中学受験の算数 仕事算の交互作業—一組の作業量と最後の残りを分けて日数を出す｜武蔵野個別指導塾

交互作業を二日で一組にまとめ、残りを次の担当者へ順に渡します。最後の一日を使い切る前に終わる場合も、担当者の速さから経過日数を求められます。

よくあるのは、二人が交代で進める作業を考えていて、最後の日も二人分の一組として数えてしまう場面です。まだ仕事が残っている間は、順に並んだ2日を一組にできます。しかし、途中で全部終わったら、その後の人の番はありません。終了した日を丸々1日として数えることもできません。

一組の量を使うと長い並びを短くできます。その便利さを生かすために、仕事が終わる位置を最後にもう一度細かく見ます。ここでは1日の途中でも一定の速さで進み、終わった瞬間に作業を止めるものとして考えます。

何が与えられ、どこを答えるか

交互の仕事には、たとえば次のような尋ね方があります。一人ずつなら何日で終わるかを手がかりに、交互に進めたときの終了までの経過日数を求める問いです。あるいは、先に作業する人を入れ替え、終了時点がどう変わるかを比べる問いもあります。どちらも、全体の仕事量と各人の1日分の量、作業する順番が手がかりです。

求めるのは「何日目に終わるか」なのか、「始めてから何日たった時点か」なのかを区別します。9日目の途中で終わるなら、経過日数は8日を超えて9日未満です。問題で経過日数を聞かれているのに9日と答えると、最後の日の途中までしか進んでいないことが表れません。

1日ごとに交代する場合、先に始める人の仕事は1日目、3日目、5日目と続きます。もう一人は2日目、4日目、6日目です。最後まで1日ずつ作業したと仮定して平均を出すと、実際には作業しない部分まで数えることがあります。まず順番を書き、最後に作業した人とその人が使った時間を確定します。

二日を一組にする意味

仕事全体を数えやすい量に置くと、残りを引き算で追えます。たとえば、先に働く人が一人で8日、次の人が一人で12日かかる仕事なら、全体を24と置けます。24は8でも12でも割れるので、それぞれの1日分は3と2です。24という数字は仕事の量を表すために決めた単位で、実際の品物の個数を示すとは限りません。

図1のように、先の人の3と次の人の2を順につなぐと、一組の2日で5進みます。横の長さは仕事量に対応し、3の部分は2の部分の1.5倍です。どちらの人も1日ずつ担当するので、1日分の量が異なっても、一組にかかる時間は2日です。

図1の一組を繰り返すとき、区切りを越えて仕事が残っていることを確かめます。全体を一組の量で割った余りがある場合、その余りをどちらの人が処理するかは順番で決まります。先の人の1日分より余りが小さければ、その人の番の途中で終わります。余りがちょうど先の人の1日分なら、その人の1日が終わる瞬間に完了します。余りがそれより大きければ、先の人が1日働いた後、次の人が残りを受け取ります。

全体が一組の量で割り切れるときも注意します。最後の一組の途中では終わらず、次の人の1日が終わった瞬間に全体が終わります。途中で完了するという条件がある問題なら、この結果と条件が一致するかを見直します。仕事量が0になった後に日数を付け加えないためです。

仕事量を1と置いて分数で計算しても同じです。先の人の1日分は1/8、次の人は1/12で、一組は5/24です。24を全体とする表では3と2になり、分数の表では3/24と2/24になります。基準を途中で変えず、残りと1日分を同じ単位で比べることが大切です。

基本例題：次の人の番で終わる

ある資料の整理を、Aさん一人なら8日、Bさん一人なら12日で終えます。Aさんから始め、1日ごとにAさん、Bさんの順に交互に作業します。各人の作業の速さは一定で、最後は終わった瞬間に止めます。開始から終了までの経過日数を、整数と既約分数で求めてください。

まず全体の仕事量を24と置きます。Aさんは1日で 24 ÷ 8 = 3、Bさんは1日で 24 ÷ 12 = 2 進めます。Aさんの1日とBさんの1日を一組にすると、2日で 3 + 2 = 5 です。

24 ÷ 5 = 4 あまり4 なので、4組を終えた時点では 5 × 4 = 20 進み、4残ります。ここまでの日数は 2 × 4 = 8 日です。次はAさんの番ですから、残り4をBさんに直接渡してはいけません。

図2のように、Aさんが9日目に1日働くと3進みます。残りは 4 − 3 = 1 です。続くBさんは1日で2進めるので、1進める時間は 1 ÷ 2 = 1/2 日です。したがって、経過日数は 8 + 1 + 1/2 = 9と1/2日 です。

条件に戻して確かめます。最初の8日間にはAさんとBさんの番がそれぞれ4日あり、仕事量は 3 × 4 + 2 × 4 = 20 です。9日目にAさんが3進めると23、次にBさんが半日で 2 × 1/2 = 1 進めると24になります。8日目の後も9日目の後も全体の24より小さいので、もっと早く終わったことにはなりません。9日目という日付の数え方と、9と1/2日という経過時間は別です。

標準例題：先の人の途中で終わる

あるカードの分類を、Cさん一人なら9日、Dさん一人なら12日で終えます。Cさんから1日ずつ交互に進め、各人の速さは一定です。完了した瞬間までの経過日数を、整数と既約分数で求めてください。

全体を36とすると、Cさんの1日分は 36 ÷ 9 = 4、Dさんは 36 ÷ 12 = 3 です。一組の2日では 4 + 3 = 7 進みます。36 ÷ 7 = 5 あまり1 ですから、5組、つまり10日で35進み、1残ります。

11日目はCさんの番です。Cさんは1日で4進めるので、残り1に必要な時間は 1 ÷ 4 = 1/4 日です。経過日数は 10 + 1/4 = 10と1/4日 です。Dさんの次の番は始まらないため、さらに1日を足すことはしません。

戻して見ると、Cさんは5と1/4日分、Dさんは5日分働いています。4 × 5と1/4 = 21、3 × 5 = 15 で、合計36です。10日後は35なので、終了はそれより後です。1/4日が1日未満であることも、11日目の途中という位置と一致します。

基本例題と比べると、どちらも組の後に余りがありますが、余りと先の人の1日分の大小が違います。基本例題では4が3より大きく、次の人まで進みます。こちらでは1が4より小さく、先の人の途中で止まります。割り算の余りを出した段階で答えにせず、次の番の処理量と比べるところが分かれ目です。

発展例題：順番を入れ替える

同じ量の見本の仕分けを、Eさん一人なら8日、Fさん一人なら12日で終えます。Fさんから始めて1日ずつ交互に作業し、速さは一定です。終了した瞬間までの経過日数を整数と既約分数で求めてください。また、Eさんから始めた場合と比べてください。

全体を24とすると、Eさんは1日3、Fさんは1日2です。Fさん、Eさんの順でも、一組の仕事量は 2 + 3 = 5 です。4組の8日間で20進み、4残ります。しかし、次の番はFさんなので、その1日分は2です。4は2より大きいため、Fさんが1日働いた後も 4 − 2 = 2 残ります。

次のEさんは1日で3進めます。残り2に必要なのは 2 ÷ 3 = 2/3 日です。したがって 8 + 1 + 2/3 = 9と2/3日 で終わります。Eさんから始めた場合は基本例題と同じ量と順番なので9と1/2日です。差は 2/3 − 1/2 = 1/6 日で、Fさんから始める方が1/6日長くかかります。

別の見方として、終了時にそれぞれが働いた日数を表に戻します。Fさんは5日、Eさんは4と2/3日です。Fさんの 2 × 5 = 10 と、Eさんの 3 × 4と2/3 = 14 を合わせると24です。Fさんの5日目の直後は22で、Eさんの最後の番が必要です。一組の合計は順番を入れ替えても同じですが、最後の不完全な組で先に処理する量が違うため、終了時点は同じとは限りません。

全体を一組で割った余りが先の人の1日分に等しいときは、先の人の番の終わりが完了時点です。余りが0なら最後の完全な組の終わりです。どちらも1日未満の部分がない境界なので、途中で終わる条件の問題で出た場合は、順番や全体の量の読み違いがないか確かめます。

誤答を残りの位置から直す

基本例題で、4組の後に残り4があるのに、さらに一組の5を加えて「5組で10日」とする誤答を考えます。5組なら仕事量は25となり、全体の24を1超えます。図3のように、最後の一組はAさんの3とBさんの2を全部使う前に止まります。

原因は、組をひとまとまりとして扱う便利さを、その組の途中で終わる場面にもそのまま持ち込むことです。図3では20からAさんの3を足すと23で、そこから24までの1だけをBさんが進めます。Bさんの1日分は2なので、必要なのはその半分です。10日まで数えた場合には、完了後の半日まで含まれています。

別の誤りは、残り4をすぐBさんの1日分2で割って2日とすることです。残りが出た直後はAさんの番なので、最初の1日を担当する人が違います。残量の数字だけで割る前に、表に次の担当者を書き込みます。逆に、Aさんの3で残り4を割って1と1/3日とするのも、1日を過ぎた後はBさんに交代するため使えません。

最後に「直前の累積量は全体より小さいか」「最後の部分を加えると全体と一致するか」「最後に使った時間は担当者の1日以内か」を点検します。条件が途中での終了を指定していれば、最後の時間は0より大きく1日より小さい必要があります。割り切れない場合を無理に小数にせず、分数のまま時間と量を掛けて戻すと正確です。

練習：順番と終了時点を追う

いずれも1日ごとに交代し、それぞれの作業速度は一定です。開始から終了の瞬間までの経過日数を整数と既約分数で求めてください。作業は完了したら止めます。

1. 標本の整理を、Gさん一人なら6日、Hさん一人なら10日で終えます。Gさんから始めます。
2. 印刷物の仕分けを、Iさん一人なら8日、Jさん一人なら20日で終えます。Iさんから始めます。
3. 箱の点検を、Kさん一人なら12日、Lさん一人なら18日で終えます。Lさんから始めます。
4. 用紙の分類を、Mさん一人なら10日、Nさん一人なら15日で終えます。Nさんから始めます。
5. 札の整理を、Pさん一人なら7日、Qさん一人なら14日で終えます。Qさんから始めます。

練習の答えと場面への戻し方

1. 全体を30とするとGさんは5、Hさんは3です。一組は8で、3組の6日後に24進み、6残ります。Gさんが1日で5進めた後、Hさんが残り1に1/3日使うので、答えは7と1/3日です。戻すとGさんは4日で20、Hさんは3と1/3日で10、合計30です。7日後は29なので、その途中より前には終わりません。

2. 全体を40とするとIさんは5、Jさんは2、一組は7です。5組の10日後には35進み、残りは5です。これはIさんの1日分と等しいので、11日後のちょうど終わりに完了します。答えは11日です。Iさん6日で30、Jさん5日で10となり、合計40です。10日後は35で、11日目の途中にはまだ残りがあります。

3. 全体を36とするとKさんは3、Lさんは2です。Lさんからの一組は5で、7組の14日後には35進み、1残ります。次はLさんで、1 ÷ 2 = 1/2 日ですから、答えは14と1/2日です。Lさん7と1/2日で15、Kさん7日で21、合計36です。14日後は35なので、最後の半日は必要です。

4. 全体を30とするとMさんは3、Nさんは2です。Nさんからの一組は5で、6組の12日後にちょうど30になります。答えは12日です。Nさん6日で12、Mさん6日で18、合計30です。11日後はNさんが6日、Mさんが5日働いた時点で27なので、12日目のMさんの1日が必要です。

5. 全体を14とするとPさんは2、Qさんは1です。Qさんからの一組は3で、4組の8日後に12進み、2残ります。Qさんが1日で1進め、次のPさんが残り1に1/2日使います。答えは9と1/2日です。Qさん5日で5、Pさん4と1/2日で9、合計14です。9日後は13なので、最後の半日より前には終わりません。

練習2と4は境界を確かめるための問いです。2では先の人の1日が終わる瞬間、4では一組が終わる瞬間に完了します。途中で終わると書かれていない条件では、整数の日数も候補になります。もし問題文に「最後は1日未満」と指定されていたら、この2つの結果はその条件に合いません。

手元に残す要点

• 全体と各人の1日分を同じ仕事量の単位にそろえます。
• 一組の量と日数を出し、残りが正になるところまで進めます。
• 次の担当者と残りを比べ、最後の部分の時間を求めます。
• 答えを各人の仕事量に戻し、終了直前と終了時を確かめます。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが一組の量を正しく出していても答えが合わないときは、最後の残りを誰の番に置いたかを聞いてみます。担当者を言えるのに時間が出せないなら、残りとその人の1日分の単位を並べ、1日分の何倍かを確かめます。1日を超える答えが出たら、その間に交代が起きることを表で追います。

個別指導では、式だけでなく、8日後や9日後のような区切りに累積量を書いてもらうと、順番と残りの取り違えを見分けられます。計算が合った後も、求めた時間で各人が進めた量を戻し、全体に達する前後を確認します。最後に使った時間が、交互作業の終了位置を決めます。