高校情報I 相関係数の計算—平均との差から求める値と散布図の傾向を照合する｜武蔵野個別指導塾

偏差積の表から照明時間と発芽数の関係を計算し、単位変更や外れ値の影響を読み解く鍵は相関係数です。

よくあるのは、散布図の点が急な右上がりに並んでいるほど、相関係数も大きいと高校生が考える場面です。縦軸の単位を変えると見かけの傾きは変わりますが、点の直線へのまとまり方は変わりません。照明時間と発芽数の学習用データを組にして、平均との差からその違いを確かめます。

出方には、元の表から係数を計算する型、単位を変えた表と比較する型、計算結果と散布図から言える範囲を説明する型があります。どの場合も、まず同じ行の2つの値が同じ対象の組であることを確かめます。

平均を中心に組を見直す

照明時間を x 時間、発芽数を y 個とします。各行は1つの容器についての組です。以下の数値は計算を学ぶために作った条件で、実際の栽培の記録ではありません。発芽数は観察対象とした種の数を超えないよう、各問題で対象数を決めます。照明以外の条件は与えられた範囲しかわからないので、計算から照明が発芽を起こしたと結論することはできません。

x の平均を x̄、y の平均を ȳ と書きます。それぞれの値から同じ列の平均を引いたものが偏差です。x の偏差と y の偏差を同じ行で掛けた値が偏差積です。両方が平均より大きい行、または両方が平均より小さい行では偏差積は正になります。一方が平均より大きく他方が小さい行では負になります。各列を別々に並べ替えてから掛けると、容器の対応が壊れて別の計算になるため、行を保ちます。

図1のように、正の偏差積が多く合計も正なら、平均より大きい値同士、小さい値同士が組になる傾向が計算に表れます。負なら反対向きの傾向です。ただし正負の数だけでなく、それぞれの大きさも合計に効きます。

図1の中心は2つの平均の組です。横と縦の片方でも偏差が0なら、その行の偏差積も0です。元の値が0であることと、偏差が0であることは別なので、引き算の前後を区別しましょう。

データの組が n 個のとき、共分散は偏差積の合計を n で割った値です。各列の分散は偏差の二乗和を n で割って求めます。その分散の平方根のうち0以上の値を標準偏差とし、全ての値が等しい列では0になります。相関係数 r は次のように求めます。

r = 共分散 / (x の標準偏差 × y の標準偏差)

同じ n で割ることから、計算途中では次の形も使えます。Σ は対応する行について合計する記号です。

r = Σ[(x − x̄) × (y − ȳ)] / √(Σ[(x − x̄)²] × Σ[(y − ȳ)²])

この値は -1 以上 1 以下です。1 に近いほど右上がりの直線に、-1 に近いほど右下がりの直線に点がまとまります。0 に近いと直線的な関係は弱いものの、曲線の関係がないとは言えません。係数が大きいという表現は符号つきの大小と強さを混同しやすいため、負の場合は絶対値も見て方向を添えます。

一方の列の値が全部同じなら、その分散と標準偏差は0です。分母が0になるので相関係数は定義できません。計算機に0が表示されたとしても、欠けた値の扱いや計算方法を点検します。値が欠損した行は勝手に0へ置き換えず、組として使えるか問題の条件を確認します。

基本例題：偏差積の表を作る

同じ種類の種を各容器に10個ずつ入れたとします。4容器の照明時間 x と発芽数 y の組を、順に (1, 2)、(2, 4)、(3, 3)、(4, 5) とします。時間の単位は時間、数の単位は個です。相関係数を分数で求め、散布図の傾向を述べてください。欠損はなく、分散と共分散は4で割ります。

x の合計は10、平均は 10 / 4 = 2.5 時間です。 y の合計は14、平均は 14 / 4 = 3.5 個です。 偏差積の合計は 2.25 − 0.25 − 0.25 + 2.25 = 4 です。 x の偏差の二乗の合計は5、y も5です。 共分散は 4 / 4 = 1 です。 両方の分散は 5 / 4、標準偏差はそれぞれ √(5 / 4) です。 したがって r = 1 / (5 / 4) = 4 / 5 です。

図2のように、点はおおむね右上がりですが、B と C の間では x が増えて y が減っています。1本の直線上に全点があるわけではないことと、係数が1より小さいことが対応します。

図2の各点を元表へ戻すと、横軸が1、2、3、4の位置に対応する縦の値は2、4、3、5です。どの発芽数も条件の10個以下です。偏差を平均に戻しても、例えば B は 2.5 − 0.5 = 2 時間、3.5 + 0.5 = 4 個と元の組に戻ります。係数の計算だけでなく、表から点を作る段階も検証できました。

標準例題：時間の単位を変える

基本例題と同じ4組について、照明時間を分で表してください。1時間を60分とし、発芽数は個のままです。変換後の組と相関係数を分数で示し、傾きとの違いを説明します。

時間を60倍すると、組は (60, 2)、(120, 4)、(180, 3)、(240, 5) です。 時間の平均は 600 / 4 = 150 分です。 時間の偏差は順に -90、-30、30、90 分です。 発芽数の偏差は順に -1.5、0.5、-0.5、1.5 個です。 偏差積の合計は 135 − 15 − 15 + 135 = 240 です。 時間の偏差の二乗の合計は 8100 + 900 + 900 + 8100 = 18000 です。 発芽数の偏差の二乗の合計は5のままです。 r = 240 / √(18000 × 5) = 240 / 300 = 4 / 5 です。

各時間を60で割ると元の1、2、3、4時間に戻り、各行の発芽数も変わりません。横軸を時間から分にすると、同じ2点間の縦の増加量を横の増加量で割った傾きは60分の1になります。しかし、偏差積と標準偏差の積も同じ倍率で変わるため、係数は変化しません。縦軸の単位を正の倍率で変えた場合も同様です。軸の描き方による見た目の急さと、数値としての直線的なまとまりは分けて読みます。

正の倍率ではなく符号を反転させる変換なら、偏差積の符号が反転し、係数の符号も反転します。単位変更という言葉だけで機械的に処理せず、各値にどんな変換をしたかを確かめます。

発展例題：1組の追加と計算不能の境界

各容器に10個の種を入れた別の学習用データとして、(照明時間, 発芽数) が (1, 2)、(2, 4)、(3, 6) の3組を考えます。ここに (4, 2) を1組追加した場合と追加前について、相関係数をそれぞれ求めてください。答えは根号を使って正確に示します。また、追加した組の影響と、その記録をどう扱うかを述べます。

追加前の平均は x が2、y が4です。 x の偏差は -1、0、1、y の偏差は -2、0、2 です。 偏差積の合計は4、偏差の二乗の合計は x が2、y が8です。 r = 4 / √(2 × 8) = 1 です。

追加後の平均は x が 10 / 4 = 2.5、y が 14 / 4 = 3.5 です。 x の偏差は -1.5、-0.5、0.5、1.5 です。 y の偏差は -1.5、0.5、2.5、-1.5 です。 偏差積は 2.25、-0.25、1.25、-2.25 で、合計は1です。 x の偏差の二乗の合計は5、y は 2.25 + 0.25 + 6.25 + 2.25 = 11 です。 r = 1 / √55 です。

追加後の各偏差に平均を戻すと、4組とも問題の値になります。追加した発芽数2個も対象の10個以下です。右端の点がそれまでの右上がりの並びから離れ、係数は1から小さくなりました。この例は1組が結果を大きく変えることを示しますが、離れた値だから誤りだとは決まりません。記録や条件を確かめ、誤記があれば根拠を残して直し、正しい記録なら残した結果と影響を説明します。見栄えを理由に消すと、元の条件に戻して確かめられなくなります。

もし追加後の4組で照明時間がすべて同じだったら、x の偏差はすべて0、分散も0です。この場合は分母が0なので値を求められません。データの組が不足したり、片方が欠けたりする場合も、使える組と条件を確認してから判断します。0を答えとして埋めるのではなく、定義できない理由を示します。

急な傾きを大きな係数とする誤答を直す

図3のように、2つの表の点を比べます。左は (1, 1)、(2, 2)、(3, 3)、右は (1, 2)、(2, 4)、(3, 6) です。どちらも各容器に10個の種を入れた学習用の組で、横は照明時間、縦は発芽数です。右の直線の傾きは左の2倍です。

誤答は「右の傾きが2倍なので、右の相関係数も2倍」です。図3では右の点がより急に上がりますが、どちらも右上がりの直線上にぴったり並んでいます。左の平均は (2, 2)、偏差は両列とも -1、0、1 です。偏差積の合計は2、二乗の合計は両列とも2なので、係数は 2 / √4 = 1 です。

右の平均は (2, 4)、x の偏差は -1、0、1、y の偏差は -2、0、2 です。偏差積の合計は4、二乗の合計は2と8なので、係数は 4 / √16 = 1 です。各偏差に平均を戻すとそれぞれ元の3組に一致します。修正した答えは「傾きは異なるが、どちらの相関係数も1」です。

係数が同じでも数値の増え方は同じとは限りません。また、この例では係数が1でも、照明を増やせば発芽数が必ず増えるとは言えません。照明以外の条件や組の選び方がわからないためです。表の対応、点の並び、係数の順に確かめると、傾きと相関の取り違えを見つけられます。

練習：5つの表を調べる

以下の発芽数の問題は各容器の種を10個とした学習用データです。欠損はないものとし、分散と共分散は組の数で割ります。途中で丸めず、係数は分数または根号を使って正確に答えてください。

1. 照明時間と発芽数の組が (1, 6)、(2, 4)、(3, 2) です。平均、偏差積の合計、相関係数と方向を求めてください。
2. 組が (2, 1)、(4, 3)、(6, 2) です。照明時間を分に直した組と、変換前後の相関係数を求めてください。1時間は60分です。
3. 組が (1, 2)、(2, 1)、(3, 2) です。相関係数を求め、0という結果だけから無関係と判断できるか説明してください。
4. 組が (2, 1)、(2, 3)、(2, 5) です。相関係数を計算できるか、その理由を答えてください。
5. 表の3組が A: (1, 1)、B: (2, 3)、C: (3, 2) です。誤って発芽数の列だけを昇順に並べ替えた表を、元の対応に修正してください。修正前後の係数も求めて、違いを説明してください。

練習の答えと照合

1

平均は x が2時間、y が4個です。x の偏差は -1、0、1、y の偏差は2、0、-2です。偏差積の合計は -2 + 0 − 2 = -4、偏差の二乗の合計はそれぞれ2と8です。r = -4 / √16 = -1 で、右下がりの直線上にあります。平均へ偏差を戻すと (1, 6)、(2, 4)、(3, 2) となり、各発芽数も10個以下です。

2

分に直した組は (120, 1)、(240, 3)、(360, 2) です。元の平均は (4, 2)、x の偏差は -2、0、2、y の偏差は -1、1、0です。偏差積の合計は2、二乗の合計は8と2なので、r = 2 / √16 = 1 / 2 です。変換後は x の偏差が -120、0、120 となり、偏差積の合計は120、x の二乗の合計は28800です。r = 120 / √(28800 × 2) = 1 / 2 です。分を60で割れば各時間が元に戻り、発芽数の対応も保たれています。

3

平均は (2, 5 / 3) です。x の偏差は -1、0、1、y の偏差は 1 / 3、-2 / 3、1 / 3 です。偏差積の合計は -1 / 3 + 0 + 1 / 3 = 0 です。両方の分散は0ではないので、係数は0です。発芽数は時間が2のとき低く、両端で高い並びです。直線的な関係が0でも曲線的な並びがあるため、無関係とは判断できません。平均と偏差から3組を復元すると元の値に戻ります。

4

照明時間の平均は2時間で、3つの偏差は0です。x の分散と標準偏差が0なので、係数は定義できません。発芽数の平均は3個で、偏差は -2、0、2 です。平均を戻すと1、3、5個となり、発芽数が変化していても時間側の分母が0であることは変わりません。0と答えるのは、定義できる場合の係数0と区別できなくなる誤りです。

5

誤った表は A: (1, 1)、B: (2, 2)、C: (3, 3) です。元表と照合し、B の発芽数を3、C を2に戻します。A はそのままです。誤った表の両列の平均は2、偏差積の合計は2、二乗の合計は各2で、係数は1です。

修正後の平均も両列とも2です。x の偏差は -1、0、1、y は -1、1、0なので、偏差積の合計は1です。両列の偏差の二乗の合計は2ですから、r = 1 / 2 です。各行へ平均を戻すと A、B、C の元の組を再現します。列ごとの値や平均が変わらなくても、対応が変わると偏差積と係数が変わります。

覚えておくこと

• 同じ行の偏差を掛け、標準偏差の積で共分散を割ります。
• 正負は方向、絶対値は直線的なまとまりの強さを表します。
• 片方の分散が0なら係数は定義できません。
• 係数0でも曲線的な関係はありえます。相関は因果を証明しません。
• 単位変更や外れた点の影響を元の組と散布図へ戻して確かめます。

つまずきの位置を見分ける

平均は合っているのに係数が合わない場合は、各行の偏差積を元の組へ戻して照合します。負の偏差を掛ける符号の誤りと、片方の列だけを並べ替えた誤りは、合計だけを見ても区別しにくいためです。個別指導では、まず1行の値から偏差を作り、平均を足して元に戻せるかを確認します。

計算結果は合うのに説明がずれる場合は、傾きと点のまとまりを別々に言葉にします。分母が0の場合や係数が0の場合にも散布図と条件へ戻ると、数値の意味と限界を読み分けられます。照明時間と発芽数の組を保つことが、相関係数の出発点です。