大学入試数学 約数条件と大小評価—割り切れる数の上下限を組み合わせて候補を有限にする｜武蔵野個別指導塾

約数の範囲を商の範囲へ移し、端点と割り切れない候補まで点検する筋道をたどる約数の絞り込み。

よくあるのは、高校生が演習の解き直しで、約数の候補を無制限に試してしまう場面です。大きな数を前にすると、まず小さい整数から割り始めたくなります。しかし、問題が知りたいのは指定された区間の約数です。区間の反対側にある商に目を向けると、調べる範囲が短くなることがあります。どこで試行を止めてよいかを証明し、残った候補が元の条件を満たすことまで確かめましょう。

どの条件から調べ始めるか

正整数 N の約数 d について、ある区間に入るものを求める問題を考えます。ここで正整数とは 1 以上の整数です。d が N の約数であるとは、整数 q を使って N = dq と書けることです。N と d が正なので、この q も正整数です。q は N を d で割った商で、同時に N の約数でもあります。

出方には、区間内の約数を列挙する型、そのような約数が存在するかを判定する型、区間に入る約数の個数を求める型があります。いずれも最初に見るのは、端点を含むかどうかと、N が正かどうかです。例えば d > a なら d = a は除外します。d ≥ a なら端点も候補です。整数の範囲を書き直す際にこの差を消さないことが、漏れのない一覧への入口です。

約数の候補を小さい方から全部試しても、有限な上限を示せば正しい方法です。ただし区間が高い位置にあると、対応する商は小さくなります。両方の範囲を見比べ、短い方を調べれば計算を減らせます。どちらを選んでも、最後に元の約数の条件へ戻す必要があります。

約数と商の区間はどう対応するか

N を正整数、d をその正の約数とし、q = N/d とします。0 < a ≤ d ≤ b なら、正の数の逆数を取ると不等号の向きが変わるので、

1/b ≤ 1/d ≤ 1/a
N/b ≤ q ≤ N/a

となります。逆に、この商の不等式を満たす正の約数 q を取れば、d = N/q は整数で、もとの区間に戻ります。端点に等号がない場合は、逆数を取った後も対応する端で等号を付けません。分数の端点を整数に直すときは、例えば q ≤ 7/2 なら q ≤ 3、q > 7/2 なら q ≥ 4 です。

図1のように、約数の下限は商の上限に、約数の上限は商の下限に対応します。商の範囲を得ても、そこにある整数がすべて商になるとは限りません。q が N を割り切ることを確かめて初めて、d = N/q が整数になります。

図1の矢印は対応を示し、左右の大小順序が逆になることを表します。例えば N = 84 で 12 ≤ d ≤ 28 なら 3 ≤ q ≤ 7 です。この範囲の q は 3、4、5、6、7 ですが、5 は 84 を割り切りません。商から得る約数は 28、21、14、12 です。範囲の中の整数を並べる作業と、整除性を確かめる作業は別です。

一般に a ≤ d ≤ b は必要条件を生みますが、商の範囲だけでは十分ではありません。整数 q が範囲内にあり、さらに N = dq となる整数 d が得られることが必要です。範囲を絞る式が「解なら必ず満たす」方向なのか、「その条件なら必ず解になる」方向なのかを区別して書くと、答案の最後が明確になります。

基本例題：商を小さい範囲に集める

【基本・標準】正整数 180 の正の約数 d のうち、30 ≤ d ≤ 70 を満たすものをすべて求め、整数を小さい順に書いてください。

q = 180/d とおきます。d は正の約数なので q は正整数です。不等式から、

30 ≤ d ≤ 70
180/70 ≤ q ≤ 180/30
18/7 ≤ q ≤ 6

q は整数なので候補は 3、4、5、6 です。図2のように、それぞれを 180 で割り切れるか調べます。ここでは 4 個とも割り切れ、対応する d は順に 60、45、36、30 です。

図2の対応を小さい順に並べ直すと、答えは 30、36、45、60 です。各数は指定区間にあり、対応する商との積が 180 です。これで候補が条件を満たすことも確認できます。

直接 d を 30 から 70 まで調べても解けますが、その場合は 41 個の整数について整除を判定することになります。商なら 4 個です。商の上限 6 は、d の下限が正であることから得られます。上限の根拠を書かず、たまたま 6 まで試すだけでは、7 以上に候補がない理由を示せません。

端点と整除をどう組み合わせるか

【標準例題・やや難】正整数 252 の正の約数 d のうち、18 < d ≤ 50 を満たすものをすべて求め、整数を小さい順に書いてください。

q = 252/d は正整数です。端点の等号に注意して商の範囲を求めます。

18 < d ≤ 50
252/50 ≤ q < 252/18
126/25 ≤ q < 14

よって q は 6 以上 13 以下です。252 の各候補による割り算を調べると、6、7、9、12 は割り切れ、8、10、11、13 は割り切れません。対応する d は 42、36、28、21 です。したがって答えは 21、28、36、42 です。18 は 252 の約数ですが、下限が厳しい不等号なので含みません。対応する q = 14 を商の側でも除いています。

商を先に調べたのは、d の候補が 19 から 50 の 32 個であるのに対し、q の候補が 8 個だからです。別の方法として 252 の正の約数をすべて列挙し、区間で選ぶこともできます。ただし約数一覧自体の漏れを別途防ぐ必要があります。区間が高いときは、商の上限を出す方法が一覧を短くしやすいです。

【発展例題・難】正整数 360 の正の約数 d で、20 < d < 40 を満たすものの個数を求めてください。個数は整数で答えてください。

q = 360/d とおくと、q は正整数で、

20 < d < 40
360/40 < q < 360/20
9 < q < 18

です。q の候補は 10 から 17 までです。このうち 360 を割り切るものは 10、12、15 です。11、13、14、16、17 では割り切れません。対応する d はそれぞれ 36、30、24 で、いずれも 20 より大きく 40 より小さいので、答えは 3 個です。

個数を商の個数で数えてよいのは、異なる商が同じ約数に対応しないからです。実際、N/q₁ = N/q₂ なら、正の q₁、q₂ を掛けて Nq₂ = Nq₁ となり、N は非零なので q₁ = q₂ です。また条件を満たすすべての d から q = N/d が得られます。この両方向を押さえることで、商の一覧の個数と求める個数が一致します。

大小評価だけで区間の整数を数える方法は、割り切れない候補も含めるため使えません。一方、商が 1 から上限までのすべての整数を調べる方法は正しいものの、下限を使えばさらに短くなります。区間が空なら候補はありませんが、区間に整数があっても、そのどれも N を割らなければ答えは 0 個です。この 2 種類の不成立は理由を分けて書きます。

範囲に入っただけで答えにしていないか

次の誤答を見てください。正整数 210 の正の約数 d について、30 < d ≤ 50 を満たすものを求める場面です。

「q = 210/d とすると 4.2 ≤ q < 7 だから、q = 5、6。よって d = 42、35。さらに q = 7 から d = 30 も答えに入る。」

前半の 2 個は正しいものの、最後に端点を戻してしまいました。d > 30 は q < 7 に対応するので、q = 7 は除外します。図3のように、等号を含む側と含まない側を対応させれば、除外の理由が見えます。

図3で残る q = 5、6 はともに 210 を割り切り、d = 42、35 は元の範囲にも入ります。したがって正しい答えは小さい順に 35、42 です。端点の値が約数だからといって、問題の不等号を変更することはできません。

別の失敗は、商が整数の範囲にあるだけで、N を割り切ると見なすことです。候補 q から d を作るとき、割り算の余りが 0 でないなら、その q は除外します。また、負の数や 0 を含む問題に同じ不等式を無条件で適用することもできません。今回の逆数の操作は d と端点が正であることに支えられています。条件が異なるときは符号や 0 を先に分けます。

自分で候補を尽くす5問

いずれも正整数の正の約数を扱います。列挙問題は整数を小さい順に書き、個数は整数で答えてください。

1. 【標準】168 の約数 d で 24 ≤ d ≤ 60 を満たすものをすべて求めてください。
2. 【標準】144 の約数 d で 16 < d ≤ 48 を満たすものをすべて求めてください。
3. 【やや難】198 の約数 d で 30 ≤ d < 70 を満たすものをすべて求めてください。
4. 【やや難】100 の約数 d で 21 ≤ d ≤ 24 を満たすものの個数を求めてください。
5. 【難】420 の約数 d で 35 < d < 85 を満たすものの個数を求めてください。

解答と確かめ

1. q = 168/d とすると、168/60 ≤ q ≤ 168/24 なので、整数 q は 3 から 7 です。このうち 168 を割るものは 3、4、6、7 で、対応する d は 56、42、28、24 です。答えは 24、28、42、56 です。各数と対応する商の積は 168 で、端点も含む区間に入ります。

2. q = 144/d とすると、3 ≤ q < 9 です。3 から 8 のうち 144 を割るのは 3、4、6、8 で、対応する d は 48、36、24、18 です。答えは 18、24、36、48 です。d = 16 に対応する q = 9 は除外され、各答えは 16 を超えます。

3. q = 198/d とすると、198/70 < q ≤ 198/30 です。整数候補は 3、4、5、6 で、割り切れるのは 3、6 です。対応する d は 66、33 なので、答えは 33、66 です。33・6 = 198、66・3 = 198 であり、両方とも 30 以上 70 未満です。

4. q = 100/d とすると、100/24 ≤ q ≤ 100/21 です。この区間に整数はありません。よって答えは 0 個です。区間自体には 21、22、23、24 という整数がありますが、約数に対応する商の整数が存在しないので、いずれも条件を満たしません。

5. q = 420/d とすると、420/85 < q < 12 です。整数候補は 5 から 11 で、420 を割るのは 5、6、7、10 です。対応する d は 84、70、60、42 で、いずれも 35 を超え 85 未満です。答えは 4 個です。q = 12 に対応する d = 35 は端点のため含めません。

候補が残らないときの説明

商の範囲を出した後、答えが見つからない理由には段階があります。まず、商の範囲に整数がない場合です。例えば正整数の商が 5 より大きく 6 より小さいと要求されれば、その間に整数はありません。この段階で整除を調べる必要はなく、約数も存在しないと結論できます。ただし、端点を含む条件なら 5 や 6 が候補になるので、不等号を確認してから整数の有無を判定します。

次に、商の範囲に整数があっても、どの整数も割り切れない場合です。例えば 91 の正の約数 d に 20 ≤ d ≤ 30 を求めると、商 q は 91/30 以上 91/20 以下です。整数候補は 4 だけですが、91 を 4 で割ると余りは 3 です。したがって該当する約数はありません。範囲の整数があることは、解の存在を意味しないとわかります。

商を数えるとき、同じ値を二度数えない理由も確認しましょう。正の約数 d を決めれば q = N/d は一意に定まり、正の約数 q を決めれば d = N/q も一意に定まります。したがって対応表の左右は重複なく結ばれます。途中で約数と商の両方を混ぜて数える必要はありません。範囲を満たす側を固定し、対応する片側の個数を数えます。

答案に残す要点

• 正の約数 d に対応する正整数の商 q = N/d を置きます。
• d の上下限を逆向きにして q の範囲を出し、端点の等号を保ちます。
• 商の範囲の整数を尽くし、N を割り切れるものを選びます。
• d に戻して元の条件を確認し、求める順序や個数で答えます。

候補が多くて止まる場合は、個別指導の場でまず「d がこの下限以上なら q はどこまでか」を式にしてみます。範囲は出せるのに答えが増える場合は、範囲内の整数と実際の約数を区別できているかを確認します。端点を誤る場合には、等号を代入して元の不等式が成立するかを調べます。商の上限を根拠にすれば、試行を終える位置まで答案に示せます。計算が合っていても、候補を尽くした理由が書かれていなければ、他の約数がないことは伝わりません。最後に範囲と割り算の両方を見直しましょう。