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中学受験の算数時計算の角度—直角や一直線になる候補を時刻の範囲で選ぶ｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.14更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴中学受験の算数特殊算を掘り下げる

長針と短針の開きが直角になる2つの向きや、時間の端を含むかを整理して時計算の角度を読み解きます。

よくあるのは、同じ1時間内に長針と短針が直角になる時刻を1つ見つけ、そこで手を止める場面です。針が直角を作る向きは、長針が短針より前にある場合と後ろにある場合があります。時計の絵を1枚見て終わりにせず、指定された時間の始めから終わりまで、針の位置関係を追ってみましょう。

ここで扱う時計は、長針も短針も一定の速さでなめらかに進むものです。時計の中心から見た針の向きを角度で表し、直角または一直線となる時刻を探します。求めた数が経過時間なのか時刻なのかも区別します。

要点（結論から）

長針と短針の1分間の角度の差は5と1/2度です。
直角の向きは相対的に90度と270度の2通りです。
反対向きの一直線は相対的に180度です。

何を探す問題か

直角の問題では、たとえば「1時から2時まで」のような範囲の中で、針が90度の開きを作る時刻を求めます。指定の範囲に複数の候補があることも、1つしかないこともあります。まず、両方の針の向きを比べ、長針が短針に追いつく前と追い越した後に分けて考えます。

一直線の問題では、2本の針が中心をはさんで反対向きになる時刻を求めます。針が重なった状態も見た目には1本の直線に見えますが、ここでは反対向きに開いた180度を一直線と呼びます。問題文に別の定めがあるときは、その定めを先に読み取ります。

範囲の端を含むかどうかも条件です。「1時から2時まで、ただし2時は含まない」とあれば、1時は候補に入れ、2時は入れません。端で条件が成り立つとき、計算自体が正しくても採用を誤ることがあります。答えを出す前に範囲を確認します。

針の動きを角度の差で見る

時計の文字盤を1周すると360度です。長針は60分で1周するので、1分に進む角度は次の通りです。

360 ÷ 60 = 6度

短針は12時間、つまり720分で1周するので、1分に進む角度は次のようになります。

360 ÷ 720 = 1/2度

長針と短針は同じ向きに進みます。1分間に長針が短針との差を縮めたり、追い越した後に差を広げたりする角度は、6度から1/2度を引いた5と1/2度です。両方が動くため、長針の6度だけで割ることはできません。

図1のように、それぞれの進みを同じ1分でそろえると差が見えます。線分の長さは角度の大きさに対応し、短い線分も0から始まります。針そのものの長さを比べているのではありません。

時刻の始めに短針が長針より時計回りに先にあるとします。最初の開きが90度より小さければ、長針はまず短針の手前90度の位置から始まっていないので、追い越した後の直角を探します。一方、最初の開きが90度より大きければ、追いつく前にも90度になることがあります。最初にちょうど90度なら、範囲の始めを含むかどうかを調べます。

ただし、長針が進むにつれて短針を追い越し、さらに1周近く差を広げることもあります。角度の差を0度から360度の間で見れば、直角には90度と270度の2通りがあり、一直線には180度があります。270度の差でも、反対側の小さい角度は360 − 270 = 90度です。図で針を描き、どちら側の角度を数えているかを決めると混乱しません。

基本例題：1時台の直角

1時から2時まで、ただし2時を含まない間に、長針と短針が直角になる時刻をすべて求めます。答えは1時何分かを、分数を含む場合は帯分数で表します。

1時ちょうどでは長針は12、短針は1を指します。文字盤の隣り合う数字の間は360 ÷ 12 = 30度なので、短針は長針の時計回りに30度先です。図2のように、その30度を基準に、長針が短針を追い越してからの2つの向きを追います。

図2の横線は長針が短針に対して進む角度を表します。左端が1時、30度の位置が重なり、そこから90度先と270度先が直角です。時計の針の長さではなく、進んだ角度の大きさを比べています。

最初の直角までに、長針が短針に対して進む角度は、重なるまでの30度と、その先の90度の合計です。

30 + 90 = 120度

1分あたり5と1/2度ずつ進むので、1時からの経過時間は次のように求まります。

120 ÷ (11/2) = 240/11 = 21と9/11分

次の直角は、重なった位置から相対的に270度進んだところです。最初からの進みを使うと、次のようになります。

30 + 270 = 300度

300 ÷ (11/2) = 600/11 = 54と6/11分

どちらも0分以上60分未満です。答えは1時21と9/11分、1時54と6/11分です。

候補を時刻に戻して確認します。1つ目では長針が12から時計回りに1440/11度、短針が30 + 120/11 = 450/11度進んでいます。差は990/11 = 90度です。2つ目では長針が3600/11度、短針が30 + 300/11 = 630/11度なので、差は2970/11 = 270度です。小さい方の角度は90度となります。

漏れも確認しましょう。1時間に相対的に進む角度は330度で、1時の相対位置は短針より30度後ろです。終わりの直前には相対位置が300度未満まで進みます。この範囲には直角を表す90度と270度がそれぞれ1回入り、ほかに直角を表す向きはありません。

標準例題：反対向きに開く時刻

7時から8時まで、ただし8時を含まない間に、長針と短針が反対向きの一直線になる時刻を求めます。1時何分という形ではなく、7時何分かを帯分数で答えます。

7時には短針が12から時計回りに210度の位置、長針が0度の位置です。2本の差は210度なので、長針が短針に30度近づくと、差が180度になります。

210 − 180 = 30度

30 ÷ (11/2) = 60/11 = 5と5/11分

答えは7時5と5/11分です。確かめると、長針は360/11度、短針は210 + 30/11 = 2340/11度の位置です。差は1980/11 = 180度となり、2本は反対を向いています。

この後、長針は短針に追いつき、さらに先へ進みます。もう一度反対向きになるには、最初から相対的に390度進む必要があります。しかし1時間の相対的な進みは330度なので、8時の手前までには届きません。求めた時刻は範囲内にあり、次の候補は範囲外です。

発展例題：範囲の端を調べる

5時から6時まで、5時と6時を両方含む間に、針が反対向きの一直線になる時刻を求めます。答えは時刻で表します。

5時の短針は12から150度、長針は0度の位置です。長針が短針に追いつくまで150度、さらに反対向きになるまで180度進めばよいので、相対的な進みは合計330度です。

150 + 180 = 330度

330 ÷ (11/2) = 60分

5時から60分後は6時です。答えは6時ちょうどです。6時には長針が12、短針が6を指し、差は180度です。始めの5時の差は150度で条件に合いません。相対位置は一定の速さで進むので、その間に反対向きを重ねて通ることもありません。

同じ計算でも、6時を含まないという条件なら、この範囲に答えはありません。60分という値を見た瞬間に消すのではなく、終点の扱いを問題文へ戻します。別の確かめ方として、5時から6時の相対的な進みを0度から330度までの線分に表すと、必要な330度は線分の右端にあります。端を含む条件と含まない条件を、同じ図で比べられます。

誤答から直す：直角は一方向ではない

基本例題で1時21と9/11分を求めた後、「直角が見つかったので終わり」とすると、もう一方の1時54と6/11分を落とします。最初の答え自体は正しくても、求める時刻をすべて挙げる条件を満たしません。

図3のように、短針を基準にすると、長針が時計回りに90度先の位置と270度先の位置の両方で小さい角度が90度になります。図は2つの向きを比べるためのもので、時刻ごとの針の実際の方位を表すものではありません。2つの向きを書き出し、それぞれに届く時刻を計算して範囲へ戻します。

もう1つの誤りは、短針を1の位置に止めたまま、120 ÷ 6 = 20分とすることです。1時20分には長針が120度進みますが、短針も10度進んで40度の位置にあります。差は80度で、直角ではありません。短針も動く分を引いた1分あたり5と1/2度を使い、求めた時刻で両方の位置を出し直すと誤りに気づけます。

反対に、270度という差を見て直角ではないと判断する場合もあります。時計回りの差が270度なら、残りの側は90度です。どちらの角度を求めるのかを図に記し、1周の360度から引いて確認します。

練習：時間の範囲を最後まで追う

どの問題も針は一定の速さで動きます。各範囲は始めを含み、終わりを含みません。直角は小さい方の角度が90度、一直線は針が反対向きの180度とします。答えは時刻とし、分数を含む分は帯分数で表してください。

2時から3時の間に直角になる時刻をすべて求めます。
6時から7時の間に直角になる時刻をすべて求めます。
8時から9時の間に一直線になる時刻を求めます。
10時から11時の間に直角になる時刻をすべて求めます。
9時から10時の間に一直線になる時刻を求めます。

練習の答えと確かめ

2時には短針が60度先です。長針が追い越して90度先になるには60 + 90 = 150度、270度先になるには60 + 270 = 330度、相対的に進みます。150 ÷ (11/2) = 300/11、330 ÷ (11/2) = 60なので、後者は終点で範囲外です。答えは2時27と3/11分です。前者の相対位置は長針が90度先で、時刻を戻すと長針は1800/11度、短針は810/11度、その差は90度です。終点では相対位置が270度となりますが、3時は含みません。
6時には短針が180度先です。追いつく前に90度差となるには90度、追い越して90度先となるには270度の相対的な進みが必要です。90 ÷ (11/2) = 180/11、270 ÷ (11/2) = 540/11です。答えは6時16と4/11分、6時49と1/11分です。時刻に戻すと、前者は長針1080/11度、短針2070/11度で差は90度、後者は長針3240/11度、短針2250/11度で差は90度です。どちらも範囲内で、次の直角に必要な相対的進み450度は330度を超えます。
8時には短針が240度先なので、180度差まで60度縮めます。60 ÷ (11/2) = 120/11より、答えは8時10と10/11分です。長針は720/11度、短針は2700/11度で、差は180度です。次の反対向きには相対的に420度の進みが必要で、範囲内の330度を超えます。
10時には短針が300度先です。時計回りの差が270度になるまで30度、90度になるまで210度縮めます。30 ÷ (11/2) = 60/11、210 ÷ (11/2) = 420/11です。答えは10時5と5/11分、10時38と2/11分です。前者は長針360/11度、短針3330/11度で差が270度となり、小さい角度は90度です。後者は長針2520/11度、短針3510/11度で差は90度です。次に直角となるには相対的に390度進む必要があり、範囲内の330度を超えます。
9時には短針が270度先です。反対向きまで90度縮めるので、90 ÷ (11/2) = 180/11です。答えは9時16と4/11分です。長針は1080/11度、短針は3060/11度で、差は180度です。次の反対向きには相対的に450度進む必要があり、10時の手前では届きません。