中3数学 二次方程式と因数分解—積がゼロになる条件から解を落とさず求める｜武蔵野個別指導塾

積が0になる条件を因数ごとに調べ、文字で割る行で失われる0の解を、元の方程式への代入とともに追います。

よくあるのは、二次方程式の両辺をxで割った行で、0の解が消えるという場面です。割った後の式を正しく解いても、元の式を満たす値が答案に残らないことがあります。どの操作なら元に戻せるのか、どの値を除いているのかを見ながら、因数分解で解を探します。

積の形に向かう3つの道

方程式を解くとは、文字に代入すると等式が成り立つ数を探すことです。解を求めたつもりでも、余分な値が混ざったり、必要な値が抜けたりすれば、元の方程式の答えとしては不十分です。計算の各行で、成り立つxの範囲がどう変わるかを意識します。

出方の1つは、右辺が0で、左辺がすでに2つの式の積になっている形です。それぞれの因数が0になる場合を調べます。もう1つは、左右に項があり、まず両辺から同じ式を引いて右辺を0にする形です。左辺を整理してから積に直します。さらに、各項にxが共通している形では、xをくくると0を含む候補を見落とさずに進めます。

到達点は、因数分解の形を書くだけではありません。積が0ならどちらかの因数が0になる理由を説明し、出た値を元の左右の式に代入して、候補が条件を満たすことまで確認します。ここでは因数分解を使える式を扱い、平方の形や解の公式による解法には立ち入りません。

0になる積と元に戻せる変形

積を作るそれぞれの数や式を因数といいます。2つの数A、Bについて、Aが0ならABは0ですし、Bが0でもABは0です。逆に、どちらも0でなければ、その積は0になりません。したがって、AB = 0と、A = 0またはB = 0は同じ条件です。「または」は両方が0となる場合も含みます。

図1のように、積が0になる入口を2つに分けて考えます。文字を含む因数でも、xに値を入れた後は数ですから、同じ考えが使えます。2つの因数が同時に0になる場合もあり、そのときは同じ解を重ねて数えません。

例えば、(x − 2)(x + 3) = 0なら、x − 2 = 0またはx + 3 = 0です。候補は2と-3で、どちらを入れても片方の因数が0です。一方、積が6なら、因数の一方を0にするという判断は使えません。実際、2と3の積は6ですが、どちらも0ではありません。右辺を0にそろえる必要がここにあります。

両辺に同じ数や式を足す操作は、その同じものを両辺から引けば元に戻せます。両辺から同じものを引く操作も同様です。0でない数を両辺に掛ける、またはその数で割る操作も、逆の操作で戻せます。このような変形では、元の等式を満たすxと変形後の等式を満たすxが一致します。

ただし、文字を含む式で割るときは、その式が0になる値を最初から除きます。0では割れないからです。その値が元の方程式の解かもしれないため、除いたまま進むと解を失います。候補を元の式に代入する検算は余分な答えを見つけられますが、書き落とした候補を自動的に発見することはできません。解の漏れは変形の各行を逆向きにもたどって調べます。

積の規則を反対向きにも確かめます。A = 0という条件を満たす値は、Bがどんな数でもAB = 0を満たします。B = 0の場合も同じです。したがって、因数ごとに解いた値を合わせれば、積の方程式の候補を過不足なく集められます。これは、片方の条件を満たす値が必ずもう片方も満たす、という意味ではありません。

たとえば(x − 2)(x + 3)でx = 2なら第1因数は0ですが、第2因数は5です。x = -3なら第1因数は-5、第2因数は0です。両方の式を同時に満たす必要があると考えると、どちらの値も不当に捨ててしまいます。「または」を「かつ」と取り違えていないかも、答案の分岐で確認します。

さらに、0を掛ける操作は逆向きに戻せません。両辺に0を掛ければ、もとの左右が異なる数であっても0 = 0となります。この等式から元の条件を復元できないため、無関係な値まで紛れ込むおそれがあります。文字の式を両辺に掛ける場合も、その式が0となる値では同じ問題が起こります。安全に使える操作かどうかは、操作する量が0かどうかと、逆操作ができるかを合わせて判断します。

基本例題：左右をそろえてから分ける

次の方程式を解き、解を整数で答えます。

x² + 2x = 15

まず両辺から15を引きます。左辺はx² + 2x − 15、右辺は0です。積が-15、和が2になる整数の組は5と-3なので、左辺を因数分解します。図2のように、右辺を0にした後で2つの因数をそれぞれ0と置きます。

x² + 2x = 15
x² + 2x - 15 = 0
(x + 5)(x - 3) = 0
x + 5 = 0 または x - 3 = 0
x = -5 または x = 3

展開すると(x + 5)(x − 3) = x² + 2x − 15なので、因数分解の行を確かめられます。-5を元の左辺に代入すると25 − 10 = 15です。3なら9 + 6 = 15です。いずれも元の右辺と一致します。逆に、この2つ以外では両因数がともに0でないため、積は0になりません。代入による確認と、漏れがない理由は役割が異なります。

右辺が15のままx² + 2xをx(x + 2)と直し、各因数を0にすると別の方程式を解いてしまいます。積が0になる条件は、積そのものが0と等しいときに使います。移項の符号に不安があれば、両辺から15を引く操作を声に出して追い、右辺が15 − 15で0になることを確認します。

標準例題：共通因数を残す

次の方程式を解き、解を整数で答えます。

2x² = 8x

両辺から8xを引くと、左辺の2項に共通する2xが見えます。2は0ではないので、2x = 0はx = 0と同じです。途中でxを割らず、因数として残します。

2x² = 8x
2x² - 8x = 0
2x(x - 4) = 0
2x = 0 または x - 4 = 0
x = 0 または x = 4

x = 0では元の両辺がともに0です。x = 4では左辺が2・16 = 32、右辺が8・4 = 32です。どちらも元の条件を満たします。2x(x − 4)を展開すれば2x² − 8xに戻るので、くくり出しの符号も確認できます。

別の道として、先に0でない2で両辺を割り、x² = 4xからx(x − 4) = 0としても同じ解が出ます。2で割る操作はどのxでも元に戻せますが、xで割る操作はx = 0で使えません。割る対象が定数なのか、0になりうる文字の式なのかを見分けることが分かれ目です。

発展例題：共通因数と同じ解の重なり

次の方程式を解き、解を整数で答えます。条件を変えた場合も比べます。

3x² - 12x = -12

両辺に12を足し、共通する3をくくってから括弧の中を因数分解します。3は0ではないので、積が0になるのは残りの因数が0になるときです。

3x² - 12x = -12
3x² - 12x + 12 = 0
3(x² - 4x + 4) = 0
3(x - 2)(x - 2) = 0
x - 2 = 0
x = 2

2つの因数は同じですから、2つの道から同じ値2にたどり着きます。答えを2と2の2種類とは数えません。元の式へ戻すと、左辺は3・4 − 12・2 = -12で、右辺の-12と一致します。

別の進め方は、最初に両辺を3で割る方法です。x² − 4x = -4となり、両辺に4を足すと(x − 2)(x − 2) = 0に進みます。どちらの方法も、0でない定数で割るか、同じ数を両辺に足すかの操作です。元に戻す操作があり、途中でxの値を除いていません。

これを3x² − 12x = 0に変えると、3x(x − 4) = 0です。今度の因数は異なり、0と4という2つの解が出ます。0なら元の両辺は0、4なら左辺は48 − 48で0です。右辺の条件を変えただけで因数の形と解が変わるため、似た見た目の式の答えを移し替えず、その式で右辺を0にします。

消えた0を答案に戻す

次の誤答を考えます。標準例題の2x² = 8xを、両辺とも2xで割ってx = 4とする答案です。x = 4は確かに元の式を満たします。しかしx = 0も満たすので、この答案は不完全です。

図3のように、割る直前にはx = 0の可能性があります。2xで割った行は、2xが0でない場合にしか正当化できません。0でない場合の答えが正しくても、それだけで0の場合を調べたことにはなりません。

修正する方法は2つあります。1つは前の標準例題のように2xをくくり、積が0になる条件で分ける方法です。もう1つは割る前にx = 0とxが0でない場合を分ける方法です。前者では0を元の式へ代入して解と確かめ、後者では2xで割ってx = 4を得ます。両方を合わせて0と4です。

文字で割ることが常に誤りなのではありません。例えばxが0でないと問題の条件で与えられていれば、その範囲でxで割ることはできます。ただし、その条件がない方程式で勝手に0を除くことはできません。また、x − 1で割る場合もx = 1を別に確認する必要があります。割る式が複雑になっても、0になる値を調べるという点は同じです。

別の誤りは、(x − 6)(x + 1) = 0からx = 6のみとすることです。6を代入すると式が成り立つため、正解の一部は確かめられます。それでもx + 1 = 0の道を調べていないため、-1が抜けます。両方の因数について0となる式を一行ずつ書けば、どちらを調べたか答案で追えます。-1も元の積に入れると第2因数が0となり、等式が成り立ちます。

練習：5つの式を自分で分ける

いずれも方程式を解き、解を整数または分数で答えます。先に5問を通して考え、それぞれの候補を元の式に戻してください。

1. (x − 7)(x + 2) = 0
2. x² − 3x = 10
3. 5x² + 15x = 0
4. 2x² − 7x + 3 = 0
5. 4x² + 4x = -1

練習の答えと確かめ方

1. x − 7 = 0またはx + 2 = 0なので、x = 7、-2です。7では第1因数が0、-2では第2因数が0となり、元の積はいずれも0です。他の値では両因数とも0でないため、解は増えません。

2. 両辺から10を引いてx² − 3x − 10 = 0とします。積が-10、和が-3の組は-5と2です。

x² - 3x - 10 = 0
(x - 5)(x + 2) = 0
x = 5 または x = -2

元の左辺は、5で25 − 15 = 10、-2で4 + 6 = 10です。いずれも右辺に戻ります。因数分解の途中で符号を逆にした場合は、展開したときのxの係数を照合します。

3. 左辺を5xでくくります。

5x² + 15x = 0
5x(x + 3) = 0
x = 0 または x = -3

0では両項が0です。-3では45 − 45 = 0となり、元の等式を満たします。5xで割ると0を除いてしまうので、積のまま分けます。

4. 左辺は(2x − 1)(x − 3)と因数分解できます。展開すると2x² − 6x − x + 3で、元の左辺に一致します。

(2x - 1)(x - 3) = 0
2x - 1 = 0 または x - 3 = 0
x = 1/2 または x = 3

1/2を元の左辺に入れると、2・1/4 − 7/2 + 3 = 1/2 − 7/2 + 3 = 0です。3では18 − 21 + 3 = 0です。分数も近似せずに確かめます。

5. 両辺に1を足して積にします。

4x² + 4x + 1 = 0
(2x + 1)(2x + 1) = 0
2x + 1 = 0
x = -1/2

同じ因数が重なっているので、解は-1/2です。元の左辺は4・1/4 + 4・(-1/2) = 1 − 2 = -1となり、元の右辺と一致します。2つの括弧を書いたからといって、異なる2つの値が必ず出るわけではありません。

手元に残す要点

積が0なら、少なくとも1つの因数が0です。 右辺を0にし、因数ごとの条件を調べます。 文字の式で割る前には、それが0になる場合を別に調べます。 元の式への代入と、変形で解を落としていない確認を両方行います。

答案のどこから立て直すか

お子さまが答えを1つ書いて止まったときは、まず積の行と、その次の行を並べて見ます。2つの因数からそれぞれ条件が書かれていれば、同じ解に重なったのか、片方の計算が途中で消えたのかを区別できます。片方しか書かれていなければ、未確認の因数を0と置く行に戻ります。

移項で止まる場合は、等号の左右から何を引いたかを確認します。符号を暗記するだけでなく、同じ操作を左右に施したかを一行でたどります。個別指導で確認するときも、完成した答えだけでなく、割った式が0となる値を答案のどこで扱ったかを尋ねます。計算の正しさと候補の漏れは、別々に調べられます。

解を残す目印は、0になる因数の一つひとつです。