中学受験の算数 通過算のすれ違い—二本の列車の長さと向きをそろえて時間を出す｜武蔵野個別指導塾

向かい合う列車の最後尾を線分に置き、長さの合計と間隔の縮まりを使って、完全に通過する秒数を確かめます。

よくあるのは、小学生が向かい合う2本の列車を見て、片方の列車の長さだけを足してしまう場面です。先頭どうしが出会ったところから数え始めると、もう片方の最後尾もまだ先に残っています。列車を点ではなく長さのあるものとして見て、いつ始まり、いつ終わるかを描いてみましょう。

ここで扱うのは、速さを変えずに向かい合って走る2本の列車が、互いを完全に通過する場面です。列車の前後の位置を追い、計算した答えを走った距離に戻して確かめます。

何を聞かれているかを先に分ける

すれ違いの問題には、いくつかの聞き方があります。まずは与えられた量と答える量を分け、時間の始点と終点を見つけます。

1つ目は、2本の長さとそれぞれの速さから、先頭どうしが出会ってから最後尾どうしが離れるまでの時間を求める問いです。2本の長さの合計を、向かい合う速さの合計で割ります。ただし式を覚える前に、その合計がどこの距離なのかを図で確認します。

2つ目は、長さの一方がわからず、完全に通過する時間と速さから求める問いです。時間の間に両方が進んだ距離を合わせれば、2本の長さの合計が出ます。そこから既知の長さを引けば、もう一方が残ります。速さがわからない問いも同様に、まず2本分を合わせた速さを求めてから、わかっている方を引きます。

3つ目は、先頭どうしが離れた位置にある時刻から、完全に通過するまでを問う場合です。まだ重なっていない間と、重なり始めてから離れるまでを分けると、最初の間隔を落としません。何を「通過の時間」と呼ぶかは問題文の指定に従います。

距離と速さの単位にも注意します。長さがm、速さが秒速なら時間は秒で出ます。時速のまま秒を求めようとすると、時間の単位がそろいません。計算に入る前に、問題の表にある数の横に単位を書き添えましょう。

先頭と最後尾を線分に置く

右へ進む列車Aと、左へ進む列車Bを考えます。どちらも先頭が進む向きにあり、最後尾はその反対側にあります。先頭どうしが出会った瞬間は、まだ両列車の最後尾どうしが離れています。この2つの最後尾の間隔は、Aの長さとBの長さをつないだ長さです。

図1のように、出会った点を境に左側がA、右側がBです。最後尾どうしは最初に2本の長さの合計だけ離れています。走り続けるとAの最後尾は右へ、Bの最後尾は左へ進むので、その間隔が縮みます。最後尾どうしが同じ位置になったとき、車体の重なりはなくなります。この瞬間を完全通過の終わりとします。

例えば1秒にAの最後尾が右へ12m、Bの最後尾が左へ18m進むなら、最後尾の間隔はその1秒で12mと18mの合計、30m縮みます。最初の間隔を1秒あたりに縮む距離で割れば、必要な秒数が出ます。これは2本をくっつけて一方だけが走ると決めたのではなく、同じ時間に両方が進んだ距離を合わせているからです。

列車の長さは走っている間も変わりません。したがって先頭と最後尾は、同じ列車なら同じ速さで進みます。最後尾の間隔を使う方法と、一方の列車に注目してもう一方が相対的に進む距離を考える方法は、同じ移動を別の見方で表しています。

長さの合計は実際の列車1本の長さではありません。出会いの瞬間に残った最後尾どうしの間隔です。また、速さの合計は片方の地面に対する速さではなく、2つの最後尾の間隔が1秒で縮む量です。この違いを口で説明できれば、数だけを足す手順に頼らずに済みます。

基本例題：出会ってから離れるまで

長さ120mの列車Aが秒速12mで右へ、長さ180mの列車Bが秒速18mで左へ、同じ線路に沿って向かい合って進みます。先頭どうしが出会ってから最後尾どうしが離れるまで、何秒かかりますか。答えは整数の秒で求めましょう。2本とも速さは一定とします。

図2のように、出会った瞬間の最後尾どうしの間隔を線分で表します。120mと180mは出会った点の両側にあるので、つなぐと間隔全体になります。

図2の上段で最後尾の間にある距離は、次のように求めます。

120 + 180 = 300（m）

1秒の間にAの最後尾は右へ12m、Bの最後尾は左へ18m進みます。両側から縮めるため、間隔の減り方は次の通りです。

12 + 18 = 30（m）

これは1秒あたり30mです。300mの間隔がなくなるまでの時間は、次のようになります。

300 ÷ 30 = 10（秒）

答えは10秒です。式の割られる数は最後尾どうしの最初の間隔、割る数は1秒あたりに縮む間隔です。この2つの意味を取り違えると、数値が合って見えても別の場面を計算してしまいます。

答えを元の場面に戻しましょう。10秒でAは12 × 10 = 120m、Bは18 × 10 = 180m進みます。進んだ距離の合計は300mで、出会いの瞬間の最後尾どうしの間隔に一致します。実際に出会いの位置を0m、右を正の向きと見れば、Aの最後尾は左120mから出発して0mへ、Bの最後尾は右180mから出発して0mへ着きます。両方の最後尾が同じ位置にそろうので、終わりの条件も満たします。

出会いの瞬間にAの先頭がBの最後尾へ達したわけではありません。最初からBには180mの長さがあり、Aにも120mの長さがあります。先頭が相手の最後尾へ達する時点と、最後尾どうしが離れる時点は一般に別です。問題がどの2点を指定しているかを読みましょう。

標準例題：時速を秒速にそろえる

長さ160mの列車Cと長さ200mの列車Dが向かい合って進みます。速さはCが時速54km、Dが時速75.6kmで、どちらも一定です。先頭どうしが出会ってから完全に通過するまで、何秒ですか。答えは整数の秒で求めましょう。

まず長さの合計は160 + 200 = 360mです。速さは時速のままなので、1時間を3600秒、1kmを1000mとして秒速に直します。

54 × 1000 ÷ 3600 = 15（m/秒）

75.6 × 1000 ÷ 3600 = 21（m/秒）

1秒に最後尾どうしの間隔が縮む距離は、15 + 21 = 36mです。よって、360 ÷ 36 = 10秒となります。答えは10秒です。

確かめると、10秒でCは150m、Dは210m進み、合計は360mです。最初の最後尾の間隔と一致します。出会いの位置を境に考えると、Cの最後尾は出会いの位置の左160mから右へ150m進み、まだ左10mにあります。Dの最後尾は右200mから左へ210m進み、同じく左10mに着きます。出会いの位置で最後尾がそろうとは限りませんが、2本が同じ位置で離れることは確かめられます。

時速を秒速にするとき、54をそのまま54m/秒とはしません。54kmは54000mですが、それを1秒で進むわけではなく、3600秒で進みます。片方だけを秒速に直して足しても、時間の単位が違うため意味を持ちません。小数がある場合も、単位換算をそれぞれ終えてから合計します。

発展例題：出会う前の間隔も数える

長さ180mの列車Eと長さ260mの列車Fが、一定の速さで向かい合っています。先頭どうしが出会ってから完全に通過するまで11秒かかり、Fの速さは秒速22mです。ある時点で先頭どうしは40m離れています。その時点から完全に通過するまで何秒ですか。また、Eの速さは秒速何mですか。どちらも整数で答えましょう。

先に、出会ってから完全通過までに最後尾どうしが縮める間隔を求めます。

180 + 260 = 440（m）

11秒で440m縮まるので、1秒あたりの縮みは440 ÷ 11 = 40mです。これは両列車の速さの合計です。Fが秒速22mですから、Eは40 − 22 = 18（m/秒）です。

先頭どうしが40m離れている時点から出会うまでにも、同じ向き合う速さで間隔が縮みます。40 ÷ 40 = 1秒で出会い、そこから完全通過まで11秒かかります。したがって、求める時間は1 + 11 = 12秒です。

別の線分の見方でも確かめられます。はじめの時点で、Eの最後尾からFの最後尾までは、Eの長さ180m、先頭間の40m、Fの長さ260mをつないだ480mです。両方の最後尾が1秒に合わせて40m近づくので、480 ÷ 40 = 12秒です。出会い前の40mを含めた線分と、1秒と11秒に分けた時間が対応します。

答えを位置に戻すと、Eの先頭がはじめにある地点を0m、右向きを正としたとき、Eの最後尾は左180mから12秒で216m進み、右36mに着きます。Fの先頭は右40m、最後尾は右300mから出発し、12秒で264m左へ進んで右36mに着きます。両方の最後尾が同じ地点に着くので、完全通過の条件に合います。

分かれ目は、時計を動かし始める位置です。「先頭が出会ってから」とあれば最初の40mは時間に含めません。「離れた時点から」とあれば含めます。2つの問いに同じ答えを当てはめず、問題文の始点を線分に印しておきましょう。

誤答から最後尾の位置を直す

基本例題で、120 ÷ (12 + 18) = 4秒と答えたとします。割る数の30m/秒は両方が近づく速さですが、割られる数の120mはAの長さだけです。出会いの瞬間にはBの最後尾も出会いの点から180m離れています。その分が線分から抜けています。

図3の上段はAの120mだけを見た図で、右側のBが表されていません。下段のようにBの180mをつなぐと、最後尾どうしの間隔は300mです。120mに180mを足してから、1秒あたり30mで割ると10秒に直せます。

4秒という答えを場面に戻しても誤りが見えます。4秒間にAは48m、Bは72m進み、最後尾どうしの間隔は合わせて120mしか縮みません。最初の300mから180m残るため、その時点では完全に離れていません。速さを正しく足していても、距離が不足すると終点まで届かないのです。

反対に、長さは2本分を足したのに、向かい合う速さを引いてしまうこともあります。2つの最後尾は互いに近づく向きに進むため、1秒に縮む距離は両方の移動距離を合わせます。向きの矢印を先に書けば、加える理由を図に戻して確認できます。同じ向きに進む追いこしでは、間隔の変化を別に考えます。

練習：時間と長さを読み分ける

次の5問は、いずれも列車の速さが一定で、向かい合って進むものとします。完全に通過する時間は、先頭どうしが出会ってから最後尾どうしが離れるまでです。まず5問を続けて考えてから、下の解答で始点と終点を確かめましょう。

1. 長さ140mと220mの2本が、それぞれ秒速16mと秒速14mで進みます。完全に通過する時間は整数で何秒ですか。
2. 長さ175mと225mの2本が、それぞれ時速72kmと時速108kmで進みます。完全に通過する時間は整数で何秒ですか。
3. 長さ200mの列車と、長さのわからない列車が、それぞれ秒速18mと秒速27mで進みます。完全に通過する時間は10秒です。後者の長さは整数で何mですか。
4. 長さ240mと160mの2本が8秒で完全に通過します。前者の速さが秒速18mのとき、後者の速さは秒速何mですか。整数で答えましょう。
5. 長さ210mと150mの2本が、それぞれ秒速20mと秒速25mで進みます。ある時点で先頭どうしの間隔は90mです。その時点から完全に通過するまで、整数で何秒ですか。

練習の答えと場面への戻し方

1. 答えは12秒です。最後尾どうしの間隔は140 + 220 = 360m、1秒に縮む距離は16 + 14 = 30mなので、360 ÷ 30 = 12秒です。12秒間の移動距離はそれぞれ192mと168mで、合計360mです。最初の間隔と同じだけ縮み、最後尾どうしがそろいます。

2. 答えは8秒です。時速72kmは秒速20m、時速108kmは秒速30mです。長さの合計は400mなので、400 ÷ (20 + 30) = 8秒です。8秒間にそれぞれ160mと240m進み、合計400mとなります。最後尾は出会いの位置の左15mでそろうので、終点も確認できます。

3. 答えは250mです。1秒に縮む距離は18 + 27 = 45m、10秒に縮む距離は45 × 10 = 450mです。これは2本の長さの合計なので、450 − 200 = 250mです。出会いから10秒間の移動距離は180mと270mで合計450mです。最後尾は出会いの位置の左20mでそろい、与えられた10秒に戻ります。

4. 答えは秒速32mです。長さの合計400mを8秒で縮めるので、速さの合計は400 ÷ 8 = 秒速50mです。後者は50 − 18 = 秒速32mです。8秒間にそれぞれ144mと256m進み、合計400mです。最後尾は出会いの位置の左96mでそろいます。

5. 答えは10秒です。先頭どうしが出会うまでは90 ÷ (20 + 25) = 2秒です。出会ってからは、長さの合計360mを45m/秒で縮めるので、360 ÷ 45 = 8秒です。合計2 + 8 = 10秒です。はじめの最後尾間の距離は210 + 90 + 150 = 450m、10秒の移動距離の合計も200 + 250 = 450mです。初めの間隔を含めた終点まで確かめられます。

覚えておくこと

• 出会いの瞬間、最後尾どうしの間隔は2本の長さの合計です。
• 向かい合う場合、1秒に縮む間隔は2本の速さの合計です。
• 求める時間の始点が出会いより前なら、先頭間の距離も数えます。
• 単位をそろえ、答えを両方の移動距離と最後尾の位置に戻します。

どこで迷ったかを見つける

お子さまが式を書けないときは、まず出会いの瞬間の絵に、それぞれの先頭と最後尾を書き入れてもらいます。片方の長さだけを使っていれば、最後尾どうしの間にもう1本分があることを指でたどれます。図は描けても式を誤る場合は、何が1秒あたりに縮むのか、単位を添えて言葉にしてみます。

個別指導で確かめるなら、まず始点と終点を本人が示せるかを見ます。次に、答えの秒数で両方が何m進むかを別々に計算し、最後尾が同じ位置に来るかを確かめます。途中式が合っていても開始時刻を取り違えれば別の時間になるため、図と問題文を行き来することが役立ちます。2本の端を追うと、すれ違いの時間が距離の意味と結びつきます。