高校政治・経済 債券価格と利回り—固定した利払いと売買価格の関係を計算する｜武蔵野個別指導塾

固定利付債の年額を額面から求め、購入価格を分母にした直接利回りと満期までの損益を別々に計算します。

よくあるのは、高校生が債券の売買価格が変わると利払い額も変わると考える場面です。価格が下がると、購入した人の支出に対する利息の割合は上がります。しかし、その債券にあらかじめ定められた利払いまで自動的に増えるわけではありません。

債券は、発行者がお金を借り、定められた条件に従って利息や元本を支払う証券です。債券を途中で売買する場合、発行時に決めた条件と、その時点の売買価格を分けて読みます。以下は学習用に作った固定利付債の条件であり、実際の商品や利率を示すものではありません。

どのように問われるか

第1の型は、額面と表面利率から年間の利払額を求める問題です。額面は償還時の支払額の基礎となる金額で、表面利率の分母です。購入価格が変わっても、額面と表面利率を固定した債券の年間利払額は変わりません。

第2の型は、その利払額を購入価格で割って直接利回りを求める問題です。同じ年額を別の価格で買った場合、分母が小さい方が直接利回りは高くなります。表面利率と直接利回りは、分子が同じでも分母が違う割合です。

第3の型は、償還まで保有した結果を比較する問題です。購入価格と償還額の差も受取総額に影響します。直接利回りの大小だけを見て、保有期間全体の収益を決めたつもりになると、購入時の価格差を見落とします。

利払いを決める条件と価格を分ける

額面を100,000円、表面利率を年4%とする固定利付債を考えます。利息は年1回、毎年同じ額が支払われ、満期には額面どおり100,000円が償還されるという教材の条件です。税金、手数料、支払いの遅れは考えず、利払い直後に購入します。

年間利払額は100,000円の4%なので4,000円です。額面と表面利率が同じなら、購入価格が変わってもこの4,000円は変わりません。価格が額面と一致するとは限らず、売り手と買い手の取引によって額面より高くも低くもなりえます。

図1のように、額面を使って年額を出した後、何の割合を問われているかで分母を選びます。表面利率は年額を額面で割った割合、直接利回りは年額を購入価格で割った割合です。いずれも年あたりの割合として100を掛けて%で表します。

図1の矢印は、購入価格から利払額が決まるという意味ではありません。固定された年額を、購入価格と比べる順序を表しています。たとえば額面より低い価格で買うと、同じ年額が小さい支出に対して占める割合は大きくなります。

直接利回りは年利払額/購入価格であり、償還時に生じる差額を含みません。額面どおり償還されるなら、償還差損益は償還額から購入価格を引いた額です。満期前に売却する場合は償還額ではなく売却価格との差を考えますが、その価格は売る時点になるまでこの条件からは決まりません。

債券価格は将来の支払いへの見方にも左右されます。たとえば他の条件が一定で、約束された支払いを受け取れないおそれが高いと買い手が判断すれば、同じ価格では買いにくくなり、価格が下がる方向に働きえます。ただし、そのおそれ以外の条件も変われば、価格の実際の動きは一つに決まりません。直接利回りが高いことを、損失の可能性が小さい証拠とはいえません。

基本例題：年額と直接利回り

先ほどの額面100,000円、表面利率年4%の債券を、利払い直後に80,000円で買いました。年間利払額を円、直接利回りを%で求めます。支払いは約束どおり行われ、税金と手数料はないものとします。

年間利払額は額面を基にします。

100,000円・0.04 = 4,000円

直接利回りは購入価格を基にします。

4,000円/80,000円・100 = 5%

図2のように、額面から得た4,000円を購入価格で割ります。表面利率の4%を購入価格に掛けると3,200円になりますが、それは購入価格の4%であって、この債券に定められた利払額ではありません。

答えを元の条件に戻すと、80,000円の5%は4,000円です。また4,000円は額面100,000円の4%に一致します。二つの割合の分母が違うことまで戻して確かめると、たまたま計算結果が合う場合にも手順を点検できます。

標準例題：同じ債券の価格を比べる

別の教材として、額面120,000円、表面利率年3%の債券を考えます。年1回の利払い直後に、Aさんは90,000円、Bさんは120,000円で同じ条件の債券をそれぞれ1枚購入しました。年間利払額と各人の直接利回りを求め、円と%で答えます。税金と手数料はなく、利払いは約束どおりです。

年間利払額は両者とも120,000円・0.03 = 3,600円です。

Aさんの直接利回りは3,600円/90,000円・100 = 4%です。

Bさんの直接利回りは3,600円/120,000円・100 = 3%です。

90,000円の4%も120,000円の3%も3,600円に戻ります。同じ年額を、Aさんはより小さい購入価格で受け取るため、直接利回りはAさんの方が1ポイント高くなります。4%と3%の差は1ポイントであり、1%の増加と表すと割合の基準が曖昧です。

この比較で固定したのは債券の利払額です。購入価格も利払額も違う別々の債券を比べるときは、価格の高低だけで直接利回りの順序を決められません。それぞれの年額をそれぞれの購入価格で割り、同じ範囲の割合にそろえてから比べます。

発展例題：償還差損益を含める

額面100,000円、表面利率年4%の債券を、満期までちょうど2年となる利払い直後に110,000円で買います。年1回の利払いを2回受け、満期に額面どおり償還されます。税金、手数料、再投資による収益はなく、支払いは約束どおりとします。直接利回りを小数第2位まで、2年間の損益を円で求めます。直接利回りは小数第3位を四捨五入します。

年間利払額は100,000円・0.04 = 4,000円です。

直接利回りは4,000円/110,000円・100 = 約3.64%です。

2回の利払いの合計は4,000円・2 = 8,000円です。

償還差損益は100,000円 − 110,000円 = -10,000円です。

2年間の損益は8,000円 − 10,000円 = -2,000円です。

受取額を元に戻すと、利息8,000円と償還額100,000円の合計108,000円に対し、購入時の支出は110,000円です。差は確かに-2,000円です。直接利回りは正ですが、額面より高く買った差額が利息の合計を上回り、期間全体では損失になりました。

同じ条件で保有年数を変えると、受け取る利息の回数も変わります。したがって償還差損益を含む年間の収益を比較するには、価格差だけでなく残りの期間も必要です。単純に期間全体の損益を購入価格と年数で割る計算は、利息を受け取る時期や再投資を細かく扱わない近似です。直接利回りと同じ名前で混ぜないようにします。

満期前に売却する条件に変えたときは、売却価格が示されなければ損益を確定できません。利払いが固定されていることと、途中の市場価格が固定されていることは別です。価格が示されない場合に額面で売れたと置くのは、問題にない条件の追加です。

誤答を直す：何を分母にしたか

額面200,000円、表面利率年3%、購入価格150,000円の債券について、「150,000円・3%で年4,500円」とする誤答を考えます。原因は表面利率の基準を購入価格に置き換えたことです。正しくは200,000円・0.03 = 6,000円で、直接利回りは6,000円/150,000円・100 = 4%です。

図3のように、利払額を出す段階では額面へ戻り、利回りを出す段階で購入価格に移ります。150,000円の4%は6,000円なので、直接利回りの答えも元の支出と年額に戻せます。

別の誤りは、直接利回り4%を受け取る総利益だとすることです。これは1年の利払いを購入価格で割った値で、償還額との差や売却時の価格は入っていません。購入から償還までの期間、償還額、利払い回数を確認して、必要なら別に差額を計算します。

逆に、価格が下がれば必ず利益が出るとするのも早すぎます。年額が同じで購入価格が下がれば直接利回りは上がりますが、将来の支払いが実際に行われるか、途中売却価格がどうなるかは別の条件です。値が足りない設問では、求められる割合と決められない損益を分けて答えることが修正になります。

練習問題

次の数値はすべて学習用です。各債券の利息は年1回、購入は利払い直後とし、税金、手数料、再投資による収益は考えません。支払いは約束どおり行われるものとします。

1. 額面60,000円、表面利率年5%の債券を75,000円で購入しました。年間利払額を円、直接利回りを%で求めてください。
2. 額面160,000円、表面利率年2%の債券を、Cさんは80,000円、Dさんは160,000円でそれぞれ1枚購入しました。両者の直接利回りを%で求め、差をポイントで答えてください。
3. 額面50,000円、表面利率年6%の債券を満期までちょうど3年の時点で44,000円で購入しました。毎年利払いを受け、満期に50,000円が償還されます。3年間の利息の合計と償還差損益、期間全体の損益を円で求めてください。
4. 年間利払額が同じ2枚の債券について、一方の購入価格が他方より低いとします。低い方の直接利回りがどうなるか、分母に触れて説明してください。年額と価格はいずれも正です。
5. 額面70,000円、表面利率年2%の債券を65,000円で購入し、1回利払いを受けた直後に売ります。売却価格は示されていません。年間利払額と直接利回りを求め、売却までの損益が決まるか理由とともに答えてください。直接利回りは%の小数第2位まで、小数第3位を四捨五入します。

練習問題の答えと解き方

1. 年間利払額は60,000円・0.05 = 3,000円、直接利回りは3,000円/75,000円・100 = 4%です。75,000円の4%は3,000円となり、額面の5%にも戻ります。
2. 年額は160,000円・0.02 = 3,200円です。Cさんは3,200円/80,000円・100 = 4%、Dさんは3,200円/160,000円・100 = 2%で、差は2ポイントです。それぞれの購入価格に答えの割合を掛けると、どちらも3,200円になります。
3. 年額は50,000円・0.06 = 3,000円、3年間の利息は9,000円です。償還差損益は50,000円 − 44,000円 = 6,000円、全体の損益は15,000円です。受取合計59,000円から購入価格44,000円を引いても15,000円です。
4. 低い方の直接利回りが高くなります。同じ正の年額を、より小さい正の購入価格で割るためです。採点では、年額が同じという条件と、分母が小さくなるという理由の両方を確認します。利払額まで変わる場合にはこの説明をそのまま使えません。
5. 年額は70,000円・0.02 = 1,400円、直接利回りは1,400円/65,000円・100 = 約2.15%です。丸める前の割合を65,000円に掛けると1,400円に戻ります。売却までの損益は、1,400円に売却価格を加え、65,000円を引いた額です。売却価格がないので確定できません。採点では価格が未知である理由まで述べます。

覚えておくこと

• 表面利率は額面に対する年間利払額の割合です。
• 直接利回りは購入価格に対する年間利払額の割合です。
• 直接利回りに償還差損益は含まれません。
• 固定した年額と正の購入価格なら、価格が低いほど直接利回りは高くなります。
• 売却価格や支払いの条件が欠けると、期間全体の損益は決められません。

つまずきの場所を見分ける

年額から違うときは、表面利率を何に掛けたかを見ます。額面と購入価格に別々の印を付け、まず額面に率を掛け直します。年額は合っていて直接利回りが違うときは、購入価格を分母に置いたか、割合を%に直したかを確かめます。

個別指導で答案を読むなら、正答かどうかに加え、式の横に分母の意味を書けるかを確認します。期間全体の損益が合わない場合は、利息の回数、償還額と購入価格の差、売却価格の有無へ順に戻ります。必要な数値がないときに無理に数値を作らず、決められない理由を説明できることも理解の一部です。

債券の割合は、同じ利払いを何と比べるかで意味が変わります。