中3数学 標本調査の抽出と推定—偏りのある選び方を直し割合の見積もりを説明する｜武蔵野個別指導塾

部品箱の上層だけを選ぶ問題から、乱数による抽出と割合による個数推定を考えます。鍵は標本調査です。

よくあるのは、箱の上の層から部品を取り出して調べ、その割合を箱全体に当てはめる場面です。手近な部品なら早く数えられますが、上と下で種類の割合が違えば、調べた結果は箱全体の様子から離れるかもしれません。どの部品を対象とし、どのように選んだかまで書くと、計算結果をどこまで使えるか考えられます。ここでは部品などの個数を推定し、選び方と結果の揺れを調べます。数値と調査条件はすべて学習用に作ったものです。

選び方と見積もりの問い

問われ方には、選び方の問題、標本の割合から全体の個数を求める問題、複数の標本の結果を比較する問題があります。例えば、箱の上から順に取る方法を見たら、計算する前に、下の部品にも選ばれる機会があるかを考えます。取り出したものが多くても、同じ場所に集まっていれば選び方の問題は残ります。

個数の問題では、調べた中の該当する個数を標本の大きさで割り、その割合を母集団の大きさにかけます。割合をかける相手を取り違えないよう、先に「調べた範囲」と「推定したい範囲」を書き分けます。複数の標本があるときには、違う結果が出ること自体を誤計算と決めず、抽出や数え方に問題がないかを見直したうえで、選ばれた部品の違いを考えます。

到達点は、数字を出すことに加え、その数字が推定値である理由を説明することです。学習範囲としては、文部科学省の中学校学習指導要領解説数学編の確定値表に、標本調査が中3の範囲として示されています。

箱全体と取り出した部品を区別する

調べたい対象の集まりを母集団、そこから取り出して調べる対象の集まりを標本といいます。図1のように、箱に入った部品全体が母集団であり、選ばれた部品が標本です。母集団の大きさは箱の部品の総数、標本の大きさは実際に調べた部品の数です。何を1個と数えるか、どの箱を含めるかを先に決めます。

図1では標本は母集団の一部です。箱に別の箱を足したのに母集団の総数を変えなければ、同じ割合を使っても個数の推定先が変わります。また、良品の割合を数えるのか、印のある部品の割合を数えるのかによって、同じ標本から得る数は違います。調べる性質も明示します。

母集団の各部品が選ばれる機会を等しくする選び方を無作為抽出といいます。手で好きなものを選ぶだけでは、目につくものを選びやすいため、無作為になったとはいえません。部品に重ならない番号を付け、乱数を使って番号を選ぶ方法があります。乱数は数字を偶然に任せて得るために用いる数で、番号のどれかを都合よく優先しないように使います。

例えば番号が001から200までなら、3桁の乱数を読みます。001から200の番号を採用し、000や201から999は範囲外として読み飛ばします。選んだ部品を戻さず異なる部品を調べるなら、すでに採用した番号が再び出たときも読み飛ばします。先にこの規則を決めておけば、結果を見てから番号を選び直すことを避けられます。各番号が等しく出る乱数を使うことと、番号を全対象に1つずつ付けることが前提です。

割合による推定は、標本で見た割合が母集団でもおおよそ成り立つとみなす考えです。標本が母集団の縮図と完全に一致すると決めるわけではありません。無作為抽出でも、偶然、該当する部品が多い標本や少ない標本が出ます。したがって推定値は実際の個数そのものではなく、調べた情報に基づく見積もりです。

基本例題と標準例題

次の2題を考えてから解答を読みましょう。いずれも調査条件と数値は自作です。

基本例題。600個の部品が入った箱から、重複なく無作為に40個を選びます。そのうち印のある部品は14個でした。箱全体に印のある部品は何個と推定できますか。整数で答え、割合も分数で示しましょう。

標準例題。240個の部品に001から240の番号を付け、重複なく4個を選びます。3桁の乱数が順に 007、318、042、007、240、000、119 と出ました。範囲外と採用済みの番号は読み飛ばすとき、採用する番号を順に答えましょう。また、この4個のうち印のある部品が1個なら、全体の印のある部品を整数で何個と推定しますか。

基本例題の考え方

図2のように、40個のうち14個という割合を、600個の母集団に当てはめます。14/40は「標本の中で印がある割合」です。600個のうち14個と決まったわけではありません。

標本の割合 = 14/40
= 7/20
推定する個数 = 600 × 7/20
= 210

答えは割合が7/20、推定値が210個です。図2の矢印は、標本の割合を全体に当てはめる方向を表します。逆向きに600を40で割ってから14をかけても同じ210になりますが、先に割合を書くと、何を同じとみなしたかが見えます。

場面に戻して確かめます。210個が600個に占める割合は210/600 = 7/20で、標本の14/40と一致します。これは計算の確認であり、実際に210個ある証明ではありません。標本外の560個を調べていないので、その中の印の個数は確定しないからです。

標準例題の考え方

007は範囲内なので採用、318は240を超えるので読み飛ばします。042は採用し、次の007は採用済みなので読み飛ばします。240は範囲内なので採用、000は範囲外なので読み飛ばし、119を採用します。答えは007、042、240、119です。4個とも異なり、いずれも001から240の範囲にあります。

印のある割合は1/4ですから、推定個数は240 × 1/4 = 60個です。60/240 = 1/4で標本の割合に戻り、計算が場面と整合します。たとえ乱数に同じ番号が何度も現れても、戻さない選び方では同じ部品を複数回数えません。必要な個数に達しなければ乱数の続きを読み、採用規則を途中で変えずに集めます。

発展例題: 揺れと推定の分かれ目

発展例題。800個の部品の箱から、同じ方法でそれぞれ重複なく50個を無作為に選ぶ調査を2回行いました。1回目の標本には印のある部品が15個、2回目には20個ありました。各回の割合を分数で、全体の推定個数を整数で答えましょう。2回の結果が異なる理由と、2回目の結果だけから実際の個数を断定できるかも説明しましょう。2回の間には部品を箱に戻し、箱の中身は変わらないものとします。

1回目の割合は15/50 = 3/10、推定値は800 × 3/10 = 240個です。240/800 = 3/10なので、標本の割合に戻ります。2回目の割合は20/50 = 2/5、推定値は800 × 2/5 = 320個です。320/800 = 2/5で、こちらも元の割合に戻ります。

2回とも決めた方法どおりなら、異なる部品が選ばれたことによる揺れが考えられます。実際の個数は同じでも、標本に印のある部品が入る個数は毎回同じとは限りません。2回目だけから320個と断定することはできません。標本に含まれない750個について、印の有無が直接わかっていないからです。

分かれ目は、結果が異なることと、選び方に偏りがあることを区別できるかです。片方が箱の上層から取った標本なら、無作為な2回の比較とは条件が違います。例えば上層に印のある部品が集まる場合、上層の割合は全体より高くなりえます。差を偶然の揺れだけで説明する前に、範囲、番号、重複の扱いを確かめます。

別の計算として、1回目は50個を16組にした800個に広げると考え、15 × 16 = 240個と求められます。2回目も20 × 16 = 320個です。どちらも標本の割合を保ったまま16倍する方法で、先の割合の式と同じ仮定を使っています。2回の標本には同じ部品が重なる可能性もあるため、2回分の標本を異なる100個として扱うことはできません。重なりの有無を調べずに実際の個数を決めることもできません。

上の層だけを選ぶ誤答を直す

誤答は「箱の上の層から40個を取り、印が14個あった。だから箱全体の600個にも必ず210個ある」です。図3のように、上の層に選ぶ機会が集中すると、下の層の様子が標本に表れません。割合の計算が合っていても、必ずという結論には進めません。

原因は2つあります。まず、上層だけを選ぶと、下層の部品は選ばれる機会を持ちません。次に、無作為に選び直した場合でも、標本の割合と全体の割合は必ず同じではありません。選び方の欠陥と、標本調査に伴う揺れを分けて直します。

例えば上層40個中14個に印があり、残り560個には印がない箱を考えます。このとき実際には14個しかありません。別の箱では上層の40個が同じ状態でも、残り560個のうち200個に印があれば、全体では214個です。上層の観察が同じでも全体が異なるので、上層だけの結果から実際の個数は決まりません。この2つは選び方の条件が欠けた場合を示す反例です。

直すには全600個に番号を付け、範囲外と重複を除く規則を定めて無作為に40個を選びます。調べた結果が14個なら、210個と推定します、と表現します。選び直しの手間が大きくても、都合のよい部品を追加して割合を調整してはいけません。番号の付け忘れがあれば母集団を確認して抽出をやり直します。

乱数の一覧が途中で尽きたり、部品が破損して印を判定できなかったりすることもあります。必要数に足りないまま40個で割ると割合が変わります。乱数を追加する場合も同じ採用規則を守り、判定不能な部品は件数を記録して、当初決めた調査方法に沿って扱います。勝手に印なしと数えたり、結果を知ったうえで別の部品に取り換えたりせず、判定不能が推定に及ぼす影響を示します。

練習: 数を出す前に対象を決める

各問題は自作です。割合は分数、推定個数は整数で答えましょう。計算以外の問いは理由も書きます。

1. 900個のねじから重複なく無作為に60個を選ぶと、印のあるねじは18個でした。印のある割合と全体の推定個数を求めましょう。
2. 350個の留め具から重複なく無作為に70個を選ぶと、丸い印のあるものは14個でした。丸い印のある割合と全体の推定個数を求めましょう。
3. 120個の札に001から120の番号を付け、3個を重複なく選びます。乱数が順に 050、000、050、121、003、120 と出たとき、採用番号を順に答えましょう。
4. 500個の部品から重複なく無作為に25個を選ぶ調査を2回行い、箱に戻しました。印のある部品は順に5個、8個でした。各回の割合と全体の推定個数を求め、違う推定値になった理由を1つ述べましょう。
5. 400個の部品が入る箱の手前から20個を取り、青い印が6個ありました。全体に青い印が必ず120個あるという結論の問題点を述べ、選び方を改めましょう。なお、手前と奥の割合は同じと決まっていません。

練習の答えと解き方

1. 18/60 = 3/10、900 × 3/10 = 270個です。270/900 = 3/10となり、標本の割合に戻ります。270個は推定値であり、全数を数えた結果ではありません。
2. 14/70 = 1/5、350 × 1/5 = 70個です。70/350 = 1/5となります。問題の70個は標本の大きさと推定個数の両方に現れますが、意味は異なります。
3. 050、003、120です。000と121は範囲外、2回目の050は採用済みです。採用した3番号は互いに異なり、いずれも001から120に入ります。
4. 1回目は5/25 = 1/5で、500 × 1/5 = 100個です。2回目は8/25で、500 × 8/25 = 160個です。100/500 = 1/5、160/500 = 8/25とそれぞれ元の割合に戻ります。選ばれた部品が異なるため、標本の割合が揺れたことが理由として考えられます。どちらの推定値も実際の個数と決まったわけではありません。
5. 手前の部品は選ばれますが、奥の部品には選ばれる機会がありません。手前と奥の割合が違う可能性があるので、6/20を全体の確定した割合とはいえません。全400個に番号を付け、範囲外と重複を除いて乱数で20個を選びます。その標本での割合を400にかけて推定し、結果を実際の個数と断定せずに述べます。

要点を手元に残す

母集団と標本の範囲、調べる性質を先に決めます。
各対象に等しい選択の機会があるよう番号と乱数を使います。
標本の割合を母集団の大きさにかけて個数を推定します。
推定値を全体の数で割り、標本の割合に戻して計算を確かめます。
標本の揺れがあるため、推定値を実際の個数と断定しません。

答案のどこから見直すか

お子さまが式を立てられないときは、数字の横に「全体」「調べた数」「印の数」と書き、割合の分母がどれかをたどります。式は立つのに結論を断定してしまうときは、調べていない部品がどれだけあるかを示し、その印の有無を標本だけで決められるかを問い直します。

個別指導で確かめるなら、まず選択された番号の行に戻り、範囲外と重複を除いた理由を説明してもらいます。次に、推定値を全体の個数で割る行を見て、標本の割合と一致するかを一緒に確かめます。正しい計算ができても、上層に限る選び方なら推定の根拠が弱いと説明できるかが分かれ目です。箱のどこにも選ばれる機会を用意し、見積もりに残る揺れまで言葉にできます。