理論の暗記で逆の説明まで正しいと思う—条件と結論を入れ替えた例を確かめる復習法｜武蔵野個別指導塾

覚えた文の条件と結論を左右に分け、偶数と4の倍数の反例で向きを見直す復習です。紙の矢印を確かめてから結論を入れ替えます。

覚えた文が正しくても、条件と結論を入れ替えた文まで正しいとは限りません。復習では、元の文をほどくのではなく、別の文として矢印を引き、正しいかどうかを新たに調べます。最初に「未判定」と書くことが、暗記を止めずに誤りを防ぐコツです。

よくあるのは、中2の夜、ある数の性質をまとめたノートを見ながら、「4の倍数ならば偶数である」と覚えた安心感から、続けて「偶数ならば4の倍数である」も正しいと書いてしまう場面です。声に出すと2つの文はよく似ています。語尾まで同じリズムなので、並べて読むほど、片方の正しさがもう片方へ伝わったように感じます。ここで必要なのは暗記時間の追加ではなく、矢印の向きを見る動作です。

まず、元の文と入れ替えた文を別の欄に分ける

取り違えを直す出発点は、ノートの色や覚えた回数ではなく、手元にある2つの文です。上段に元の文、下段に入れ替えた文を写し、それぞれの左側に条件、右側に結論を置きます。図1のように、同じ語が左右へ移動したことを視覚的に確認します。

元の文は「整数について、4の倍数ならば偶数である」とします。「整数について」は対象の範囲、「4の倍数である」は条件、「偶数である」は結論です。入れ替えた文は「整数について、偶数ならば4の倍数である」になります。対象の範囲はそのまま保ち、動かすのは条件と結論です。範囲まで変えると、元の文の逆を調べたのか、別の文を作ったのか分からなくなります。

元の文が正しい理由も、言葉をそろえて覚えるのではなく、条件から結論へたどって書きます。4の倍数は4に整数を掛けた数です。4は2×2なので、その数には因数2があります。偶数とは2で割り切れる整数ですから、条件の「4の倍数」から結論の「偶数」へ進めます。この理由は、左の条件を出発点にしているところが大切です。

一方、入れ替えた文では、出発点が「偶数」に変わります。6で試すと、6は2×3なので偶数ですが、4で割ると1余り2となり、4の倍数ではありません。条件を満たし、結論を満たさない例が見つかりました。これが反例です。図1の下段では、語を入れ替えた矢印に6という反例を付け、上段とは別の判定を示しています。

ここで「逆が誤りなら、元の文も誤りだった」と結論付けないでください。上段は上段の理由で正しく、下段は下段の反例で誤りです。2つの文は使う語が同じでも、主張している向きが違います。したがって、片方を覚えた事実は、もう片方の証明にはなりません。

また、4や8を書いて「偶数でもあり、4の倍数でもある」と確かめたとしても、入れ替えた文は証明できません。どの整数についても成り立つと読む文に対して、条件と結論の両方に合う例は、その例が主張と矛盾しないことを示すにすぎません。誤りを示すには6のように、条件には合うのに結論には合わない例が必要です。

ノートには「偶数ならば4の倍数であるは誤り」と短く終わらせず、「反例6、偶数だが4で割ると1余り2」まで残します。後で読み返したとき、否定の記号を見るよりも、どこで主張が崩れたかを追いやすくなります。暗記していた文を赤で塗りつぶすのではなく、元の文の正しさを残したまま、逆の欄を訂正する点も大切です。

教材の文に戻り、未判定の逆を一枚で点検する

夜の復習では、思い出した文をすぐ暗記カードの裏面に書かず、元の教材へ戻ります。写すべきなのは答えの語句ではなく、対象の範囲を含む一文です。教材に「整数について」とあれば、その部分も写します。続いて「ならば」の前後に印を付け、前を条件、後を結論として左右に分けます。こうして元の文を確定してから、逆を作る段階へ進みます。

図2のように、手順の途中に「未判定」を挟みます。入れ替えた直後に正誤を書かないことが、この流れの中心です。

最初は、元の文を声に出して読み、教材と同じ語順かを確かめます。次に、条件と結論を別々の欄へ移します。3番目の動作として入れ替え、その下に「元の文とは別に判定する」と添えます。その後で例を試し、最後に元の文と逆の結果を分けて記録します。順序を入れ替えて、先に「誤り」と書いてしまうと、反例を探す前に記憶の印象で答えたことになりかねません。

例を試すときは、入れ替えた文の条件に合う数を選びます。「偶数ならば4の倍数である」なら、出発点は偶数です。奇数をいくら調べても、この文の条件を満たしていないため、反例にはなりません。次の表では、条件と結論を別々に判定します。

この表では2と6が反例です。一方、4と8は条件と結論を両方満たしますが、表の他の数まで正しいと決める根拠にはなりません。試す数を増やす前に、「どの欄を見れば反例と言えるのか」を決めておくと、計算の途中で結論を変えずに済みます。2は2で割り切れ、4で割ると余りが出ます。6も同じ構造です。数の大小ではなく、2つの条件に対する合否で選びます。

記録用のカードは、表面に元の文、裏面に元の文の理由、逆の文、逆の判定という4つの領域に分けます。ここでの4つは紙の区切りの数であり、覚えるべき数学の決まりではありません。逆が誤りなら反例とその計算を添え、逆が正しいと判断したなら、元の文とは別に、その向きの理由を書きます。逆が正しい場合がないという意味ではありません。元の文から自動的に正しさを移さない、という決まりです。

暗記して再現するときも、同じ分け方を使います。元の文を隠して条件と結論を言えたら、次にそれらを入れ替えた文を作ります。このとき「正しい」と続けず、「未判定」と言って止まります。それから反例を思い出し、条件を満たすか、結論を満たさないかの順で説明します。言葉を再現する練習と、正誤を判定する練習をこの順でつなぐと、逆の文まで無条件に暗記する癖を断てます。

ご家庭でお子さまのノートを見るときも、「逆は覚えたの」と尋ねるより、「こちらの矢印はどこから始まるの」と聞くと、手元の条件に注意が戻ります。答えを急に否定せず、元の文と入れ替えた文のどちらを話しているかを確かめます。保護者が新しい問題を出す必要はありません。ノートに書いた数が条件に合っているかを、同じ表の欄に沿って聞けば足ります。

次に復習するときは、前回の「誤り」という結論を隠し、反例の計算から向きを再現します。6を見て偶数かを確かめ、次に4の倍数かを確かめ、どちらの文に対する反例だったかを指で示します。答えの単語を再暗記するのではなく、判定の道筋をもう一度たどる復習です。元の文が正しいことと、逆が誤りであることを、それぞれ自分の言葉で説明できたら、その回のカードを閉じます。

直したのに合わないときは、写し方と反例の選び方を分ける

逆の考え方を知ったあとも答えが合わないときは、同じ練習を繰り返す前に、失敗した場所を分けます。逆の判定そのものが難しい場合と、元の文の写し方、対象の範囲、反例に選んだ数が違う場合では、戻る場所が異なるからです。

図3のように、「写し違い」「範囲違い」「反例違い」を分けて見ます。3つを一つの赤線で消すのではなく、直す対象を決めます。

写し違いでは、元の教材にない語を足していたり、「かつ」と「または」を取り違えていたりします。たとえば条件が2つの語でつながっているとき、一方を落としてから左右を入れ替えると、元の文の逆ではなくなります。この場合は反例を増やすより先に、教材の一文とノートの一文を重ねて読みます。違う語を直し、条件と結論の分け方からやり直します。

範囲違いでは、「整数について」や「0以上の数について」といった冒頭の指定が抜けています。同じ「偶数」という語でも、そもそも偶数は整数について決める性質です。範囲を曖昧なまま小数を書き始めると、条件を満たすかどうかの話がずれます。元の文に書かれた範囲を逆の文にも写し、試す数がその範囲に入っているかを先に確かめます。

反例違いでは、向きの理解は合っていても、選んだ数が条件を満たしていません。「偶数ならば4の倍数である」の反例を探すのに3を選んだとします。3は4の倍数ではありませんが、偶数でもありません。条件を満たさないので、この文への反例にはなりません。一方、4は条件と結論の両方を満たすため、これも反例ではありません。6なら条件を満たし、結論を満たさないため、必要な組み合わせになります。

ここで直すべきなのは暗記の量ではなく、数を選ぶ手順です。新しく数を書くたびに、最初に範囲、次に条件、最後に結論を確認します。条件の欄が「満たさない」なら反例候補から外し、結論の欄へ進みません。条件が「満たす」で結論も「満たす」なら、その例は主張に合っていますが、反例ではありません。条件が「満たす」で結論が「満たさない」ときに、反例として記録します。

元の文を疑うべき場合と、逆を疑うべき場合も分けます。元の文「4の倍数ならば偶数である」は、因数2があるという理由で確かめられます。逆が誤りでも、この理由は失われません。反対に、元の文を写した段階で教材と違うなら、元の教材へ戻る必要があります。逆を調べる作業は、元の文を正しいと信じ込む作業でも、元の文を否定する作業でもありません。それぞれの主張を、それぞれの方法で点検します。

それでも説明が止まるときは、止まった語を丸で囲みます。「偶数」の意味が曖昧なら用語の確認へ、「反例」の条件が曖昧なら表の2つの欄へ、「逆」の作り方が曖昧なら図1の左右へ戻ります。丸の位置を一つに決めると、何を質問すればよいかが具体的になります。ノート全体を書き直す前に、その語の上に短い問いを添えてください。

確かめの問題：10の倍数と5の倍数の向き

ここまでの4の倍数と偶数とは別の数で、同じ手順を確かめます。問題のすぐ下には解答を書かず、先に元の文、入れ替えた文、試した数を紙に残してください。

問題

0以上の整数について、「10の倍数ならば5の倍数である」という文があります。まず、条件と結論をそれぞれ書き、条件と結論を入れ替えた文を作ってください。次に、元の文が正しいかどうかを、10と5の関係を使って説明します。

さらに、入れ替えた文を調べます。候補の20、25、30、35について、入れ替えた文の条件を満たすか、結論を満たすかを表にしてください。その表から反例を選び、選んだ数が反例になる理由を2文で書きます。最後に、20と30を調べて「どちらも条件と結論を満たしたから、入れ替えた文は正しい」と書いた場合、その考えのどこを直せばよいかも答えてください。

解答と理由

元の文の条件は「10の倍数である」、結論は「5の倍数である」です。入れ替えた文は、0以上の整数について、「5の倍数ならば10の倍数である」となります。対象の範囲である「0以上の整数について」は動かしません。ここを書き換えた場合は、図1の上段と下段で範囲が同じかを確かめる場所へ戻ります。

元の文は正しいです。10は5×2なので、10の倍数は5×2に0以上の整数を掛けた数です。したがって因数5を持ち、5の倍数になります。条件の「10の倍数」から結論の「5の倍数」へ進む説明なので、入れ替えた文の正しさを借りていません。

候補の判定は次の表のとおりです。

反例としては25または35を選べます。ここでは25で説明します。25は5×5なので、入れ替えた文の条件である5の倍数を満たします。また、25を10で割ると2余り5なので、結論である10の倍数を満たしません。この2点を書けば、反例になる理由を示したことになります。35を選んだ場合も、同じ2つの欄で理由を確かめてください。

20と30についての説明は、条件と結論を両方満たす例を、文の証明と混同している点を直します。この2数は入れ替えた文と矛盾しませんが、25や35という反例があるため、入れ替えた文は正しいとは言えません。表の作り方や反例の選び方で誤ったときは、図3の「反例違い」へ戻り、範囲、条件、結論の順に数を調べ直します。元の文を説明できないときは、「まず、元の文と入れ替えた文を別の欄に分ける」の節へ戻り、4の倍数から偶数へ進む理由の組み立てを読み直します。

質問する日に紙を残し、今夜の復習を終える

質問を持ち込むときは、正解した問題集の頁を広げるより、向きを取り違えた過程が見える紙を用意します。元の教材の一文、条件と結論を分けた欄、入れ替えた文、試した数、反例の計算、止まった語への丸を一枚に残します。教材そのものには頁の印を付け、どの文を写したか分かる状態にします。写した日付や「夜に暗記した」といった短い記録もあれば、どの復習で混ざったかを話しやすくなります。

塾で見てもらう際には、まず元の文を読み、次に自分で作った逆を読みます。講師には「この文が誤りと覚えた」ではなく、「6が反例だと考えたが、どの条件に合うかを説明しにくい」のように、紙のどこで止まったかを伝えます。武蔵野個別指導塾の1対1の机では、その一文を講師が別の文へ置き換えるのではなく、生徒の矢印と計算を順に見ながら、戻る欄を絞ります。

今夜行う動作は小さく設定します。復習する文を選び、対象の範囲まで写し、条件と結論の間に矢印を引きます。入れ替えた文には、すぐ正誤を付けず「未判定」と書きます。そして、条件を満たす数を選び、結論の欄を調べます。元の文の横に長い説明を書き足す必要はありません。元の理由と逆の反例が別々に読める状態を、その晩の終わりの目印にします。

次に同じ語を見たとき、暗記した文を唱える前に矢印の左端を指す習慣が残れば、入れ替えた説明まで正しいと思い込む状態から離れられます。暗記の仕上げは、逆の文を未判定に戻す一手間で変わります。