高校情報I 音の標本化—測る間隔と回数を対応させて時間方向の細かさを読む｜武蔵野個別指導塾

呼出音の標本時刻を並べ、終点を含む場合と除く場合の点の数を比べます。周期を逆算するときは、点の間隔を数え直しましょう。

よくあるのは、高校生が短い呼出音を記録するとき、開始時刻と終了時刻の両方に標本点を置くものだと、条件を読まずに数える場面です。同じ長さの音でも、終了時刻の点を含めるかどうかで、書き出す点の個数は変わります。時間軸に点を置き、点と点の間の数を区別すれば、その違いを説明できます。

問題の条件をどこから読むか

出題の1つは、標本化周期から標本化周波数を求め、一定時間に置く点を数える型です。周期は隣り合う測定時刻の間隔、周波数は1秒当たりの測定回数です。単位を秒にそろえて逆数を取ります。その後は、区間の始点と終点の扱いを確認します。

もう1つは、標本点の個数や時刻から周期を逆算する型です。始点と終点に点がある場合、点の個数より間隔の個数が1少なくなります。開始時刻に点を置き、終点を含めず、区間の長さが周期の整数倍なら、区間を埋める等しい間隔の数と標本点の数は一致します。整数倍でない場合は、最後の点から終点までの長さが周期と異なるので、候補時刻を並べて数えます。図を描かずに同じ式を当てはめると、この違いを取り逃がします。

さらに、周期を変えた2通りの記録を比較する問いもあります。点が細かい時間間隔で並ぶことと、各点の値を細かい段階で表すことは別です。前者が標本化、後者が量子化に関わります。点が増えても、元の音が必ず完全に戻ると結論することはできません。測っていない時刻の変化や、値の記録方法も考える必要があるからです。

時間の区切りと測定の回数

音は空気の振動として伝わり、その変化を電気信号などとして扱えます。連続的に変わる信号の値を一定の時間間隔で取り出すことを標本化といいます。取り出した時刻が標本点です。点は時間軸上の位置であり、その時刻で取り出す振幅の値と区別します。

標本化周期を T 秒、標本化周波数を f Hz とすると、f = 1 / T、T = 1 / f です。Hzは1秒当たりの回数を表します。例えば周期が0.25秒なら1秒に4回の間隔があり、周波数は4 Hzです。逆に8 Hzなら周期は0.125秒です。これらは考え方を追うための自作の条件で、実際の録音の設定値を示すものではありません。

図1のように、標本化ではまず測定時刻を決め、その時刻ごとの値を取り出します。量子化は取り出した値を決められた段階に対応させる操作です。符号化はその結果を記録用の符号で表す操作です。順序と役割を分けると、時間の間隔を変えたのか、値の刻みを変えたのかを判断できます。

図1の各段階は役割が異なります。周期を短くすれば、同じ時間の中で取り出す時刻の間隔が狭くなります。ただし、振幅の段階の数を増やしたことにはなりません。逆に振幅の段階を増やしても、測っていない時刻が新たに測定されるわけではありません。

端点の規則は別に確認します。開始時刻を0秒とし、周期Tごとに測るなら、候補の時刻は0、T、2Tと続きます。終点を含まない区間では、終了時刻と等しい点を採りません。終点を含む区間では、終了時刻が測定時刻に一致する場合、その点も採ります。一致しない場合は、終点を含むと書かれていても終点自体が標本点になるわけではありません。

例えば、0秒から1秒未満までを0.4秒ごとに測ると、時刻は0、0.4、0.8秒です。1を0.4で割った商は整数ではありませんが、点は3個です。時間を周期で割った値をいつでもそのまま個数とする方法は使えません。まず候補時刻を並べ、区間の条件を満たす最後の点を探します。

基本例題: 呼出音の終点を扱う

短い呼出音を0秒から2秒未満まで記録します。0秒から0.5秒ごとに標本を取り、2秒の点は取りません。標本化周波数をHzで、標本点の時刻を秒で、点の個数を整数で求めてください。値は自作の問題条件です。

周期は0.5秒なので、周波数は1 / 0.5 = 2 Hzです。図2のように0秒から0.5秒ずつ進めると、0、0.5、1、1.5秒に点があります。次の2秒は指定された区間の外なので数えません。答えは2 Hz、時刻は0、0.5、1、1.5秒、個数は4個です。

図2では終点の白い丸を数に入れません。4個の点からそれぞれ次の時刻まで0.5秒ずつ進むと、最後に2秒へ着きます。したがって4個の間隔で2秒という元の条件に戻せます。最後の点が2秒より前であることも、条件への戻し方の一部です。

もし同じ開始点と周期のまま、2秒の点も採る条件に変えれば、2秒にもう1点加わり5個です。このときも間隔は4個で、5個ではありません。2通りを比較すると、周波数が変わらなくても端点の扱いで数え上げの答えが変わることが見えます。

実際の記録では、開始時刻や記録の切り方が問題の設定と異なることがあります。ここでは時刻0から周期を刻むという条件を明示しました。時刻の基準が不明なまま、長さと周波数だけで点の配置を決めたつもりにならないようにします。

測定点の値が同じでも、点と点の間で信号がどのように動いたかは別の問題です。点を直線で結んだ図は変化を考えるための表現であり、元の波形を完全に示す保証ではありません。問題文が与えるのが時刻なのか振幅なのかを見分け、与えられていない形を勝手に確定しないことも大切です。

標準例題: 点から間隔を逆算する

ある合図の波形を0秒から3秒まで記録し、両端を含めて等間隔に7個の標本点を置きました。周期を秒、周波数をHzで求めてください。両端は標本点であり、間隔はすべて等しいという自作の条件です。

7個の点の間には6個の間隔があります。3秒を6等分すると周期は0.5秒です。周波数はその逆数の2 Hzです。答えを戻すと、時刻は0、0.5、1、1.5、2、2.5、3秒となり、両端を含む7個です。7で割ってしまうと、7個の点を置いた最後の時刻は3秒に届かず、終点の条件を満たせません。

この例の7という数字は点の数です。点と点の間を数える際に、その数字を何に使うかが重要です。両端を含む等間隔の点がN個なら、Nが2以上のとき区間の内部の間隔はNから1を引いた個数です。点が1個しかない場合、隣り合う点がないため、その情報だけから周期を決められません。

発展例題: 終点が測定時刻に一致しない場合

別の通知音を0秒から1.1秒まで、両端を含む区間で扱います。0秒を最初として0.3秒ごとに標本を取ります。標本点の時刻を秒で列挙し、個数を整数で求めてください。また、終点を含まない区間へ変更した場合の個数も答えてください。

候補時刻は0、0.3、0.6、0.9、1.2秒と続きます。1.2秒は1.1秒を超えるため、区間内の時刻は0、0.3、0.6、0.9秒で、4個です。1.1秒は候補時刻ではないので、終点を含まない条件に変えても4個です。含める規則は、存在する点を採るかどうかを決めるもので、終点に新しい測定時刻を自動的に作る規則ではありません。

確かめると、最後の0.9秒は1.1秒以下で、次の1.2秒は1.1秒を超えています。開始点から最後の点までの3個の間隔も、0.3秒を3回進んだ0.9秒です。どちらの端点規則でも同じ結果になる理由を、最後と次の候補時刻を使って説明できます。

周期を変えて比べる場合も、同じ手順を使います。点が増えたら、時間方向により細かく変化を調べる材料が増えます。しかし、点の間にある波形の形は、その点の値だけでは一意に決まるとは限りません。標本化定理の証明や実際の録音規格の値はここでは扱わず、与えられた条件から時刻と個数を追います。

誤答の原因を点と間隔に戻す

基本例題で「2秒に2 Hzを掛けて4個、両端を必ず加えて5個」と答えた場合、最初の4という値は半開区間の点の数と一致しますが、終点を含まないという条件に反して1点を加えています。図3のように、まず終点が採用されるかを確認し、採らない点を取り除きます。

図3は、終点を無条件に加える誤りから、終点を採らないという条件へ戻る流れです。2秒の点が標本の候補にはなっていても、条件で除外されることが修正の理由です。4個という答えに直すだけでなく、0、0.5、1、1.5秒という時刻の列を添えると、なぜ4個なのかが伝わります。

反対に、両端を含む標準例題で7個の点を7個の間隔とする誤りもあります。最初の点の前に余分な間隔を作っていないか確認します。線分に点を描き、隣り合う点を線で結ぶと、間隔は6個と数えられます。点の数と間隔の数は、同じ図から別々に数えてください。

周波数と周期を同じ数値として扱う誤りにも注意します。周期が長いほど測定の間は空くので、1秒当たりの回数は少なくなります。計算結果がこの大小関係に合わないときは、逆数と単位を確認します。Hzの数をそのまま秒と書いていないかも点検の手掛かりです。

練習問題

以下の時刻と周期は学習用の自作条件です。各問では0秒を最初の測定時刻とし、指定された周期で等間隔に測ります。個数は整数、時刻と周期は秒、周波数はHzで答えてください。

1. 時計の合図を0秒から3秒未満まで、周期0.75秒で測ります。周波数を分数で、標本点の時刻と個数を求めてください。
2. 校内放送の合図を0秒から2.5秒まで、両端を含めて等間隔に6点で測りました。周期と周波数を求めてください。
3. 鳴り物の記録を0秒から1秒まで両端を含め、周期0.4秒で測ります。点の時刻と個数を求め、終点を含まない場合との差を説明してください。
4. 別の信号を0秒から4秒未満まで、周期1秒で測った案Aと、周期0.5秒で測った案Bを比べます。それぞれの点の個数と周波数を求め、時間方向の細かさの違いを説明してください。
5. 音の区間の長さが2秒、周波数が3 Hzという情報だけを受け取りました。0秒を最初の点として、終了時刻を含むか否かが示されていないとします。2通りの標本数を求め、相手に確認すべき条件を述べてください。

練習の答えと確かめ方

1. 周波数は4/3 Hzです。時刻は0、0.75、1.5、2.25秒で4個です。次の3秒は含めません。4回分の0.75秒は3秒なので区間の長さに戻り、最後の点も終点より前です。

2. 両端を含む6点の間には5個の間隔があるので、周期は2.5 / 5 = 0.5秒、周波数は2 Hzです。0、0.5、1、1.5、2、2.5秒と戻せば、6点で最後が指定された終点です。

3. 時刻は0、0.4、0.8秒で3個です。次の1.2秒は区間外です。1秒は測定時刻に一致しないので、終点を含まない場合も3個です。0.8秒の次が1.2秒であることから、見落とした区間内の点がないと確かめられます。

4. 案Aは0、1、2、3秒の4個で1 Hzです。案Bは0、0.5、1、1.5、2、2.5、3、3.5秒の8個で2 Hzです。それぞれ最後の次の候補が4秒となり、終点は含みません。案Bは点の間隔が半分なので、時間方向に細かく測ります。振幅の量子化の段階数については、この条件から比較できません。

5. 周期は1/3秒です。終点を含まないとき、0から5/3秒までの6点です。終点を含むときは2秒の点も加えて7点です。6個の間隔を1/3秒ずつ進むと2秒になり、両端を含む場合はその間隔の両側に7点が並びます。終了時刻の点を記録対象に含めるかを確認します。開始時刻を最初の測定点とする条件も、現実の別の記録に適用するときは確認が必要です。

覚えておくこと

• 標本化周期は隣接する測定時刻の間隔、周波数は1秒当たりの回数です。
• 秒とHzで表すと、周期と周波数は互いに逆数です。
• 点と間隔を区別し、始点と終点の条件を先に読みます。
• 終点が測定時刻に一致しないなら、終点を含めても点は増えません。
• 時間方向の細かさと振幅の段階の細かさは別です。

つまずいた位置を見分ける

個別指導では、まず答案に時刻の列を書いてもらい、最初と最後の点が問題の区間に入っているかを確かめます。列は正しいのに個数が違えば数え上げ、列の間隔が違えば周期と周波数の変換、最後の点だけが違えば端点の読み取りが確認箇所です。逆算では点と間隔を別の印で数え、答えの周期から元の終点へ戻れるかを説明してもらいます。条件を時間軸へ戻す習慣が、標本数の判断を支えます。