中3数学 展開と因数分解の利用—数の計算と性質の説明で式の形を選び直す｜武蔵野個別指導塾

基準数に近い積の工夫と連続整数の平方差の証明を通じ、数の計算や性質の説明に役立つ式の利用を学びます。

よくあるのは、連続する整数の平方の差をいくつか計算し、どれも奇数になったところで証明を終える場面です。計算は性質を見つける手がかりになりますが、まだ調べていない整数については何も示していません。文字を整数として置き、差を計算すると、正の整数だけでなく0や負の整数を含む場合も同じ式で説明できます。数の積を手早く求めるときにも、式の形を選び直す考え方が役立ちます。

積を計算する問題と性質を説明する問題

出方の1つは、100などの切りのよい数を基準にして積を求める問題です。2つの数が基準から同じだけ離れていれば、和と差の積を平方の差に変えられます。同じ距離でない場合も、基準からの増減を括弧に表して展開できます。どの形が使えるかは、実際の2数を括弧に戻して確かめます。

もう1つは、整数の平方の差がどんな数になるかを説明する問題です。連続する整数には大小があり、引く順番によって符号が変わります。小さい方をnとするなら、大きい方はn+1です。文字を置いてから、求める順に式を作ります。

3つ目は、いくつかの数例から予想した性質が常に成り立つかを判断する問題です。成り立つことを示すには、対象となる任意の整数について理由を述べます。成り立たないという主張なら、条件を満たす反例が1つあれば十分です。目標は答えを出すことに加え、式の各部分が元の数の何に当たるかまで説明することです。

形を変えても同じ値を保つ

展開は、括弧のある積を分配法則で和や差に直すことです。因数分解は、その逆に、和や差を積の形に直すことです。どちらも式の値を変えず、見えやすい性質を変えます。例えばaとbについて、分配法則から次の等式が成り立ちます。

(a+b)(a-b)
= a²-ab+ab-b²
= a²-b²

中央の-abと+abは互いに打ち消し合います。左から右へ使えば積が平方の差になり、右から左へ使えば平方の差が積になります。図1のように、同じ等式を目的に応じて行き来します。aとbが整数でなくても等式は成り立ちますが、後で奇数や偶数を結論するには、文字が整数である条件が必要です。

図1の左右は同じ値です。左側では2つの因数が見え、右側では2つの平方が見えます。例えば基準数の両側に同じ幅で並ぶ積なら、左から右へ進むと計算が簡単になります。平方の差が与えられて因数の性質を調べたいときは、右から左へ進めます。

整数nを使うと、偶数は2n、奇数は2n+1と表せます。負の整数でも同じです。例えばn=-2なら2n+1=-3です。逆に2n+1の形に直せたときは、nが整数であることを添えれば奇数といえます。文字が整数とは限らないまま2n+1と書いただけでは、この結論は出せません。

連続する2整数を小さい方からn、n+1と置くと、その平方の差には引く順序があります。大きい方の平方から小さい方の平方を引く式は(n+1)²-n²です。整数そのものの大小と、その平方の大小は負の数を含むと一致しないことがあります。したがって、この式は「大きい整数の平方から小さい整数の平方を引く」と読み、結果が必ず正とは決めません。

基本例題：基準の両側にある数の積

次の積を、100を基準にして工夫し、整数で求めてください。

97・103

97は100より3小さく、103は100より3大きい数です。図2のように2つを同じ基準からの差で表します。両方を元の数に戻せるので、積の値は変わりません。

97・103
= (100-3)(100+3)
= 100²-3²
= 10000-9
= 9991

答えは9991です。因数の順序を入れ替えても積は同じなので、和と差の積の公式が使えます。図2の両端は基準からの差がともに3です。差がそろっていることを確かめてから平方の差に進みます。

元の積へ戻しても確かめます。103を100+3と見れば、97・100+97・3=9700+291=9991です。こちらは分配法則を直接使った検算です。2つの方法が同じ積を表していることが、元の数への照合になります。

標準例題：離れ方が異なる積

次の積を、50を基準にして工夫し、整数で求めてください。

48・53

48は50-2、53は50+3です。基準からの距離が2と3で異なるため、そのまま平方の差にはできません。括弧を展開し、それぞれの積を残します。

48・53
= (50-2)(50+3)
= 50²+50・3-2・50-2・3
= 2500+150-100-6
= 2544

真ん中の2項は、数が異なるので打ち消し合いません。まとめると+50が残ります。もし両方の差を2としてしまうと、後ろの因数は52となり、問題の53とは違います。公式を選ぶ前に、括弧の中を計算して元の2数になるか見ることが分かれ目です。

別の計算では48・(50+3)=2400+144=2544です。元の48と53を使って同じ結果になりました。基準数は必ず50でなくてもよいのですが、平方や増減分の計算が簡単な数を選ぶと見通しが立ちます。

発展例題：連続整数の平方差を説明する

連続する2つの整数について、大きい整数の平方から小さい整数の平方を引くと奇数になることを説明してください。また、その差が正、0、負のどれになるかを、小さい整数を使って分類してください。

小さい整数をnと置きます。nは任意の整数ですから、大きい整数はn+1です。求める差を指定された順序で作り、展開します。

(n+1)²-n²
= n²+2n+1-n²
= 2n+1

nは整数なので、2nは偶数です。その偶数に1を加えた2n+1は奇数です。nを任意の整数としていたので、負の整数や0を含む連続整数についても、この理由がそのまま通ります。例えばn=-3の場合、対象は-3と-2であり、差は4-9=-5です。式に戻しても2・(-3)+1=-5です。この数例は式の対応を確認するためのもので、一般的な説明はその前の文字式が担っています。

符号はnの範囲で分けます。nが0以上なら2n+1は正です。nが-1以下なら2n+1は-1以下なので負です。整数には-1より大きく0より小さい数がないため、この2つの場合で尽くせます。差は奇数なので0にはなりません。大きい整数の平方が必ず大きいと思うと、負の範囲を見落とします。

別の方法として平方の差を因数分解できます。

(n+1)²-n²
= ((n+1)+n)((n+1)-n)
= (2n+1)・1
= 2n+1

2つの整数の差が1なので、一方の因数が1になります。もう一方は2n+1で奇数です。展開では平方の項が消える理由が見え、因数分解では連続するという条件が差1として現れます。どちらも任意の整数nを使っているので、一般的な説明です。

条件を変えると結論も変わります。例えば整数が連続していない2と4では、平方の差は16-4=12で偶数です。連続するという条件を外した主張への反例です。一方、2と3で差が奇数になることは、連続する場合の主張に合う確認であって、それだけでは証明になりません。

数例で止まった答案を直す

「1と2では4-1=3、2と3では9-4=5だから、連続する整数の平方の差はいつも奇数」と書いた答案を考えます。どちらの計算も正しいのですが、調べたのは2組です。負の整数を含め、調べていない組についての理由は書かれていません。図3のように、数例から予想を作った後に、任意の整数を置く行を足します。

図3では、nを整数と宣言し、連続する2数をnとn+1に置き換えています。さらに差を2n+1に直し、nが整数だから奇数と結びます。この最後の理由がないと、式の変形はあっても何を示したかが読み手に伝わりません。

別の誤答は、(n+1)²をn²+1とするものです。これは真ん中の2nを落としています。例えばn=2なら左辺は9、右辺は5で、一致しません。正しくは(n+1)(n+1)と書き、4つの積を足してn²+2n+1とします。数を代入した反例は誤った等式を否定できますが、正しい等式の一般的な理由には分配法則を使います。

さらに「2n+1だから正の奇数」と書くと、n=-1で差が-1になる場合に合いません。奇数と正の数は別の条件です。整数の宣言、引く順序、符号の条件をそれぞれ元の問題に照らし、結論を必要な範囲にとどめます。

練習：形と条件を自分で選ぶ

次の5問は、先に問題を一通り考えてから解答を確かめてください。積は整数で答え、説明問題は整数を文字で置いて理由を書きます。

1. 100を基準にして、94・106を工夫して求めてください。
2. 200を基準にして、197・204を工夫して求めてください。
3. 連続する2整数のうち小さい方をkとします。小さい整数の平方から大きい整数の平方を引いた数が奇数であることを説明してください。
4. 連続する3整数のうち中央をmとします。最大の整数の平方から最小の整数の平方を引いた数が4の倍数であることを説明してください。
5. 「2つの奇数の平方の差は必ず8の倍数である」という主張を説明してください。2つの奇数をそれぞれ2p+1、2q+1とし、p、qは整数とします。積の中に偶数が現れる理由も述べてください。

練習の解答と照合

1. 94=100-6、106=100+6です。よって(100-6)(100+6)=100²-6²=10000-36=9964です。元の積でも94・(100+6)=9400+564=9964と戻せます。両方の差が6なので、平方の差の形にできます。

2. 197=200-3、204=200+4です。距離が異なるため、そのまま平方の差にはしません。

197・204
= (200-3)(200+4)
= 200²+800-600-12
= 40188

元の積を197・(200+4)=39400+788と計算しても40188です。真ん中の項を消してしまうと200が失われます。

3. kを整数とすると大きい整数はk+1です。指定された順序に従えば、k²-(k+1)²=k²-(k²+2k+1)=-2k-1です。これは2(-k-1)+1と書け、-k-1は整数なので奇数です。例えばk=-2なら対象は-2と-1、指定された差は4-1=3で、式に戻しても-2・(-2)-1=3です。引く順序を逆にすれば符号も逆になることに注意します。

4. mを整数とすると3整数はm-1、m、m+1です。最大と最小の整数の平方の差は(m+1)²-(m-1)²です。平方の差として因数分解すると、((m+1)+(m-1))((m+1)-(m-1))=2m・2=4mです。mは整数なので4の倍数です。m=-2なら整数は-3、-2、-1で、指定された差は1-9=-8です。4mも-8となり、負の倍数を含むことが確かめられます。

5. 与えられた奇数を使うと、平方の差は次のようになります。

(2p+1)²-(2q+1)²
= ((2p+1)+(2q+1))((2p+1)-(2q+1))
= (2p+2q+2)(2p-2q)
= 4(p+q+1)(p-q)

pとqがともに偶数かともに奇数なら、p-qは偶数です。一方が偶数でもう一方が奇数なら、p+qは奇数なのでp+q+1は偶数です。したがって、どちらの場合も括弧内の2因数の少なくとも一方は偶数で、全体は8の倍数です。例えばp=2、q=-1なら奇数は5と-1で、平方の差は25-1=24です。式の4(p+q+1)(p-q)も4・2・3=24です。これは対応を確かめる例であり、倍数の説明は偶奇による場合分けが支えています。

手元に残す要点

• 基準から同じ幅の積は、和と差の積から平方の差に直せます。
• 幅が異なる積は、各項を分配して残る項を確かめます。
• 連続整数は整数nを使い、nとn+1と表します。
• 数例は予想や反例に使い、一般的な主張は任意の整数で説明します。
• 引く順序と整数の条件に戻り、符号や倍数の結論を点検します。

答案のどの行に戻るか

お子さまの答案で計算結果は合っているのに説明が止まる場合は、最初の文字を置いた行を見ます。整数と宣言されているか、隣の数が本当に1大きいかを声に出して確かめます。個別指導では、数例を挙げる行と、任意の整数について述べる行を区別し、どの行が結論の根拠になるかを本人に説明してもらいます。

積の計算で誤りが出た場合は、答えからやり直す前に、基準数を使った括弧を元の2数へ戻します。次に、展開した各項と元の因数の対応を確認します。平方差の答案では、負の整数を1組代入して引く順序を点検し、その後に文字式の理由へ戻ります。1組の検算と一般的な証明をつなぐと、式の形を変える目的が見えてきます。