘導係に入れません。何通りですか。

練習問題の解答

1

清掃係をP、Q以外の4人から選びます。残り4人は無名の2組です。

清掃係 = C(4,2) = 6
残りの分割 = C(4,2)/2 = 3
答え = 6・3 = 18通り

各清掃係に対してPとQを含む4人の分割が3通りあり、PとQは係に入りません。残りの組の交換は各分割につき2通りなので、割り算も成立します。

2

展示係にはKを入れ、Jを除いた4人からさらに2人を選びます。残りの3人はもう一方の組として決まります。

答え = C(4,2) = 6通り

展示係に役割があるので2組を交換して割りません。選んだ2人とKを展示係に戻すとJは外に残り、6通りの選択はそれぞれ異なる係の組を与えます。

3

Q、Rのうち運搬係に入る人数で分類します。0人なら運搬係はSからYの7人から2人選び、残りではQの相手をR以外の6人から選びます。1人ならQかRとSからYの1人が運搬係です。

0人 = C(7,2)・6・15 = 1890
1人 = 2・7・105 = 1470
答え = 1890 + 1470 = 3360通り

0人の場合の最後の15は残り6人の分割、1人の場合の105は残り8人の分割です。運搬係にQとRの両方が入ると同組の禁止に反します。各場合から係の組と残りの分割を復元できるので重複しません。

4

連絡係にKが入るかで分けます。入るなら相手はLからOの4人で、Jは残りの誰と組んでもKとは別組です。入らないなら係はLからOの2人で、残りにいるJの相手はK以外の2人です。

Kが入る場合 = 4・3 = 12
Kが入らない場合 = C(4,2)・2 = 12
答え = 12 + 12 = 24通り

前者の3は残り4人の無名の分割です。後者はJの組を先に特定すると残りの2人が最後の組になり、交換による重複はありません。どちらもJを係に入れず、JとKを別組にしています。

5

まず制限なしで受付係、誘導係を順に選び、残り4人を無名の2組に分けます。次にPが受付係に入る場合とQが誘導係に入る場合を引き、両方に違反する場合を戻します。

制限なし = C(8,2)・C(6,2)・3 = 1260
Pが受付係 = 7・C(6,2)・3 = 315
Qが誘導係 = 7・C(6,2)・3 = 315
両方に違反 = 6・5・3 = 90
答え = 1260 - 315 - 315 + 90 = 720通り

両方に違反するとき、Pの受付係の相手はQ以外の6人から選び、Qの誘導係の相手は残った5人から選びます。残り4人の分割は3通りです。両違反を2回引いた分を1回戻すと、違反なしはそのまま、片方または両方の違反は0回残ります。受付係と誘導係には別の役割があるため、両者を交換して割ることはありません。

覚えておくこと

• 先に人と組の区別、役割、所属禁止を書き出します。
• 係付きの組を交換すると、担当者が変わります。
• 無名の組については、完成物に戻る手順の数を数えてから割ります。
• 条件に使う人の所属先で分けると、各場合の禁止が明確になります。
• 直接数えた結果を、全体から違反を除く方法でも照合します。

立ち止まる場所を見つける

式に階乗や割り算を書いたときは、1つの完成物に戻る手順を実際に書き出してください。2行しか戻らないのに6で割っていれば、役割付きの組まで交換した可能性があります。反対に、同じ無名の分割を違う順序で2回書いていたら、その重複を取り除く必要があります。

個別に学ぶ場では、まず具体的な6人の分割を紙に置き、禁止された人を係に移したときと無名の組を交換したときの違いを説明してみます。次に、条件を満たす各完成物から選択手順を逆にたどれるかを確かめます。組の交換が許される理由を言葉にできれば、人数や条件が変わっても数え方を組み直せます。