中3数学 三平方の定理とその逆—面積の関係を根拠に直角と斜辺を判断する｜武蔵野個別指導塾

4枚の直角三角形の面積から三平方の定理を導き、最長辺の二乗を使って直角を判定します。

よくあるのは、3辺の長さが並んだところで、最長辺を確かめず二乗の和を作るという場面です。直角がある図では斜辺に注目しますが、直角かどうかを調べる図では、まだ斜辺があると決められません。そこで最長辺を選び、残る2辺との関係を調べます。同じ等式でも、出発点が直角なのか、辺の長さなのかで、説明の順序が変わります。

何が与えられているかで道が分かれる

まず、直角三角形の2辺から残る辺を求める型があります。直角の向かいにある斜辺を見つけてから式を立て、長さが正であることを使って答えを選びます。求める辺が斜辺か、それ以外かで、二乗の和を求めるか差を求めるかも変わります。

次に、3辺の長さから直角三角形かどうかを判断する型があります。このとき直角を先に仮定することはできません。最長辺の二乗と、他の2辺の二乗の和が等しいかを比べ、等しければ定理の逆を使います。等しくなければ、その三角形は直角三角形ではありません。

もう1つは、文字や根号を含む辺について、直角になる条件を求める型です。方程式を解いた後に、辺が正であること、3辺が三角形を作ること、調べた辺が実際に最長であることまで戻って確かめます。式が作れても条件に合わない値を答えに残すと、図の判断は終わっていません。

面積から等式へ、等式から直角へ

直角三角形で、直角をはさむ2辺をa、b、直角の向かいの辺をcとします。cを斜辺と呼びます。斜辺は直角三角形の最長辺です。三平方の定理は、直角をはさむ2辺の二乗の和が斜辺の二乗に等しい、つまりa² + b² = c²と述べます。辺の長さそのものの和ではなく、それぞれを一辺とする正方形の面積の関係です。

図1のように、一辺がa + bの正方形の内側に、直角をはさむ辺がa、bの合同な直角三角形を4枚置きます。各辺の長さcが内側の四角形の辺です。三角形の2つの鋭角の和は90°なので、内側の四角形の各角も90°です。4辺はどれもcですから、内側は一辺cの正方形になります。

図1の外側全体の面積は(a + b)²です。4枚の三角形の面積は合わせて4・ab/2 = 2ab、中央はc²です。重なりやすき間がないので、同じ全体の面積について次の等式が得られます。

(a + b)² = 2ab + c²
a² + 2ab + b² = 2ab + c²
a² + b² = c²

この証明で使った直角は、外側の正方形の角と中央の四角形の角を確定するために必要です。面積の図を数値で確かめることは理解の助けになりますが、ある1組の数で等式が成り立つことは一般の証明にはなりません。文字a、bを使い、条件を満たす任意の直角三角形について説明することに意味があります。

逆は向きが反対です。3辺の長さがa、b、cで、a² + b² = c²ならば、その三角形はcを向かいの辺とする角が直角です。なぜ言えるかを考えます。長さa、bを直角にはさむ別の直角三角形を作り、その斜辺をdとします。定理からd² = a² + b²です。仮定によりc²も同じ値で、cとdはともに正なのでc = dです。3組の辺がそれぞれ等しいため、元の三角形と作った直角三角形は合同です。対応する角も等しく、元のcの向かいの角は直角です。

等式ではc² = a² + b²なので、正の長さについてcはa、bのどちらよりも長くなります。したがって逆を調べるときは最長辺を候補にします。ただし、最長辺であることだけでは直角と決まりません。二乗の和が等しいかという条件も必要です。また、最初から3本の線分が三角形を作るとは限りません。長さを与える問題では、短い2辺の和が最長辺より大きいかも確かめます。

3つの問題で条件を使い分ける

次の3問を先に読んで、それぞれ何が既知かを分けてみましょう。長さはすべて正とし、答えは整数または根号を使って正確に表します。

基本問題

直角三角形ABCは角Aが直角で、AB = 6 cm、AC = 8 cmです。BCの長さを求めてください。

標準問題

3辺が7 cm、24 cm、25 cmの三角形があります。直角三角形かどうかを判定し、直角があるなら、どの長さの辺の向かいかを答えてください。

発展問題

3辺が3 cm、4 cm、x cmの三角形で、xは4より長いものとします。この三角形が直角三角形となるxを求めてください。また、xが4より長いという条件を外すと、別の値があるか調べてください。

基本問題の解き方

角Aが直角なので、図2のように直角の向かいのBCが斜辺です。ABとACは直角をはさむ2辺ですから、BCをx cmとして定理を使います。

6² + 8² = x²
36 + 64 = x²
x² = 100
x = 10

xは辺の長さなので正です。二乗が100になる数のうち、負の数は長さとして採用しません。答えは10 cmです。図2の元の条件に戻すと、6² + 8² = 100 = 10²です。また6 + 8 > 10なので、3辺は三角形を作れます。定理を使う前に直角が与えられていることと、結果が元の2辺に合うことを区別して確認します。

斜辺ではない辺を求めるときは、同じ式を逆向きに使います。例えば直角をはさむ一方の辺が6 cm、斜辺が10 cmなら、もう一方の辺の二乗は10² − 6²です。長さを足したり引いたりするのではなく、二乗した量を移項してから正の平方根を取ります。

標準問題の解き方

直角は与えられていないため、定理を使って直角だと仮定するのではなく、逆の条件を調べます。最長辺は25 cmで、残りは7 cmと24 cmです。

7² + 24² = 49 + 576
7² + 24² = 625
25² = 625

最長辺の二乗と他の2辺の二乗の和が等しいので、定理の逆から直角三角形です。直角は25 cmの辺の向かいにあります。7 + 24 > 25で、与えられた3辺は三角形を作ります。判定後に25 cmが斜辺になり、7 cmと24 cmが直角をはさむ辺になっていることも、元の場面への確認です。

この判定で、7² + 25²と24²を比べる必要はありません。もし24 cmを斜辺とみなせば、25 cmのほうが長く、斜辺が最長辺という性質に反します。まず候補を絞ることで、等式の各項がどの辺を表すかが明確になります。

発展問題の解き方と分かれ目

最初はx > 4なので、3辺のうちxが最長です。直角になるためには、定理から次の等式が必要です。

3² + 4² = x²
9 + 16 = x²
x² = 25
x = 5

xは長さなので正の5を選びます。逆にx = 5なら3² + 4² = 5²で、3 + 4 > 5です。3辺は三角形を作り、定理の逆から5 cmの辺の向かいが直角です。5 > 4も元の条件に合います。必要な式を解くだけでなく、得られた値で実際に直角三角形が作れることまで確かめました。

x > 4を外すと、4 cmが最長辺となる場合もあります。4 cmを斜辺とするには、3² + x² = 4²です。

9 + x² = 16
x² = 7
x = √7

√7は正で、二乗が7です。また7 < 9より√7 < 3、7 > 1より√7 > 1です。よって3 + √7 > 4で三角形を作り、4 cmが最長辺です。3² + (√7)² = 16 = 4²なので、逆から4 cmの辺の向かいが直角です。元のx > 4には合いませんが、その条件を外した問いには加わります。

xが3や4と等しい場合を含め、ほかの可能性も考えます。斜辺は直角をはさむそれぞれの辺より長いので、3 cmが最長になることは、4 cmの辺がある以上ありません。最長の候補はxか4 cmで、調べた2つの式がそれらに対応します。同じ長さの辺が最長に並ぶ場合も斜辺の性質に反するため、別の答えはありません。

誤答を直すときは何を戻すか

図3の三角形の3辺は5 cm、12 cm、13 cmです。「5² + 13² = 12²を調べる」と書いた答案を考えます。この式の左辺は194、右辺は144で等しくありません。しかし、その不一致から直角ではないと結論することはできません。13 cmが最長なのに、12 cmを斜辺の候補として扱ったからです。

図3では、まず13 cmを丸で囲むつもりで見つけ、他の2辺の二乗の和と比べ直します。5² + 12² = 25 + 144 = 169、13² = 169です。5 + 12 > 13も満たすので、定理の逆から13 cmの辺の向かいが直角です。誤りは計算より前の、比較する辺の選び方にありました。

反対に、最長辺を選んでも、等式の確認を省いてはいけません。例えば4 cm、5 cm、6 cmの3辺は4 + 5 > 6で三角形を作りますが、4² + 5² = 41、6² = 36で等しくありません。仮に直角三角形なら最長の6 cmが斜辺で、定理によって両者は等しいはずです。等しくないので、この三角形は直角三角形ではありません。数が近いかどうかではなく、正確に等しいかで判定します。

別の誤りとして、斜辺を求める式x² = 18からx = 9とする場合があります。9は18の半分であって、二乗して18になる数ではありません。正の長さはx = 3√2です。(3√2)² = 9・2 = 18と戻して確かめると、平方根の取り違えを見つけられます。逆に二乗から元の長さに戻るときは、正負と根号の両方を点検します。

練習問題

次の5問の長さは正です。長さの答えは整数または根号を使い、面積は整数で正確に表してください。直角を判定する問題では、理由と、直角がある場合はその向かいの辺も答えます。

1. 直角三角形で、直角をはさむ2辺が5 cmと9 cmです。斜辺の長さを求めてください。
2. 直角三角形の斜辺が17 cm、直角をはさむ一方の辺が8 cmです。他方の辺の長さと、この三角形の面積を求めてください。
3. 3辺が8 cm、15 cm、17 cmの三角形は直角三角形ですか。
4. 3辺が6 cm、7 cm、10 cmの三角形は直角三角形ですか。
5. 3辺が2 cm、5 cm、y cmの三角形で、yは5より長いものとします。直角三角形になるyを求めてください。

練習の答えと確かめ

1. 斜辺をp cmとすると、p² = 5² + 9² = 106です。pは正なのでp = √106 cmです。戻して(√106)² = 106 = 25 + 81です。また106 < 196なので√106 < 14 = 5 + 9で、三角形の辺としても合います。根号を小数に直さず、二乗で確かめられます。

2. 他方の辺をq cmとすると、8² + q² = 17²です。q² = 289 − 64 = 225より、正のq = 15 cmです。面積は8・15/2 = 60 cm²です。8² + 15² = 289 = 17²と戻し、面積も直角をはさむ2辺を底辺と高さにして確認します。8 + 15 > 17です。

3. 最長辺は17 cmです。8² + 15² = 64 + 225 = 289、17² = 289なので、逆から直角三角形です。17 cmの辺の向かいが直角です。8 + 15 > 17で3辺は三角形を作り、判定後の斜辺も元の最長辺と一致します。

4. 最長辺は10 cmです。6² + 7² = 36 + 49 = 85で、10² = 100とは等しくありません。直角三角形なら定理によって等しいはずなので、直角三角形ではありません。6 + 7 > 10ですから、三角形そのものは作れます。三角形にならない場合と、三角形にはなるが直角ではない場合を区別します。

5. y > 5によりyが最長辺です。直角になるならy² = 2² + 5² = 29なので、y = √29 cmです。29 > 25より√29 > 5、29 < 49より√29 < 7 = 2 + 5です。元の長さの条件と三角形になる条件を満たし、(√29)² = 2² + 5²です。逆によって、この値でyの辺の向かいが直角になります。

手元に残す要点

• 直角が既知なら、斜辺の二乗は他の2辺の二乗の和です。
• 直角を調べるなら、最長辺の二乗と他の2辺の二乗の和を比べます。
• 等しければ逆を使い、直角は最長辺の向かいと示します。
• 根号を含む長さは正であることと二乗して元に戻ることを確認します。
• 求めた値は三角形の成立や問題の条件にも戻します。

答案のどこで迷っているか

お子さまの答案を見るとき、最初に数値を代入した行を隠し、図の直角とその向かいを指せるかを確かめると、斜辺の選び違いが見えます。直角が与えられていない問題なら、最長辺を選んだ印と、二乗の比較が書かれているかを見ます。式の値が合っていても、「定理」なのか「逆」なのかを言葉で結べなければ、条件から結論への向きが曖昧なままです。

個別指導で確かめる場合も、答えの数字をすぐ直すより、どの辺を斜辺の候補にしたか、なぜその候補でよいかを尋ねます。根号の行で止まったら、その数を二乗して直前の値に戻るか一緒に追います。最後に問題文の長さや大小の条件に戻れば、計算の正しさと図形の成立を別々に確かめられます。