大学入試数学 一次不定方程式と追加条件—一般解に別の整除条件を加えて全解を決める｜武蔵野個別指導塾

一次方程式の一般解に整除条件を代入し、整数パラメータの取りこぼしを防ぐ手順をたどる一次不定方程式。

よくあるのは、高校生が演習の解き直しで二つの整数パラメータを独立に動かしてしまう場面です。方程式を満たす組を表した後、別の整除条件からもう一つの文字が現れると、両方を自由に選びたくなります。しかし、二つの文字は同じ整数を表す式で結ばれています。その関係を解き、最後に元の二つの条件へ戻すと、解の範囲が見えてきます。

どの条件から手を付けるか

整数 x, y に一次方程式と整除条件が同時に課される問題を考えます。答えは、両方を満たす整数の順序対 (x, y) の全体です。順序を入れ替えた組は、改めて条件を満たすか確かめます。自然数は 1 以上の整数とし、0 を含むときは非負整数と呼びます。

出方は大きく分けて三つあります。一つ目は、x や y の和が指定された正整数の倍数という型です。二つ目は、一次式が指定された余りを持つ型です。余りが r という条件は、差を取って倍数の条件に直せます。三つ目は、さらに正負や範囲が付く型です。この場合、整除条件でパラメータを絞った後に不等式を課せば、有限個の組まで求められます。

まず一次方程式に整数解が存在するかを見ます。左辺の係数の共通の正の約数は左辺を割るため、右辺も割らなければ解はありません。解が存在しても、追加条件まで満たすとは限りません。方程式の解全体を表す文字を作り、追加条件をその文字の条件に翻訳することが、二つの段階をつなぎます。

一つの文字が二つの座標を動かす

正整数 m に対し、整数 A と B の差 A − B が m の倍数であるとき、A と B は m を法として合同であるといいます。A ≡ B (mod m) と書きます。これは A − B = mq となる整数 q が存在することです。差を足したり整数倍したりしても m の倍数なので、合同式にも加減と整数倍を使えます。

たとえば互いに素な正整数 a, b に対し、ax + by = c の整数解を一組 (x₀, y₀) 得たとします。別の解との差を取れば、

a(x - x₀) + b(y - y₀) = 0
a(x - x₀) = -b(y - y₀)

a と b は互いに素なので、b は x − x₀ を割ります。したがって、ある整数 t を使って x − x₀ = bt と書けます。元の差の式に戻すと y − y₀ = -at です。逆に、この形の組を代入すれば t の項が消え、元の方程式を満たします。よって一般解は x = x₀ + bt, y = y₀ − at です。

この t は二つの座標で共通です。x の式と y の式に別々の整数を入れると、もとの方程式を満たさない組も混ざります。図1のように、方程式が一つの t に組を対応させ、追加条件がその t を選別します。

図1の選別後の候補は、元の組へ戻して条件を確認します。一般解を作る段階と候補を残す段階を混ぜないと、どの条件がどこで使われたかが明確です。係数に共通因子があるときは、右辺もその因子で割れることを確認してから全体を割り、互いに素な係数に直せます。

追加条件が Ct ≡ D (mod m) の形になった場合も注意が必要です。C と m の最大公約数を d とすると、d が D を割らなければ解はありません。割る場合は C, D, m を d で割った合同式と同値です。実際、Ct − D が m の倍数であることは、割った後の差が m/d の倍数であることと同じです。係数だけを割って法をそのままにすると、正しい候補を失うことがあります。

基本例題：和が倍数になる組

【例題1・標準】整数 x, y が 3x + 5y = 19 を満たし、x + y が 4 の倍数である。条件を満たす整数の順序対をすべて求め、整数を用いた一般形で答えてください。

まず (3, 2) は 3・3 + 5・2 = 19 を満たします。係数 3 と 5 は互いに素なので、上の議論から一般解は次の形です。

x = 3 + 5t
y = 2 - 3t
（t は整数）

これを和に代入します。

x + y = 5 + 2t
5 + 2t ≡ 0 (mod 4)
2t ≡ 3 (mod 4)

ここで左辺は偶数ですが、4 の倍数との差が 3 になる偶数はありません。言い換えると、係数 2 と法 4 の最大公約数 2 は右辺 3 を割りません。したがって追加条件に合う t はなく、答えは解なしです。

図2のように t の偶奇で調べても、和は 4 で割った余りが 1 または 3 です。図2は一般解には組が存在しても追加条件で全候補が消えることを示します。整数解を一組見つけたことと、二条件を同時に満たす組が存在することは別です。

別の見方では、方程式を 2 で見れば x + y は奇数です。4 の倍数は偶数なので矛盾します。この方法は解なしの判定には短く使えますが、解が存在する問題では組の全体を表す作業が残ります。一般解を経由する方法なら、存在する場合と存在しない場合を同じ流れで扱えます。

条件を通過した文字を組に戻す

【例題2・やや難】整数 x, y が 4x + 7y = 30 を満たし、x − y が 5 の倍数である。条件を満たす整数の順序対をすべて一般形で答えてください。

一組の解は (4, 2) です。4 と 7 は互いに素なので、整数 t による一般解は次のとおりです。

x = 4 + 7t
y = 2 - 4t
x - y = 2 + 11t

追加条件を 5 を法とする合同式にします。

2 + 11t ≡ 0 (mod 5)
t ≡ 3 (mod 5)
t = 3 + 5k

ここで k は任意の整数です。これを二つの座標に同じように代入します。

x = 4 + 7(3 + 5k) = 25 + 35k
y = 2 - 4(3 + 5k) = -10 - 20k

答えは (x, y) = (25 + 35k, -10 − 20k)、k は整数です。必要性は、任意の解から一般解と合同条件を順に導いたことで示されます。十分性は、任意の整数 k に対し、元の式へ戻して次のように確かめます。

4x + 7y = 100 + 140k - 70 - 140k = 30
x - y = 35 + 55k = 5(7 + 11k)

両方の条件が成立するので、負の k も含めてすべて解です。たとえば k = 0 では (25, -10) となり、和や差の符号だけを見て除くことはできません。整数に正の制限は付いていないからです。

別解として x − y = 5s と置いて x = y + 5s を方程式に入れる方法もあります。ただし s と y は 11y + 20s = 30 を満たし、独立ではありません。この式も解けば同じ組に到達しますが、文字を二つ置いただけでは答えになりません。一般解から進めば自由に動く文字が一つであることを見失いにくくなります。

【例題3・難】整数 x, y が 5x + 8y = 41、x + 2y が 6 の倍数、さらに 0 ≦ x ≦ 40 を満たす。条件を満たす整数の順序対をすべて求めてください。

(5, 2) は方程式を満たし、5 と 8 は互いに素です。したがって整数 t を用いて、

x = 5 + 8t
y = 2 - 5t
x + 2y = 9 - 2t

追加条件を調べると、

9 - 2t ≡ 0 (mod 6)
2t ≡ 3 (mod 6)

左辺は偶数、右辺は奇数です。6 の倍数を加えても偶奇は変わらないので、この合同式を満たす整数 t はありません。よって範囲条件を調べる前に、答えは解なしと決まります。

範囲が付いているとすぐに x の値を並べたくなります。しかし、方程式と整除条件が両立しないなら、どの範囲を付けても解はありません。この例では 0 ≦ x ≦ 40 を使わなくても結論に達します。逆に整除条件を通る t がある場合は、不等式も必ず代入して調べます。条件を一つ使わなかった理由を説明できることと、条件を読み落とすことは違います。

約分と文字の独立性をどう直すか

例題1の 2t ≡ 3 (mod 4) を見て、2 で割って t ≡ 3 (mod 4) とする答案は誤りです。整数の合同式では、係数と法の共通因子が右辺も割る必要があります。この例では 2 が 3 を割らないため、割った式を作る前に解なしと判定します。

図3のように、まず最大公約数が右辺を割るかを調べます。割るときに限り、係数・右辺・法をそろえて割ります。たとえば 2t ≡ 2 (mod 4) なら t ≡ 1 (mod 2) です。法 4 のまま t ≡ 1 とすると t = 3 を落としますが、元の式では 2・3 − 2 = 4 なので成立します。

もう一つの誤りは、x = 3 + 5t と y = 2 − 3s と置き、t と s を独立に動かすことです。元の方程式に入れると 19 + 15(t − s) となり、t = s が必要です。独立に選べないという制約を明示し、共通の文字に戻してください。図3の判定は追加条件の処理で使い、文字の共有はその前の一般解の段階で確認します。

手を動かして確かめる5問

いずれも x, y は整数です。一般形を求める問題では、文字の範囲も示してください。

1. 【標準】2x + 3y = 13、x + y が 3 の倍数となる順序対をすべて一般形で求めてください。
2. 【標準】3x + 4y = 11、x − y が 2 の倍数となる順序対をすべて一般形で求めてください。
3. 【やや難】5x + 6y = 17、x + y が 2 の倍数となる順序対が存在するか判定し、理由を示してください。
4. 【やや難】3x + 7y = 20、x + y が 4 の倍数、0 ≦ x ≦ 30 を満たす順序対をすべて求めてください。
5. 【難】4x + 9y = 17、2x + y が 5 の倍数となる順序対をすべて一般形で求めてください。

答えと考え方

1. (2, 3) を基点にすると x = 2 + 3t、y = 3 − 2t です。和は 5 + t なので t ≡ 1 (mod 3)、すなわち t = 1 + 3k です。答えは (5 + 9k, 1 − 6k)、k は整数です。代入すると 2x + 3y = 13、x + y = 6 + 3k です。

2. (1, 2) を基点に x = 1 + 4t、y = 2 − 3t です。差は -1 + 7t なので t ≡ 1 (mod 2) です。t = 1 + 2k として、答えは (5 + 8k, -1 − 6k)、k は整数です。元の左辺は 15 + 24k − 4 − 24k = 11、差は 6 + 14k です。

3. (1, 2) を基点とすると x = 1 + 6t、y = 2 − 5t で、和は 3 + t です。偶数となるのは t が奇数のときです。たとえば t = 1 なら (7, -3) で、5・7 + 6・(-3) = 17、和は 4 です。したがって存在します。存在判定では一組を元の二条件に戻せば十分です。

4. (2, 2) を基点に x = 2 + 7t、y = 2 − 3t です。和は 4 + 4t で、任意の整数 t について 4 の倍数です。範囲を代入すると -2 ≦ 7t ≦ 28 なので t = 0, 1, 2, 3, 4 です。答えは (2, 2), (9, -1), (16, -4), (23, -7), (30, -10) です。それぞれの和は 4, 8, 12, 16, 20 であり、方程式は一般解への代入で確認できます。端点 x = 30 も含みます。

5. (2, 1) を基点に x = 2 + 9t、y = 1 − 4t です。追加条件は 5 + 14t ≡ 0 (mod 5)、つまり 4t ≡ 0 (mod 5) です。4 と 5 は互いに素なので t ≡ 0 (mod 5)、t = 5k です。答えは (2 + 45k, 1 − 20k)、k は整数です。代入すると 4x + 9y = 17、2x + y = 5 + 70k となり、両条件に戻ります。

各問の一般解が全解である理由は、基点との差について係数が互いに素であることから、x の差が y の係数の倍数となるためです。追加条件で得た t の範囲を逆に代入したので、候補の必要性と十分性の両方を確認しています。

練習4では範囲を処理する順番にも注目してください。x の範囲から t の範囲を求めるとき、7 は正なので不等号の向きは変わりません。端の値は整数に限る前の境界であり、その間にある整数を取り出します。逆に t から x へ戻した組では、x がもとの範囲に入ることも確認できます。範囲の端を含む記号を、途中で含まない記号に変えてしまうと、端の解が失われます。

練習5の最後では、5 が 4t を割ることから、互いに素な 4 と 5 の性質により 5 が t を割ります。合同式の係数を形式的に消すのでなく、この理由を添えると、係数と法が互いに素でない場合との違いが見えます。候補を絞る式は必要条件であり、最後に元へ戻すことで十分性を確かめます。

答案に残す四つの要点

• 一組の解との差から、共通の整数を使う一般解を導きます。
• 追加条件をその整数の合同式に直します。
• 共通因子による解なしと、法を含む約分を区別します。
• 候補を元の条件に戻し、必要性と十分性を確認します。

手が止まる行を見つける

一般解を作れたのに最後の組が合わないときは、まず二つの座標に同じ文字を使ったか、次に追加条件への代入で符号を保ったかを見ます。合同式が解けないときは、係数と法の最大公約数が右辺を割るかを確かめます。個別指導の場では、出来上がった答えだけでなく、一般解から追加条件へ移る一行と、任意の整数を戻す一行を示して説明してみてください。文字が自由に動ける範囲を言葉と式で結べば、全解の根拠が残ります。