中2数学 平行四辺形の性質—定義から対辺と対角線の関係を合同で導く｜武蔵野個別指導塾

対辺の平行から合同を作り、対角線を二等分する理由と、長さが等しいとは限らない反例から平行四辺形の性質を読み解きます。

よくあるのは、平行四辺形の対角線を引き、「どちらも同じ長さ」として計算を進める場面です。交点でそれぞれが半分になることと、2本の長さが等しいことは別の関係です。図の中で何が平行と与えられ、どの三角形が合同になるのかをたどると、使える等しさと使えない等しさが見えてきます。

平行から何を取り出すか

平行四辺形の問題には、辺や角の大きさを求める型、対角線の交点を使う型、性質を証明する型があります。いずれも出発点は2組の対辺がそれぞれ平行という定義です。辺の長さや角の大きさが等しいことを最初から図の見た目で決めず、平行線の錯角、三角形の合同、対応する部分という順に取り出します。

必要になるのは、平行な2直線を1本の直線が横切るときの錯角、三角形の合同条件、対頂角です。三角形の名前を並べるときは対応する頂点を同じ順に書きます。中2の図形の論証で扱う、平行と合同の関係を使います。ここでは平行四辺形とわかっている図形の性質を扱い、四角形が平行四辺形になるための条件は扱いません。

定義からつながる3つの性質

四角形ABCDの頂点を周に沿ってA、B、C、Dとします。ABとCD、BCとADがそれぞれ平行なら、ABCDは平行四辺形です。向かい合う辺を対辺、向かい合う角を対角と呼びます。向かい合う頂点を結ぶ線分ACとBDが対角線で、その交点をOとします。

図1のように対角線ACを引き、△ABCと△CDAを見ます。ABとCDが平行なので、ACを横切る線とする錯角より∠BAC = ∠DCAです。BCとADが平行なので、∠BCA = ∠DACです。ACは共通です。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△ABC ≡ △CDAです。

対応する頂点はAとC、BとD、CとAです。したがって対応する辺からAB = CD、BC = DAが得られ、対応する角から∠ABC = ∠CDAが得られます。もう一組の対角については、∠DABが∠DACと∠CABの和、∠BCDが∠BCAと∠ACDの和です。平行線から得た2組の等しい角をそれぞれ足すと、∠DAB = ∠BCDとなります。対角線で分かれた角を足すところまで書くと、図全体の角を扱っていることが伝わります。

次に△AOBと△CODを比べます。いま証明したAB = CDに加え、ABとCDが平行なので∠BAO = ∠DCO、∠ABO = ∠CDOです。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、△AOB ≡ △CODです。対応からAO = CO、BO = DOとなります。つまり対角線は、それぞれの中点で交わります。

ここでAO = COとBO = DOは、別々の線分の半分を比べています。AOとBOが等しいとは言っていません。ACとBDが等しいことも、この性質からは導けません。線を引くときに色や印を分け、同じ印が付く場所を確認しましょう。

基本例題：半分と全体を行き来する

平行四辺形ABCDの対角線ACとBDの交点をOとします。AB = 9 cm、BC = 7 cm、AC = 14 cm、BO = 4 cmです。CD、DA、AO、BDの長さを、それぞれcmで求めてください。

図2のように、まず与えられた数を辺と対角線に分けます。対辺は等しいのでCD = AB = 9 cm、DA = BC = 7 cmです。交点OはACの中点なので、AOとOCは等しく、その和が14 cmです。

AO = 14 ÷ 2
AO = 7

またBOとODは等しいので、それぞれ4 cmです。求めるBDは半分ではなく全体です。

BD = BO + OD
BD = 4 + 4
BD = 8

答えはCD = 9 cm、DA = 7 cm、AO = 7 cm、BD = 8 cmです。確かめると、対辺の長さは9 cmと9 cm、7 cmと7 cmです。AOとOCの和は7 + 7 = 14 cm、BOとODはともに4 cmで、与えられた長さに戻ります。図に書いた全体の数をそのまま半分に写す間違いと、半分の数を全体の答えにする間違いを区別できます。

標準例題：角を分けてから求める

平行四辺形EFGHで、∠EFG = 68°です。対角線EGが∠FEHを2つに分け、∠FEG = 26°です。∠FEH、∠GEH、∠FGHをそれぞれ度で求めてください。

EFとGHが平行、EHとFGも平行です。EFを横切る線と見れば、∠FEHと∠EFGは同じ側の内角で、その和は180°です。

∠FEH = 180° - 68°
∠FEH = 112°
∠GEH = 112° - 26°
∠GEH = 86°

対角は等しいので、∠FGH = ∠FEH = 112°です。答えは順に112°、86°、112°です。26°と86°を足すと112°、112°と68°を足すと180°で、初めの条件と平行な辺の関係に戻ります。

別の見方では、EHとFGが平行なので、EGを横切る線として∠GEH = ∠EGFです。△EFGの内角の和から∠EGF = 180° − 68° − 26° = 86°と求めても同じです。ただし、錯角を使うには先にEHとFGが平行であることが必要です。線が傾いて見えるだけでは、角の等しさの理由になりません。

発展例題：合同の対応を証明にする

平行四辺形JKLMの対角線JLとKMの交点をNとします。線分JN上にP、線分LN上にQを、NP = NQとなるように取ります。KP = MQを証明してください。

仮定はJKLMが平行四辺形であることと、P、Qの位置およびNP = NQです。結論はKP = MQです。結論を使わずにこの辺を対応する辺に持つ三角形を探すと、△KNPと△MNQが候補になります。

平行四辺形の対角線はそれぞれを二等分するのでKN = MNです。仮定からNP = NQです。また、直線KMとJLが交わっているので、∠KNP = ∠MNQは対頂角です。したがって2組の辺とその間の角がそれぞれ等しく、△KNP ≡ △MNQです。合同な三角形の対応する辺よりKP = MQです。

この証明で使ったNP = NQは、点を置くときに与えられた条件です。PとQがそれぞれ対角線上にあるというだけでは、この等しさは得られません。また対頂角が等しいことに平行の条件は不要ですが、KN = MNには平行四辺形の性質が必要です。根拠ごとに条件を振り分けると、必要な情報を落とさずに書けます。

別の説明として、JKとLMの平行から角を取り出して合同な三角形を作る道もあります。ただし点PとQの位置だけを見てKPとMQの平行や等しさを決めてはいけません。結論にしたい辺は、合同を示した後で対応させます。数を入れていくつかの図で測っても、任意の位置での証明の代わりにはなりません。

間違いを図に戻して直す

図3のような斜めの平行四辺形で、AC = BDと書く誤答を考えます。原因は「2本の対角線が互いに二等分する」を「2本が等しい長さ」と読み替えたことです。正しくはAO = OC、BO = ODです。それぞれの全体はAC = 2AO、BD = 2BOですが、AOとBOの等しさは与えられていません。

実際、図3の各頂点を方眼上のA(0, 0)、B(4, 0)、C(6, 2)、D(2, 2)とすると、向かい合う辺はそれぞれ平行です。対角線はO(3, 1)で交わり、それぞれを二等分しています。ACは横に6、縦に2進み、BDは横に2、縦に2進みます。この図では2本の長さは等しくありません。例えば方眼の縦横の単位を同じにすれば、ACの横方向の長さは6で、BDは横2、縦2をつないだ折れ線より短く、その折れ線の長さは4です。したがってACは6以上、BDは4以下であり、両者は異なります。数例は一般の性質の証明には使えませんが、「いつも等しい」という主張を崩す反例にはなります。

もう一つの誤答は、対角線ACを引いたとき、∠BACと∠DACを錯角として等しいとするものです。2つは同じ頂点Aにあり、平行な2直線を横切るときの錯角の組ではありません。ABとCDの平行から比べるのは∠BACと∠DCAです。横切る線ACの両端にある角を指でたどり、どの2直線が平行かを先に書けば修正できます。

さらに、△ABC ≡ △CDAと書いた後にAB = DAと結ぶ誤りもあります。対応順を並べるとABに対応するのはCDです。合同という結論だけで終えず、頂点A、B、Cの対応先をC、D、Aと記してから辺を読み取ります。隣り合う辺が等しいとは限らないので、辺の位置だけで判断しないことも必要です。

練習：問題を先に5問

いずれも頂点は四角形の周に沿って並びます。必要な長さはcm、角は度で答え、証明は根拠を記してください。

1. 平行四辺形RSTUでRS = 11 cm、ST = 6 cmです。TUとURの長さを求めてください。
2. 平行四辺形ABCDの対角線の交点をOとし、AO = 9 cm、BD = 22 cmとします。ACとBOの長さを求めてください。
3. 平行四辺形EFGHで∠EFG = 73°です。∠EHGと∠FEHを求めてください。
4. 平行四辺形JKLMの対角線の交点をNとし、JN = 3x + 1 cm、NL = x + 9 cmとします。xとJLの長さを求めてください。
5. 平行四辺形PQRSの対角線の交点をTとします。△PTQと△RTSが合同であることを、対角線の性質と対頂角を使って証明してください。

練習の答えと確かめ方

1. 対辺が等しいのでTU = RS = 11 cm、UR = ST = 6 cmです。対応する向かいの辺を元の図に戻すと、11 cm同士、6 cm同士になっています。隣り合う辺を取り違えていないかも確かめます。

2. AO = OCなのでAC = 9 + 9 = 18 cmです。またBO = ODで、BD全体が22 cmなのでBO = 22 ÷ 2 = 11 cmです。9 + 9は18、11 + 11は22で、交点による分割と与条件が一致します。

3. 対角は等しいので∠EHG = 73°です。隣り合う内角の和は180°なので、∠FEH = 180° − 73° = 107°です。73° + 107° = 180°で、対角の73°も元の角に一致します。

4. 対角線の二等分からJN = NLです。

3x + 1 = x + 9
2x = 8
x = 4

JN = 3・4 + 1 = 13 cm、NL = 4 + 9 = 13 cmなので、JL = 13 + 13 = 26 cmです。求めたxを両方の元の式に戻すとどちらも13 cmとなり、2つを足した26 cmが全体です。

5. 対角線がそれぞれを二等分するのでPT = RT、QT = STです。∠PTQ = ∠RTSは対頂角です。2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、△PTQ ≡ △RTSです。PとR、TとT、QとSが対応します。2つの等しい辺の間の角がTにあることを確認すれば、合同条件の使い方も確かめられます。

覚えておくこと

• 平行四辺形の定義は、2組の対辺がそれぞれ平行であることです。
• 対角線を引くと、錯角と共通辺から合同を作れます。
• 対辺と対角はそれぞれ等しく、対角線は互いに二等分します。
• 対角線の二等分と、2本の対角線の等長は別です。
• 合同の対応順と、それぞれの根拠を確かめます。

どこで止まったかを見る

お子さまが答えを間違えたときは、まず図に書き込んだ印を見ます。対角線の半分を同じ印で結べるのに全体の長さを誤るなら、半分と全体の計算を言葉にして確認できます。印そのものが混ざるなら、同じ対角線上の2つの線分を別の対角線と分けて示します。

証明が止まる場合は、個別指導の場で平行な辺に印を付け、横切る線と錯角の組を順に指してもらいます。その後、合同に使う三角形の頂点の対応を書き、最後に結論の辺が対応することを確認します。根拠を述べる前に結論を使っていないかを見直すと、図の性質を覚えるだけでなく、自分の説明を点検できます。

対角線の交点を使う問題では、答えを求めた後に、各対角線を別々に復元する習慣も役立ちます。例えば一方の半分を求めたら同じ長さをもう一度足し、与えられた全体に戻るかを見ます。もう一方については、半分から全体を作った後で2つの部分が等しいかを確かめます。両方の数がたまたま一致しても、それが平行四辺形の定義から必要になるとは限りません。

角の問題では、等しい角に印を付ける前に、角を作る2本の線を順にたどります。3文字の真ん中が頂点です。∠BACなら頂点はAで、辺ABとACの間を見ます。図を回して描いても、この読み方と平行線の位置関係は変わりません。見慣れた向きで覚えた印だけに頼らず、根拠をたどって判断します。