中3数学 二次方程式の平方根による解法—平方の形へ整える操作と正負を追う｜武蔵野個別指導塾

分数係数も含め、両辺に同じ数を加えて解くには平方完成です

よくあるのは、二次方程式の左辺を平方の形にしたくて数を足し、その数を右辺には足さないまま先へ進む場面です。見た目はきれいな二乗の式になっても、元の等式とは違う条件を解いています。どの数を足すかと、なぜ両辺に足すかを分けて考えると、その行の意味を追えます。平方根を使うときには、最後に正負の両方が必要かも調べます。

平方の形が見える3つの問い

まず、x² = k のように文字の二乗が単独で現れる問いがあります。kが正なら二乗してkになる数は正と負の2つです。kが0なら0の1つ、kが負なら実数の範囲に解はありません。符号を見ずに平方根を書き始めると、存在しない解を書いたり、同じ解を2回数えたりします。

次に、(x + p)² = q のように括弧全体の二乗が現れる問いがあります。このとき平方される量はxではなくx + pです。まずその量について正負を考え、それぞれからxを求めます。括弧の中の数を移すのは、その後です。

さらに、x² + bx のような式から平方の形を作る問いがあります。xの係数の半分を見つけて平方を補い、等式を保ちながら右辺も整えます。x²の係数が1でない場合は、両辺をその係数で割ってから同じ考え方を使います。目標は答えを出すことに加えて、各行が元の方程式と同じ解を持つ理由を言えることです。

足りない平方を見つけ、等式を保つ

平方完成とは、x² + bx などを、一次式の二乗を含む形に整える操作です。展開の公式から、任意の数pについて次の関係が成り立ちます。

(x + p)² = x² + 2px + p²

xの係数をbに合わせるには、2p = bとなればよいので、pはbの半分です。そのpを二乗したp²を加えると、x² + bx + p²が(x + p)²になります。たとえばxの係数が負ならpも負です。係数を半分にした後で二乗するので、加えるp²は負になりません。

図1のように、左辺にp²を加えたら右辺にも同じp²を加えます。両辺が等しい状態に同じ数を足しても等しさは保たれ、逆に両辺からその数を引けば元へ戻れます。したがって、新しい解を作ったり元の解を失ったりしない変形です。

図1のb/2はxの係数の半分で、(b/2)²が両辺に加える数です。左辺だけの式を変形したいときには、足した同じ数を左辺から引けば値を保てます。たとえばx² + bx = (x + b/2)² − (b/2)²です。方程式では、両辺に足す方法と、この等式を使う方法が同じ結果につながります。

平方根を取る段階では、(x + p)² = qの左辺が0以上であることを使います。qが正ならx + p = √qまたはx + p = -√q、qが0ならx + p = 0です。qが負なら、どんな実数を二乗しても負にならないので解はありません。ここでの「解」は実数の範囲で考えます。

基本例題：両辺に9を加える

例題1。方程式x² + 6x = 7を解き、解を整数で答えてください。

xの係数6の半分は3で、その二乗は9です。図2のように左右へ9を加えると、左辺に(x + 3)²が現れます。括弧全体を1つの数と見て、その平方が16となる正負の値を考えます。

x² + 6x = 7
x² + 6x + 9 = 7 + 9
(x + 3)² = 16
x + 3 = 4 または x + 3 = -4
x = 1 または x = -7

答えはx = 1、-7です。図2の2本の矢印は、平方が16となる括弧の値を両方残すことを示しています。最初の式に戻すと、1の場合は1² + 6・1 = 7、-7の場合は(-7)² + 6・(-7) = 49 − 42 = 7です。どちらも与えられた右辺に一致します。

ここで16の正の平方根は4ですが、二乗して16になる数を求めるときは4と-4の両方が必要です。「平方根の記号√16が表す値」と「二乗が16になる数」を区別すると、正負の抜けを防げます。元の等式に戻しても両方が成り立つことは、その区別の確認にもなります。

標準例題：先に係数を1にする

例題2。方程式2x² − 4x − 3 = 0を解き、解を根号を使って正確に答えてください。

まず定数を右へ移し、両辺を0でない2で割ります。割り算を戻す操作は両辺に2を掛けることなので、この段階でも解は変わりません。その後、xの係数-2の半分である-1を使います。

2x² - 4x - 3 = 0
2x² - 4x = 3
x² - 2x = 3/2
x² - 2x + 1 = 3/2 + 1
(x - 1)² = 5/2
x - 1 = √(5/2) または x - 1 = -√(5/2)
x = 1 + √10/2 または x = 1 - √10/2

√(5/2) = √10/2です。右辺は正で、二乗すると10/4 = 5/2になるためです。答えはx = 1 + √10/2、1 − √10/2です。分数の係数が出ても、半分にする対象は、x²の係数を1にした後のxの係数です。

検算には元の左辺を使います。どちらの値でもx − 1 = ±√10/2なので、(x − 1)² = 5/2です。元の左辺は2(x − 1)² − 5と変形でき、2・(5/2) − 5 = 0になります。括弧を使った検算は、根号を含む2つの値を近似せずに確かめる方法です。

なお、最初の2x² − 4xをそのまま眺めて、係数-4の半分の-2を括弧に入れると、2(x − 2)²のxの係数は-8となり一致しません。まず2をくくってから括弧の中を見る方法でも、先に両辺を2で割る方法でも、括弧内の係数を基準にします。

発展例題：右辺の符号で解の個数が変わる

例題3。cを実数とします。方程式x² − 4x + c = 0が実数の解を何個持つか、cの値の範囲ごとに分けて答えてください。解がある場合は、cを使った正確な式でも答えてください。

cを右辺へ移し、xの係数-4の半分である-2の二乗を両辺へ加えます。ここまではcの値に関係なく、同じ数の移動と加法で元に戻せる変形です。

x² - 4x + c = 0
x² - 4x = -c
x² - 4x + 4 = 4 - c
(x - 2)² = 4 - c

右辺が正、0、負のどれかによって、次の3通りに分かれます。

• c < 4なら4 − c > 0です。x − 2 = ±√(4 − c)なので、解はx = 2 + √(4 − c)、2 − √(4 − c)の異なる2個です。
• c = 4なら右辺は0です。x − 2 = 0なので、解はx = 2の1個です。
• c > 4なら右辺は負です。左辺は実数の二乗なので0以上となり、解はありません。

境界のc = 4を正の場合に混ぜないことが重要です。√(4 − c)が0になると、正と負の表記から同じ値が出ます。2本の式を書けても、異なる解の個数は1個です。

別の書き方として、左辺をそのまま(x − 2)² + c − 4に変形してもよいです。等式を(x − 2)² = 4 − cへ戻せば、同じ分岐が得られます。どちらの方法でも、平方を作るために加えた4を相殺する操作が必要です。

解を元の式に戻して確かめます。c < 4では、2つの値のどちらも(x − 2)² = 4 − cを満たすので、元の左辺(x − 2)² + c − 4は0です。c = 4のときは2² − 4・2 + 4 = 0です。c > 4のときは元の左辺が(x − 2)² + c − 4となり、0以上の数に正の数を足すため0にはなりません。解がない場合も、元の条件まで戻って確かめられます。

等式が崩れる行と、正負が消える行

例題1に対して、次のように左辺に9を足す一方、右辺を7のままにする誤答を考えます。

x² + 6x = 7
x² + 6x + 9 = 7

2行目の左辺は元より9大きいのに、右辺は元のままです。両辺に同じ操作をしたことにならず、等式は保たれません。図3のように右辺にも9を足すと、左辺を平方にまとめた後の右辺は16になります。

図3の誤った行からは(x + 3)² = 7が得られますが、それは元の方程式と別の条件です。実際、元の解x = 1をこの行へ入れると左辺は16、右辺は7となり、等しくありません。形が平方になったことだけでは、元の等式と同じ意味である保証にはなりません。

もう1つの誤りは、(x + 3)² = 16からx + 3 = 4だけを書くことです。これではx = -7を落とします。逆に、右辺が0の場合に「正負だから異なる2個」と数えることも誤りです。二乗する前の数を文字で置き、二乗後の数の符号に応じて候補を数えます。

また、左辺に足す数をxの係数の半分そのものとする誤りにも注意します。係数が6なら半分は3ですが、(x + 3)²を展開した定数は9です。係数を半分にして括弧に入れ、その数の二乗を両辺に加える、と2段階で記録すれば区別できます。

分数と負の右辺を読む小さな確認

x²の係数が1でも、xの係数が分数なら半分にする操作を丁寧に書きます。たとえばx² + (3/2)x = 1では、括弧に入れる数は3/4です。その二乗9/16を両辺に加えると、(x + 3/4)² = 25/16となります。したがって括弧の値は5/4または-5/4で、xは1/2または-2です。分母も含めて半分にし、さらに分子と分母をそれぞれ二乗します。

この2つの値を初めの式へ戻すと、1/2では1/4 + 3/4 = 1、-2では4 − 3 = 1です。途中で分数が出ることと、解に分数が含まれることは別です。途中の値を小数に丸めず分数のまま残すと、元の式と正確に照合できます。

平方の右辺が負の場合は、根号をつけて先へ進まず、そこで実数の解がないと判断します。たとえば(x − 5)² = -2では、括弧の中が正でも負でも0でも、二乗は0以上なので-2に届きません。一方、(x − 5)² = 0なら括弧の中が0となるx = 5が解です。負と0の境目を分けることで、解がない場合と1個ある場合を混同しません。

平方完成の手順が長く感じられるときは、各行に「移す」「割る」「同じ数を足す」「平方根を取る」と役割を付けてみます。たとえば両辺を割る行では、割る数が0でないことを確かめます。平方根を取る行では、括弧を解く前に右辺の符号を見ます。操作ごとに条件を確かめると、間違いを見つけた際に戻る場所が明確になります。

練習：5つの式で操作を選ぶ

次の5問を解いてください。解があるときは整数、分数、根号を用いて正確に表し、実数の解がない場合はその旨を答えます。計算の途中には、両辺へ加えた数と正負の分岐を書いてください。

1. x² = 18
2. (x + 2)² = 25
3. x² − 8x + 7 = 0
4. 3x² + 3x − 2 = 0
5. x² + 2x + 5 = 0

練習の答えと確かめ

1. 18は正なので、x = ±√18 = ±3√2です。3√2は正で、その二乗は9・2 = 18です。負の値も二乗すると18となり、元の条件を満たします。

2. 括弧の値は5または-5です。x + 2 = 5からx = 3、x + 2 = -5からx = -7です。元に戻すと、(3 + 2)² = 25、(-7 + 2)² = 25となります。

3. 定数を移し、-8の半分-4の二乗を加えます。

x² - 8x = -7
x² - 8x + 16 = -7 + 16
(x - 4)² = 9
x - 4 = 3 または x - 4 = -3
x = 7 または x = 1

元の左辺は7の場合49 − 56 + 7 = 0、1の場合1 − 8 + 7 = 0です。2つとも元の方程式の解です。

4. 両辺を3で割ってから、xの係数1の半分の二乗を加えます。

3x² + 3x = 2
x² + x = 2/3
x² + x + 1/4 = 2/3 + 1/4
(x + 1/2)² = 11/12
x + 1/2 = ±√(11/12)
x = -1/2 ± √33/6

√33/6は正で、二乗は33/36 = 11/12です。元の左辺は3(x + 1/2)² − 11/4と書けます。いずれの解でも3・(11/12) − 11/4 = 0となり、元の方程式を満たします。

5. xの係数2の半分の二乗を両辺に加えます。

x² + 2x = -5
x² + 2x + 1 = -5 + 1
(x + 1)² = -4

実数の二乗は負にならないので、実数の解はありません。元の左辺は(x + 1)² + 4であり、どの実数xについても0より大きいため、元の条件も満たせません。

手元に残す要点

• xの係数の半分を括弧に入れ、その二乗を両辺に加えます。
• x²の係数が1でないときは、0でない係数で両辺を割れます。
• 平方の右辺が正、0、負の順に、実数の解は2個、1個、0個です。
• 正負は括弧全体につけ、最後に元の式へ戻します。

答案のどの行に戻るか

お子さまが答えを1個しか書けなかったとき、すぐに計算をやり直すより、平方の形になった行と、その次の行を並べて見ます。右辺が正なのに括弧の値が正しか書かれていなければ、同じ正の数を二乗で作る負の値を探します。右辺が0なら、正負を2個と数えていないかを確かめます。

途中で元の式に合わなくなった場合は、平方を作った行の左右を見比べます。加えた数を指で示し、左右に同じ数があるか、係数を半分にしてから二乗したかを順にたどります。個別指導で確認するときも、誤った行から1つ前へ戻り、なぜその操作で等しさが保たれるかを言葉にすると、次の式にも使えます。平方完成は、等式の両側をそろえるところから始まります。