大学入試数学 逆数の和の整数解—分母の条件を保って約数の組へ変形する｜武蔵野個別指導塾

逆数の和を積に直し、約数の候補から分母の条件を満たす組を選ぶ道筋をたどる逆数の整数解。

よくあるのは、高校生が演習の解き直しで分母を払った後に元の条件を忘れる場面です。積の形に変えられると、あとは約数を並べる作業に見えます。しかし、約数から戻した数が整数でないことも、正でないこともあります。式の変形と候補の選別を分け、最後に元の逆数の和に戻しましょう。

何を求め、どこで候補を絞るか

ここでの自然数は1以上の整数です。正整数 x、y について、1/x + 1/y が指定された正の分数に等しいとき、順序対 (x, y) を求める問題を考えます。順序対では (x, y) と (y, x) は、x と y が異なれば別の答えです。一方、x ≦ y と指定された場合には、逆順を加えてはいけません。

出方には、指定分数から全組を求める型、大小条件を加えて組を求める型、解がないことを示す型があります。いずれも最初に分母の正負と、答えに順序があるかを確認します。正整数という条件により分母は0ではなく、逆数を定義でき、両辺に xy を掛ける操作も戻せます。

たとえば途中で積が定数に等しくなっただけでは、元の問題が解けたとは限りません。因子から x、y を復元する際の割り算が割り切れるか、復元した値が正か、指定された大小関係を満たすかを調べます。必要条件として得た候補を、そのまま十分な答えだと決めないことが答案の分かれ目です。

積に直すと何が残るか

a、b を正整数として、指定分数を a/b とします。分数が約分されていなくても以下の変形は成り立ちます。x、y は正整数なので bxy は0ではありません。まず両辺に bxy を掛けます。

1/x + 1/y = a/b
b(x + y) = axy
axy - bx - by = 0

両辺を a 倍し、b² を加えると積になります。

a²xy - abx - aby = 0
a²xy - abx - aby + b² = b²
(ax - b)(ay - b) = b²

この変形で出る因子を d = ax − b、e = ay − b と置きます。積は正なので d と e は同符号です。さらに元の式では 1/x < a/b です。なぜなら 1/y > 0 だからです。正の数 bx を掛けると b < ax となり、d > 0 です。同様に e > 0 です。よって調べるのは b² の正の約数の組で足ります。

ただし、正の約数を1つ選べば自動的に解が出るわけではありません。x = (d + b)/a、y = (e + b)/a が正整数になる必要があります。d、e が正なら分子は正ですが、a で割り切れるかは別の条件です。図1のように、積の条件から整数の条件へ進みます。元の条件に大小の指定があれば、最後にその条件も重ねます。

図1の戻り道を確認しましょう。正の整数 d、e が de = b² を満たし、(d + b)/a と (e + b)/a が整数なら、それらを x、y とすると正整数です。積の式を展開して上の計算を逆にたどれます。最後に正の数 abxy で割れば元の逆数の和が得られます。つまり条件を通過した候補は解であり、先ほどの導出により解の取りこぼしもありません。

分数を既約にすると数が小さくなる場合があります。約分するなら分子と分母を割る数が0でなく、約分後の分子と分母が互いに素であることを確かめます。ただし既約であることは積への変形の必須条件ではありません。式を小さくするための選択と、証明に必要な条件を区別します。

基本例題：対称な組を数える

【例題1・標準】正整数 x、y について、1/x + 1/y = 1/4 を満たすすべての順序対 (x, y) を求めてください。

分母は正なので、両辺に 4xy を掛けられます。積に直す手順を1行ずつ書きます。

4y + 4x = xy
xy - 4x - 4y = 0
xy - 4x - 4y + 16 = 16
(x - 4)(y - 4) = 16

1/x < 1/4 から x > 4、同様に y > 4 です。したがって x − 4 と y − 4 は16の正の約数です。図2のように、小さい因子から順に並べれば、逆順を含むすべての組を確認できます。

(x - 4, y - 4) = (1, 16), (2, 8), (4, 4), (8, 2), (16, 1)
(x, y) = (5, 20), (6, 12), (8, 8), (12, 6), (20, 5)

約数は 1、2、4、8、16 で尽きるため、表以外の正の因子はありません。各因子に4を足せば正整数に戻り、上の積の式から元の式が従います。直接の確認でも 1/5 + 1/20 = 1/4、1/6 + 1/12 = 1/4、1/8 + 1/8 = 1/4 です。逆順の2組も和は同じです。

順序対を求める指示に対し、x ≦ y の3組だけを書いて終えるのは不足です。対称性は計算量を減らしますが、問題が求める順序を消す理由にはなりません。同じ値の組 (8, 8) は入れ替えても同じ順序対ですから二重に数えません。

別の見方として x ≦ y と仮定すると、1/y ≦ 1/x から 1/4 ≦ 2/x、よって x ≦ 8 です。また x > 4 なので x は5から8に限られます。各 x から y を求め、整数かどうかを調べる方法もあります。ただし最初の大小の仮定を最後に戻し、逆順も加える必要があります。

分子が1でないときの選別

【例題2・やや難】正整数 x、y が x ≦ y および 1/x + 1/y = 2/5 を満たすとき、すべての順序対 (x, y) を求めてください。

先ほどの積の形にすると次のようになります。

5x + 5y = 2xy
4xy - 10x - 10y = 0
(2x - 5)(2y - 5) = 25

元の式から 2x − 5 > 0、2y − 5 > 0 です。x ≦ y なら 2x − 5 ≦ 2y − 5 なので、正の因子の組は (1, 25)、(5, 5) です。それぞれを戻します。

(2x - 5, 2y - 5) = (1, 25) のとき (x, y) = (3, 15)
(2x - 5, 2y - 5) = (5, 5) のとき (x, y) = (5, 5)

両方とも正整数で x ≦ y です。元の式でも 1/3 + 1/15 = 2/5、1/5 + 1/5 = 2/5 と確かめられます。正の約数の組を尽くし、その各組が条件を満たすので、答えはこの2組です。

ここでは因子が奇数なので、5を足すと偶数になり2で割れました。一般にはこの確認を省けません。因子 d から x = (d + 5)/2 を作るとき、d + 5 が2で割り切れる理由を持つことが必要です。積の組を並べる方法は有限性を明確にしますが、割り切れない候補を分母として採用できない点までが方法の一部です。

別解では大小を利用します。x ≦ y より 1/y ≦ 1/x なので、2/5 ≦ 2/x、すなわち x ≦ 5 です。また 1/x < 2/5 より x > 5/2 です。x は3、4、5のいずれかとなり、元の式で y を求めます。x = 4 では 1/y = 3/20 となり y = 20/3 は整数でないため除きます。探索の上限を示す前に小さい値だけを試しても、全解の証明にはなりません。

解がない場合も積から示せるか

【例題3・難】正整数 x、y について、1/x + 1/y = 3/7 を満たす順序対が存在しないことを証明してください。

解があると仮定すると、分母は正です。両辺に 7xy を掛け、積に変えます。

7x + 7y = 3xy
9xy - 21x - 21y = 0
(3x - 7)(3y - 7) = 49

元の式より両因子は正です。49の正の因子の順序つきの組は (1, 49)、(7, 7)、(49, 1) です。どの因子も3で割った余りが1です。しかし 3x − 7 は3の倍数から7を引いた整数ですから、3で割った余りは2です。これは矛盾します。したがって解は存在しません。

ここで余りの主張は、49の約数を列挙したうえで各因子を確かめています。積が49になった時点ではまだ矛盾ではなく、分母に戻るための条件と組み合わせて初めて排除できます。解なしという結論にも、候補を尽くした理由が必要です。

大小による別解もあります。対称性から x ≦ y としてよく、そのとき 7/3 < x ≦ 14/3 です。整数 x は3か4です。x = 3 なら 1/y = 2/21 で y = 21/2、x = 4 なら 1/y = 5/28 で y = 28/5 となり、どちらも整数ではありません。逆順の解があっても入れ替えれば x ≦ y の解になるため、これで全体を否定できます。

積の方法は分子や分母が大きいと約数の列挙が負担になることがあります。大小による方法は、小さい分母の範囲が短いときに使いやすい方法です。どちらを選んでも、範囲外に解がない根拠と、範囲内の候補を元の条件に戻す作業は残ります。

負の因子を答えにしないために

例題1の積だけを眺めると、負の因子の組 (-1, -16) も積が16です。ここから x = 3、y = -12 を得て、これを正整数解に入れる答案を考えます。図3のように、積は合っていますが元の定義域で失敗します。

実際、1/3 + 1/(-12) = 1/4 なので、等式だけを検算しても誤りは見つかりません。原因は、分母を払う前に持っていた正整数の条件を、積の式の後へ持ち越さなかったことです。解を元の式に代入するだけでなく、正負や整数性にも戻ってください。

直すには、元の式の 1/y > 0 から 1/x < 1/4、したがって x > 4 を先に示します。同様に y > 4 なので、負の因子を列挙する必要はありません。さらに、因子の候補を分母に戻した後には、順序の指定まで確認します。計算が成功したように見える候補と、条件を満たす解は別です。

もう1つの失敗は、分母を払う式だけを使って x = 0 や y = 0 を検討することです。元の逆数は分母が0では定義されません。正整数の問題では初めから0を含まないと明記し、変形後に新しい候補が現れても採用しません。逆向きの変形で割る数が0でない理由も、正の条件で保証されます。

練習：候補と条件を照らす

次の5問はすべて x、y を正整数とし、x ≦ y とします。それぞれ条件を満たすすべての順序対 (x, y) を求めてください。正整数解がなければ、その理由を示してください。

1. 1/x + 1/y = 1/6
2. 1/x + 1/y = 2/7
3. 1/x + 1/y = 3/8
4. 1/x + 1/y = 4/9
5. 1/x + 1/y = 5/6

練習の答えと道筋

どの問も分母が正なので、積の式への変形とその逆が可能です。以下の因子は元の式から正とわかります。また x ≦ y と係数の正から、左の因子が右以下になります。

1. 積の式は (x − 6)(y − 6) = 36 です。36の正の因子の組を小さい順に並べます。

(x - 6, y - 6) = (1, 36), (2, 18), (3, 12), (4, 9), (6, 6)
(x, y) = (7, 42), (8, 24), (9, 18), (10, 15), (12, 12)

それぞれ正整数で、大小条件を満たします。元の和は順に 7/42、4/24、3/18、5/30、2/12 で、いずれも 1/6 です。

2. 積の式は (2x − 7)(2y − 7) = 49 です。因子の組 (1, 49)、(7, 7) から (x, y) = (4, 28)、(7, 7) です。元の和はそれぞれ 8/28、2/7 であり、どちらも 2/7 です。ほかの正の因子の組は大小条件を満たしません。

3. 積の式は (3x − 8)(3y − 8) = 64 です。正の因子の組は (1, 64)、(2, 32)、(4, 16)、(8, 8) です。各因子に8を足して3で割ると、整数になるのは (1, 64) と (4, 16) です。答えは (3, 24)、(4, 8) で、元の和はそれぞれ 9/24、3/8 です。

4. 積の式は (4x − 9)(4y − 9) = 81 です。正の因子の組は (1, 81)、(3, 27)、(9, 9) です。各因子に9を足して4で割ると、両方が整数になるのは (3, 27) です。答えは (3, 9) で、元の和も 3/9 + 1/9 = 4/9 です。

5. 積の式は (5x − 6)(5y − 6) = 36 です。正の因子の組は (1, 36)、(2, 18)、(3, 12)、(4, 9)、(6, 6) です。各因子に6を足して5で割ると、両方が整数になるのは (4, 9) です。答えは (2, 3) で、元の和は 3/6 + 2/6 = 5/6 です。

候補が途中で整数にならない場合は、その組を除き、残りも最後まで調べます。1組見つけたことは存在の確認であり、ほかにないことの確認ではありません。逆に全候補が除かれた場合は、その一覧が尽きていることを示してから解なしと結論します。

手元に残すこと

• 分母の正と非零を最初に押さえます。
• 積の右辺の正の約数を、順序の指定に合わせて並べます。
• 因子から戻した分母の整数性と正負を確認します。
• 漏れがない理由と、残った候補が元の式を満たす理由を書きます。

どの行で止まっているか

式を積にできても答えが合わないときは、因子の表から x と y を戻す1行を見直します。割り切れない値や負の値を採用していないか、順序を戻し忘れていないかを確かめます。個別に説明するときは、因子の組を1つ選び、分母への復元と元の和への代入を本人の言葉でたどってもらうと、計算の誤りと条件の読み落としを区別できます。逆数の和の答案は、積の表を作った後の条件確認までで完成します。