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大学入試数学背理法と最小の候補—最小性に反する整数を作って矛盾を示す｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.15更新 2026.11.15武蔵野個別指導塾の特徴大学入試数学整数と論証

平方数を 3 で割った余りから候補を絞り、反例のうち最小のものを取って、そこから 3 で割った小さい組を作る流れを追います。答案を閉じる鍵は最小性です。

よくあるのは、演習の解き直しで、条件を満たす数を 3 で割った小さい数を作り、「これで最小性に反する」と書いて止まる場面です。割った数が 1 以上の整数であることを確かめていないため、答案は結論まで届きません。背理法の答案は、小さい数を作るだけで終わらず、その数が正の整数で、もとの候補より小さいことを書き添えたときに閉じます。

整数の条件から最小の候補を探す問い

背理法と最小の候補が問われる場面は、大きく三つの型に分かれます。第一の型は、a² = 2b² や x² + y² = 3z² のように、等式を満たす正の整数の組がないことを示す型です。第二の型は、等式を満たす組があると仮定して、その組を 3 や 2 で割った組を作り、同じ形の等式へ戻す型です。第三の型は、2 以上のすべての整数は素数の積に表せる、というように、すべての整数について成り立つ命題を、最小の反例を取って示す型です。

どの型でも、最初に見る整数条件は同じです。結論を否定すると、条件を満たさない正の整数、または条件を満たす正の整数の組が、少なくとも一つは存在すると仮定できます。正の整数の集合には最小の数があるので、その中で一番小さい候補を選べます。答案では「そのうち最小のものを取る」と宣言し、そこから新しい候補を作ります。作った候補について、整数であること、正であること、もとの候補より小さいこと、同じ条件を満たすことの四点を確かめる。この四点がそろって初めて、最小性に反するという一文が根拠を持ちます。

最小反例とより小さい候補の作り方

背理法は、結論が成り立たないと仮定して矛盾を導く証明の型です。整数の命題では、結論の否定が「条件を満たす整数が存在する」という形になることが多く、その存在を仮定したうえで、最小の候補を取る操作が加わります。この二段構えが、整数ならではの背理法の特徴です。

正の整数の空でない集合には、必ず最小の数があります。この性質を整列性と呼びます。0 を含む集合を扱うときは、最小の数が 0 になることがあるため、答案では「正の整数」と「非負整数」を区別して書きます。整列性は証明の前提として使ってよい性質ですが、使うときは「正の整数の集合だから最小のものが取れる」と一言添えると、読み手が根拠を追えます。

命題 P(n) が成り立たない正の整数 n のうち、最小のものを最小反例と呼びます。背理法と最小反例を組み合わせた答案は、次の順に進みます。まず、P(n) が成り立たない正の整数があると仮定します。次に、そのような n のうち最小の m を取ります。そして、m から新しい整数 m′ を作り、m′ も P が成り立たないこと、m′ が正の整数であること、m′ < m であることを示します。最後に、m より小さい反例があることは m の最小性に反する、と結びます。

この流れで最も落としやすいのが、m′ が正の整数であることの確認です。等式を 3 で割って m′ = m/3 を作ったとき、m が 3 の倍数であることだけを示して、m/3 が 1 以上であることを書かない答案が目立ちます。m が正で 3 の倍数なら m は 3 以上ですから、m/3 は 1 以上です。この一行があるかどうかで、最小性を使う資格が変わります。0 や負の数を候補に含めてしまうと、最小の数はいくらでも小さくでき、矛盾の意味が失われます。

図1のように、問いの形ごとに、どの候補を最小にするかを対応させておくと、答案の出だしで迷いません。等式の解がないことを示すなら式に現れる文字、割った組を作るなら割る前の x、すべての整数についての命題なら反例そのものを最小にします。どの場合も、作った候補が正の整数で、もとの候補より小さいことの確認は同じです。

もう一つの誤解は、最小性を使わなくてもよい場面で使ってしまうことです。n² が 5 の倍数ならば n は 5 の倍数である、という命題は、n を 5 で割った余りで場合分けすれば直接示せます。このとき、より小さい反例を作る操作は現れません。最小反例は、小さい候補を構成できる見通しがあるときに選ぶ道具です。逆に、候補を構成する式が同じ形に戻るなら、最小性がよく効きます。式の形が戻るかどうかを、割り算の前後で見比べることが、方針の分かれ目になります。

同じ操作を繰り返す考え方は、無限降下法と呼ばれます。m から m′ を作る操作をもう一度 m′ に当てはめると、m″ < m′ という反例が続きます。これを繰り返すと、正の整数の列がどこまでも小さくなり続けることになります。しかし、正の整数は 1 未満に下がれません。最小性は、この「どこまでも下がれない」という事実を一行で言い切るための道具です。答案では無限降下を何度も書かず、最小の候補を一度取って、それより小さい候補を作れば十分です。

基本例題　平方数の等式に解がないことを示す

例題1（標準）　正の整数 a, b について、a² = 2b² を満たす組は存在しないことを示しなさい。

方針は、組があると仮定し、b が最小のものを取ることです。右辺が偶数であることから a が偶数、さらに b が偶数、と進むと、両方を 2 で割った組が同じ式を満たします。割った組の b がもとの b より小さいことを、正の整数であることと合わせて確かめます。解答を一行ずつ書きます。

a² = 2b² を満たす正の整数の組 (a, b) があると仮定する。
そのような組のうち、b が最小のものを取る。
右辺 2b² は偶数だから、a² は偶数である。
a が奇数なら a = 2k + 1 と書けて、a² = 4k² + 4k + 1 は奇数となる。これは a² が偶数であることに反する。
よって a は偶数であり、a = 2a₁ と書ける。a は正だから a ≥ 2 で、a₁ は正の整数である。
(2a₁)² = 2b² より、4a₁² = 2b² である。
両辺を 2 で割ると、2a₁² = b² となる。
右辺 b² は偶数だから、b は偶数である。
よって b = 2b₁ と書ける。b は正だから b ≥ 2 で、b₁ は正の整数である。
2a₁² = (2b₁)² より、2a₁² = 4b₁² である。
両辺を 2 で割ると、a₁² = 2b₁² となる。
したがって (a₁, b₁) も、同じ式を満たす正の整数の組である。
b₁ = b/2 であり、b は正だから b₁ < b である。
これは b の最小性に反する。よって、a² = 2b² を満たす正の整数の組は存在しない。

検算では、a と b に小さい数を入れて、等式が成り立たないことを確かめます。a = 2 なら 4 = 2b² より b² = 2 で、b は整数にならない。a = 4 なら 16 = 2b² より b² = 8 で、これも整数にならない。数例を調べただけでは、すべての組について成り立たないことの証明にはなりません。しかし、式の形と割り算の位置を確かめる材料にはなります。

図2のように、2 で割る操作が同じ形の式へ戻り、b₁ が b より小さくなる連鎖を押さえてください。図2の最後の箱が、最小性に反するという結論の場所です。

この例題は、3 の平方根や 5 の平方根にも形を変えて使えます。割る数が 2 から 3 に変わっても、割った数が正の整数であることを確かめる位置は同じです。答案では、a と b の両方が割り切れることを示してから、両方を同じ数で割ります。片方だけを割って「分母が小さくなった」と書くと、式が同じ形に戻らず、最小性につながりません。

標準例題と発展例題　割った組を作って矛盾へ導く

例題2（やや難）　正の整数 x, y, z について、x² + y² = 3z² を満たす組は存在しないことを示しなさい。

基本例題との違いは、割る数が 3 で、割った組が三つになる点です。平方数を 3 で割った余りが 0 か 1 のどちらかであることを使い、x と y がともに 3 の倍数であることを導きます。そのうえで、3 で割った組が同じ式を満たすことを示します。解答を一行ずつ書きます。

x² + y² = 3z² を満たす正の整数の組 (x, y, z) があると仮定する。
そのような組のうち、x が最小のものを取る。
整数 n を 3 で割った余りは 0、1、2 のいずれかである。それぞれの場合に n² を 3 で割った余りを調べると、0、1、1 となる。よって平方数を 3 で割った余りは 0 か 1 である。
x² + y² は 3z² に等しく、3 の倍数である。x² と y² の余りはそれぞれ 0 か 1 で、和が 3 の倍数になるのは 0 + 0 の場合だけである。
よって x² と y² はともに 3 の倍数であり、x と y はともに 3 の倍数である。
x = 3x₁、y = 3y₁ と書ける。x は正で 3 の倍数だから x ≥ 3 で、x₁ は正の整数である。y についても同じで、y₁ は正の整数である。
(3x₁)² + (3y₁)² = 3z² より、9x₁² + 9y₁² = 3z² である。
両辺を 3 で割ると、3(x₁² + y₁²) = z² となる。
右辺 z² は 3 の倍数である。平方数を 3 で割った余りが 0 か 1 であることから、z² が 3 の倍数なら z も 3 の倍数である。
よって z = 3z₁ と書ける。z は正で 3 の倍数だから z ≥ 3 で、z₁ は正の整数である。
3(x₁² + y₁²) = (3z₁)² より、3(x₁² + y₁²) = 9z₁² である。
両辺を 3 で割ると、x₁² + y₁² = 3z₁² となる。
したがって (x₁, y₁, z₁) も、同じ式を満たす正の整数の組である。
x₁ = x/3 であり、x は正だから x₁ < x である。
これは x の最小性に反する。よって、x² + y² = 3z² を満たす正の整数の組は存在しない。

方針の分かれ目は、合同式で「x と y が 3 の倍数である」と分かった時点で止まらないことです。3 の倍数であること自体は矛盾ではありません。3 で割って同じ形の式に戻り、割った組が正の整数で、もとの x より小さいことを示して初めて、最小性に反する根拠になります。手順 6 と手順 10 の「正の整数である」という確認は、この答案の要所です。

別解として、x + y + z が最小の組を取る方法もあります。割った組の和は (x + y + z)/3 で、正の整数であり、もとの和より小さいので、同じように最小性に反します。どの候補を最小にするかを決めたら、答案の最初に宣言し、最後まで同じ候補で比較します。x で始めて途中から和に切り替えると、最小性の根拠が二つに割れて読みにくくなります。

合同式は必要条件を作る道具です。x² + y² が 3 の倍数だから x と y が 3 の倍数、というのは必要条件であり、それだけでは元の等式を満たす組が作れたことになりません。割った組を元の式へ代入して、同じ形になることを確かめる作業が、十分性の確認です。この二段階を分けて書くと、読み手はどこで何を示したかを追えます。

例題3（難）　2 以上のすべての整数 n は、素数の積として表せることを示しなさい。

ここでは等式ではなく、すべての整数についての命題を扱います。素因数が少なくとも一つあることを最小反例で示し、そのあとで素数の積への分解を最小反例で示します。小さい数を作ったとき、その数が 2 以上であること、もとの数より小さいことを確かめる点は、例題1と例題2と同じです。

まず、2 以上のすべての整数は素因数を少なくとも一つもつことを示します。

素因数をもたない 2 以上の整数があると仮定する。
そのような整数のうち最小のものを m とする。
m は素数ではない。もし m が素数なら、m 自身が m の素因数になるからである。
素数でない 2 以上の整数は、1 より大きく m より小さい正の整数 u を使って m = uv と書ける。v も 1 より大きく m より小さい正の整数である。
u は 2 以上 m 未満の整数だから、m の最小性により素因数 p をもつ。
p は u を割り、u は m を割るから、p は m を割る。
これは m が素因数をもたないことに反する。よって、2 以上のすべての整数は素因数を少なくとも一つもつ。

次に、素数の積への分解を示します。

素数の積として表せない 2 以上の整数があると仮定する。
そのような整数のうち最小のものを m とする。
m は素因数 p をもつから、m = pk と書ける。k は正の整数である。
k = 1 なら m = p であり、m は素数である。素数は 1 個の素数の積とみなせるから、m は素数の積として表せる。これは仮定に反する。
よって k ≥ 2 である。また k = m/p で p ≥ 2 だから、k < m である。
k は 2 以上 m 未満の整数だから、m の最小性により素数の積として表せる。
よって m = p・k も素数の積として表せる。これは仮定に反する。
したがって、2 以上のすべての整数は素数の積として表せる。

この証明で落としやすいのは、k = 1 の場合を分けている点です。k = 1 を「素数の積」に含めてよいかどうかを曖昧にしたまま進むと、境界の場合が証明から抜けます。ここでは k = 1 を先に処理し、k ≥ 2 のときだけ最小性を使います。k が 2 以上であることと、k < m であることを、割り算の直後に書くのが安全です。

例題3は、存在と一意性を混同しないための練習にもなります。素数の積に表せることと、その表し方が一通りであることは別の命題です。ここで示したのは存在だけで、一意性は示していません。片方の証明が済んだからといって、もう片方を結論に加えないようにします。

誤答を直す　小さい数が正であることを落とす

誤答の例です。a² = 2b² を満たす組があるとして最小の b を取り、b が偶数だから b = 2b₁ とおく。ここで「分母が半分になったので、最小性に反する」と書いて終わります。この答案には三つの不足があります。

第一に、a も偶数であることを使っていません。a = 2a₁ を出さないと、a² = 2b² は a₁² = 2b₁² という同じ形に戻りません。第二に、b₁ が正の整数であることを確かめていません。b が正の偶数なら b ≥ 2 で、b₁ ≥ 1 です。第三に、a/(2b₁) が 2 の平方根の分数表示になっているかを確かめていません。a = 2a₁ を出して初めて、a/(2b₁) = a₁/b₁ と約分でき、同じ形の反例だと分かります。

別の誤答です。x² + y² = 3z² の答案で「x、y、z は 3 の倍数だから、3 で割った数も解になる」とだけ書く答案があります。割った数が正の整数であることを書いていないため、最小性を使う条件がそろっていません。x が正で 3 の倍数なら x ≥ 3 で、x/3 ≥ 1 です。y と z についても同じ確認を書きます。

図3のように、誤答、原因、直しを三列で並べると、どの一行が抜けているかを見つけやすくなります。図3の左の列は答案に出てくる言葉、中央の列は足りない確認、右の列は書き足す式です。

直した答案では、割り算の行のすぐ下に「x ≥ 3 だから x₁ ≥ 1」と書き、その次の行に「x₁ = x/3 < x」と書きます。この二行を省かないことが、最小性に反するという結論を支えます。誤答を直すときは、結論の文を書き換えるのではなく、結論の手前の確認を足すのが原則です。

もう一つ、差を取る誤答もあります。x² + y² = 3z² の解から x − 1 を作り、「より小さい数ができた」と書く答案です。x − 1 が同じ式を満たすことは確かめていませんし、x = 1 のときは 0 になって正の整数ではなくなります。小さい数を作る操作は、同じ条件を満たすことを式へ代入して確かめられるときだけ使えます。

練習問題

練習1　3 の平方根が無理数であることを示しなさい。a² = 3b² を満たす正の整数 a, b が存在しないことを、最小の b を取って示す方針で書きなさい。

練習2　正の整数 x, y, z について、x² + y² = 11z² を満たす組は存在しないことを示しなさい。

練習3　1 より大きい整数 n について、n の約数のうち 1 より大きい最小のものを p とするとき、p は素数であることを示しなさい。

練習4　次の答案の不足を補い、完全な答案に直しなさい。

「x² + y² = 6z² の正の整数解のうち、x が最小のものを取る。x と y は 3 の倍数だから、x = 3x₁、y = 3y₁ とおける。このとき 3(x₁² + y₁²) = 2z² となり、z は 3 の倍数である。z = 3z₁ とおくと x₁² + y₁² = 6z₁² となる。x₁ < x だから、最小性に反する。」

練習5　n² が 5 の倍数ならば n は 5 の倍数であることを示しなさい。また、この証明に最小反例の考え方が必要かどうかを述べなさい。

練習の答えと解き方

練習1の答え　a² = 3b² を満たす正の整数の組があると仮定し、b が最小のものを取ります。右辺は 3 の倍数だから a² は 3 の倍数で、平方数を 3 で割った余りが 0 か 1 であることから、a は 3 の倍数です。a = 3a₁ とおくと、a₁ は正の整数です。9a₁² = 3b² より 3a₁² = b² となり、b も 3 の倍数です。b = 3b₁ とおくと、b₁ は正の整数で、3a₁² = 9b₁² より a₁² = 3b₁² となります。よって (a₁, b₁) は同じ式を満たす正の整数の組で、b₁ = b/3 < b です。これは b の最小性に反します。したがって、3 の平方根は有理数で表せず、無理数です。

練習2の答え　平方数を 11 で割った余りは、0、1、3、4、5、9 の六通りです。この六つの数のうち、二つの和が 11 の倍数になるのは 0 + 0 の場合だけです。よって x² と y² はともに 11 の倍数で、11 は素数だから x と y はともに 11 の倍数です。x = 11x₁、y = 11y₁ とおくと、x₁ と y₁ は正の整数です。121x₁² + 121y₁² = 11z² より 11(x₁² + y₁²) = z² となり、z も 11 の倍数です。z = 11z₁ とおくと、z₁ は正の整数で、x₁² + y₁² = 11z₁² となります。x₁ = x/11 < x なので、最小性に反します。よって解は存在しません。

練習3の答え　n 自身は n の約数で 1 より大きいから、1 より大きい約数は存在し、そのうち最小の p が取れます。p が素数でないとすると、p は 1 でも p でもない正の約数 a をもちます。1 < a < p で、a は p を割り、p は n を割るから、a は n の約数です。これは p が 1 より大きい n の約数のうち最小であることに反します。よって p は素数です。

練習4の答え　不足しているのは、z が 3 の倍数である理由と、x₁、y₁、z₁ が正の整数であることの確認です。3(x₁² + y₁²) = 2z² の左辺は 3 の倍数だから、2z² は 3 の倍数です。3 は 2 を割らないので、3 は z² を割ります。平方数を 3 で割った余りは 0 か 1 だから、z² が 3 の倍数なら z も 3 の倍数です。z = 3z₁ とおくと、3(x₁² + y₁²) = 18z₁² より x₁² + y₁² = 6z₁² となります。x は正で 3 の倍数だから x ≥ 3 で、x₁ = x/3 ≥ 1 です。y₁ も同様で、z は正で 3 の倍数だから z₁ = z/3 ≥ 1 です。よって (x₁, y₁, z₁) は正の整数の組で、x₁ < x ですから、最小性に反します。

練習5の答え　n を 5 で割った余りで場合分けします。n の余りが 1、2、3、4 のとき、n² の余りはそれぞれ 1、4、4、1 となり、いずれも 0 ではありません。よって n² が 5 の倍数なら、n の余りは 0 で、n は 5 の倍数です。この証明では、余りの四通りを調べた時点で矛盾が出るため、より小さい反例を作る操作は現れません。最小反例は、小さい候補を構成できる見通しがあるときに使う道具であり、この命題には必要ありません。

覚えておくこと

反例があると仮定したら、まず最小の候補を取る。
作った数が正の整数であることを確かめる。
作った数がもとの候補より小さいことを確かめる。
同じ形の条件に戻って初めて反例と呼べる。
小さい候補を作れないときは、最小性を使わない。

つまずきの見分け方

答案に「3 で割る」「2 で割る」という行が出てきたら、そのすぐ下に商が正の整数であることと、もとの数より小さいことが書かれているかを点検します。書かれていなければ、結論の文ではなく、確認の行を足します。最小性を使った行には「最小」と印を付け、その候補と最後に比べる候補が同じであることも見ます。

個別指導では、割り算の式の横に「x ≥ 3 だから x₁ ≥ 1」「x₁ = x/3 < x」と書き込ませます。式変形が正しくても、この二つの確認が抜けると答案は閉じません。小さい数を作ったら、その数が正の整数で、元の候補より小さいことをその場で書き添える。この二つの確認が、背理法の答案を閉じます。