中学受験の算数 つるかめ算の三種類—二種類を組にまとめて残りの個数を求める｜武蔵野個別指導塾

同数の赤と青を1組にまとめ、黄2個との点数差から組数を求めます。最後に各色の個数へ戻し、総個数と点数を確かめる手順を追えます。

よくあるのは、3種類の品物を数える問題で、2種類を組にしたところまではよいのに、求めた組の数を品物全体の個数と答えてしまう場面です。1組には品物が2個あります。組にまとめると計算しやすくなりますが、最後には箱の中にある元の品物を数え直さなければなりません。

ここでは、3種類のうち2種類の個数が等しい条件を使います。1個あたりの量と全体の量を手がかりに、組にする前と後で何が変わり、何が変わらないかを追います。品物の個数は0個もありうるものとして、問題ごとに条件を確かめます。

どの数を答える問題か

問い方の1つは、3種類の合計個数と、重さや点数などの合計が与えられ、各種類の個数を求める形です。等しい個数の2種類を1個ずつ組にすると、その2種類の個数は組の数と同じになります。残りの種類の個数は、品物の合計から組に含まれる個数を引いて求めます。

もう1つは、組と残りの品物の合計数が与えられる形です。これは元の品物の合計数とは別です。例えば、4組と残り3個なら、組と残りを合わせた数は7ですが、元の品物は4組に入る8個と残り3個で11個です。何を1つと数えているかを、数字の横に「組」「個」と書いて区別します。

さらに、条件を満たす並べ方があるかを問う場合もあります。割り算の答えが整数にならなかったり、残りの個数が負になったりすれば、品物を分けることはできません。計算が割り切れたとしても、それだけでは足りません。元の合計個数と合計量の両方に戻して確かめます。

2個を1組にする意味

赤い札と青い札が同じ個数あるとします。赤1個と青1個を組に取れば、赤も青も余らず、組の数はそれぞれの札の個数と等しくなります。赤が1個3点、青が1個5点なら、1組は8点です。点数は足せますが、1組の中にある札は2個です。

図1のように、同じ個数の2種類を対応させます。図は対応関係を示す模式図で、線の長さで点数や個数の比を表していません。組に入った2個を1個と数えたわけではなく、2個をまとめて1組と呼んでいます。残りの種類は組に入りません。

図1のように1組の量を足しておくと、組と残りの品物という2つのまとまりで考えられます。ただし、元の品物の合計個数がわかっている場合、組の数と残りの個数を単純に足しても元の合計にはなりません。組の中の2個を数える必要があります。

そこで便利なのが、まず全部を残りの種類と考える方法です。組を1つ作ると、残りの品物2個が、等しい個数の2種類の品物1個ずつに替わります。元の個数は2個のままです。変化する量は「組の量」と「残りの品物2個分の量」の差です。この差が何組分集まったかを考えます。

反対に、元の合計個数ではなく組と残りを合わせた数が与えられるときは、1組を残りの品物1個に置き換えることができます。こちらは数えている単位が組または個なので、1回の置き換えで比べる量も変わります。問題文の合計がどちらなのかが、式を選ぶ分かれ目です。

基本例題：元の個数を保って組を作る

赤、青、黄のカードが合わせて20個あります。赤と青は同じ個数です。赤は1個3点、青は1個5点、黄は1個2点で、全部の点数は56点です。それぞれ何個ですか。答えは整数の個数で示してください。

図2のように、初めは20個すべてを黄と考えます。このとき、20個であることは変えず、点数だけを実際と比べます。赤1個と青1個の組は、黄2個と入れ替えます。

全部が黄なら、点数は次のとおりです。

20 × 2 = 40点

実際は56点なので、仮に全部を黄とした点数より多い点数は、

56 − 40 = 16点

です。赤と青の1組は、

3 + 5 = 8点

です。これに対して、置き換える前の黄2個は、

2 × 2 = 4点

です。したがって、黄2個を赤と青の1組に替えるたびに、点数は、

8 − 4 = 4点

増えます。増えた16点は、この4点が組の数だけ集まったものです。

16 ÷ 4 = 4組

赤は1組に1個、青も1組に1個なので、それぞれ4個です。4組に使った元のカードは、

4 × 2 = 8個

です。残る黄は、

20 − 8 = 12個

となります。答えは赤4個、青4個、黄12個です。

元の場面へ戻して確認します。個数は4 + 4 + 12 = 20個、点数は4 × 3 + 4 × 5 + 12 × 2 = 56点です。赤と青はともに4個で、同数の条件にも合います。4組という途中の答えは、赤と青のカード8個をまとめた呼び名です。20個全体を表してはいません。

標準例題：組と残りを数える

白と黒の部品は同じ個数あり、白1個と黒1個を1組にします。これらの組と金色の部品を合わせると14あります。白は1個4 g、黒は1個7 g、金色は1個5 gで、全部の重さは94 gです。各色の部品は何個ですか。整数の個数で答えてください。

ここで14と数えた対象は、白黒の組と金色の部品です。1組は2個の部品を含みますが、14の中では1つと数えられています。全部を金色14個と考えると、重さは70 gです。白黒の1組は11 gで、金色1個より6 g重くなります。

14 × 5 = 70 g

4 + 7 = 11 g

11 − 5 = 6 g

94 − 70 = 24 g

24 ÷ 6 = 4組

金色は14 − 4 = 10個です。答えは白4個、黒4個、金色10個です。元の部品の総個数は4 + 4 + 10 = 18個で、14ではありません。重さも4 × 4 + 4 × 7 + 10 × 5 = 94 gと戻ります。

基本例題では黄2個と1組を比べました。この例では金色1個と1組を比べています。どちらも「最初に数えたものの数」を保つためです。元の品物の個数を保つのか、組と残りの数を保つのかを、問題文から先に決めます。

発展例題：置き換えると量が減る場合

小箱、中箱、大箱が合わせて24個あります。小箱と中箱の個数は同じです。小箱は1個1 kg、中箱は1個3 kg、大箱は1個4 kgで、全部の重さは76 kgです。それぞれ何個ですか。整数の個数で答えてください。

大箱ばかり24個と考えると、重さは24 × 4 = 96 kgです。小箱と中箱の1組は1 + 3 = 4 kgですが、大箱2個は8 kgです。1組に置き換えるごとに4 kg減ります。実際の重さは仮の重さより96 − 76 = 20 kg軽いので、20 ÷ 4 = 5組です。

小箱と中箱はそれぞれ5個、大箱は24 − 5 × 2 = 14個です。表で元に戻すと、個数は5 + 5 + 14 = 24個、重さは5 × 1 + 5 × 3 + 14 × 4 = 76 kgです。同じ個数という条件も満たします。

増える場合も減る場合も、差の向きをそろえることが大切です。仮の合計から実際まで何だけ変わったかと、1組を作ると何だけ変わるかを、どちらも増加またはどちらも減少で考えます。差が0の場合は、組を増減しても合計量が変わらず、この情報だけでは組の数を決められません。実際の量が仮の量と違うなら、その条件を満たす並べ方はありません。

また、組の数が整数であっても、元の合計の半分を超えれば、組を作るための品物が足りません。例えば合計10個で6組という結果は、組に12個必要なので不可能です。0組や残り0個が問題文の条件で許されるかも確認します。整数でない答えを勝手に丸めることもできません。

組数を全体と取り違えたら

基本例題で「16 ÷ 4 = 4だから、全部で4個」と答えたとします。4は1組を作るたびの増加4点が何回分あるかを表します。つまり4組です。図3のように、4組は赤4個と青4個を含み、さらに黄12個が残ります。

図3のように、組をほどいてから数えると、どこで数え落としたかが見えます。原因は、割り算の答えの単位を書かなかったことです。修正するときは、4組から赤4個、青4個へ戻し、残りの黄12個を加えます。合計20個と56点の両方を再現できれば、組と個を取り違えていないことも点検できます。

別の誤りとして、基本例題で黄1個の2点と組の8点の差を使うことがあります。元のカードの合計20個を保つには、組の2個に対して黄も2個必要です。黄1個と入れ替えると、元の個数が1個増えてしまいます。差を出す前に、入れ替える両側の品物の個数をそろえてください。

手を動かす5問

次の問題では、どの種類も0個を許します。各問の答えは整数の個数で示し、条件を満たす並べ方がない場合は「なし」と答えてください。

1. 赤、青、緑の玉が合わせて18個あります。赤と青は同数です。赤は1個2点、青は1個6点、緑は1個3点で、合計は64点です。各色は何個ですか。
2. 丸形と星形の札は同数で、丸形1枚と星形1枚を1組にします。その組と四角形の札を合わせると12あります。丸形は1枚2点、星形は1枚7点、四角形は1枚4点で、合計は63点です。各形は何枚ですか。
3. 小、中、大の袋が合わせて16個あります。小と中は同数です。小は1個2 kg、中は1個4 kg、大は1個5 kgで、合計は60 kgです。各袋は何個ですか。
4. 赤、白、黒の石が合わせて10個あります。赤と白は同数です。赤は1個1点、白は1個3点、黒は1個2点で、合計は21点です。条件を満たす並べ方はありますか。
5. 花、鳥、魚の絵が合わせて12枚あります。花と鳥は同数です。花は1枚1点、鳥は1枚2点、魚は1枚5点で、合計は18点です。条件を満たす並べ方はありますか。

解答と確かめ

1. 赤5個、青5個、緑8個です。全部を緑にすると18 × 3 = 54点です。赤青1組は8点で、緑2個の6点より2点多いので、(64 − 54) ÷ 2 = 5組です。緑は18 − 5 × 2 = 8個です。個数は5 + 5 + 8 = 18個、点数は5 × 2 + 5 × 6 + 8 × 3 = 64点で、赤と青も同数です。

2. 丸形3枚、星形3枚、四角形9枚です。全部を四角形とすると12 × 4 = 48点です。丸と星の1組は9点で、四角形1枚より5点多いため、(63 − 48) ÷ 5 = 3組です。四角形は12 − 3 = 9枚です。組と四角形は3 + 9 = 12、点数は3 × 2 + 3 × 7 + 9 × 4 = 63点です。丸と星は同数です。

3. 小5個、中5個、大6個です。全部を大にすると16 × 5 = 80 kgです。小中の1組は6 kgで、大2個の10 kgより4 kg軽くなります。(80 − 60) ÷ 4 = 5組、大は16 − 5 × 2 = 6個です。個数は5 + 5 + 6 = 16個、重さは5 × 2 + 5 × 4 + 6 × 5 = 60 kgです。小と中も同数です。

4. なしです。全部を黒にすると10 × 2 = 20点です。赤白の1組は4点、黒2個も4点なので、組を作っても点数は変わりません。どの個数にしても合計は20点で、21点には届きません。0組から5組まで、元の個数を保ったまま同じことがいえます。

5. 花6枚、鳥6枚、魚0枚です。全部を魚にすると12 × 5 = 60点です。花と鳥を1枚ずつ合わせると3点なので、魚2枚の10点から置き換えるたびに点数は7点減ります。(60 − 18) ÷ 7 = 6組ですが、6組には12枚必要で、魚は0枚です。その場合の点数は6 × 1 + 6 × 2 = 18点です。したがって条件を満たす並べ方は花6枚、鳥6枚、魚0枚です。

条件が合わないときも、途中の割り算の結果だけで判断せず、何個必要かを確かめます。例えば組数が0なら、同数の2種類はいずれも0個です。残りの種類だけで合計個数と合計量を作れるかを調べます。残りが0個なら、組に入る品物だけで元の個数が足りるかを見ます。問題文に各種類が少なくとも1個あるという条件があれば、0個を含む結果はその条件に合いません。

覚えておくこと

同数の2種類を1個ずつ組にし、1組の量を足します。 元の個数を保つなら、1組と残りの種類2個を比べます。 組と残りの数を保つなら、1組と残りの種類1個を比べます。 組を元の個数へ戻し、合計個数と合計量を確かめます。

つまずきを見分けるには

お子さまが答えにたどり着かないときは、まず「20個は何を数えた数か」「1組に何個入るか」を言葉や小さな表で確かめます。組と個の違いが言えれば、次に1回の置き換えで増減する量を示してもらいます。計算の速さより、どの2つを比べたかが見えることが手がかりになります。

個別指導では、元の個数を与えた問題と組を含む数を与えた問題を並べ、置き換える相手が2個か1個かを説明できるか確かめます。さらに、求めた個数を問題文の合計と量に戻し、整数や0個の条件も自分で点検できるかを見ます。組をほどけば、3種類の数が元の場面にそろいます。