中1数学 比例と反比例の見分け方—表と式と場面の条件を照合して関係を選ぶ｜武蔵野個別指導塾

表の商と積を比べ、仕事の総量と1人の作業速度を固定する条件から、比例・反比例の式を選ぶ根拠を探ります。

よくあるのは、2つの量が一緒に増える表を見て、比例と答える場面です。たしかに比例では、正の値の範囲で一方が増えると他方も増える場合があります。しかし、一緒に増えるだけでは、増え方のきまりまでは決まりません。最初から含まれる量があれば、2倍にしたときに結果が2倍になるとは限らないからです。

見分けるときは、まず何を一定とする場面なのかを書き出します。それから、対応する値の商や積を調べ、式と場面の両方へ戻ります。表に並ぶ値が少ないときは、示された範囲では合っていても、表の外まで同じきまりだとは決められないこともあります。

見分ける問題には3つの入口があります

1つ目は、表から判断する問題です。対応する x と y の組を横にたどり、x が 0 でない組では y/x を調べます。商が同じなら、その組は同じ比例の式に合います。積 xy が同じなら、その組は同じ反比例の式に合います。ただし、いくつかの値が合うことと、関係全体がその式で表されることは区別します。

2つ目は、場面から判断する問題です。例えば、同じ長さのテープを何本か並べ、重ねず隙間なくつなぐと、全長は本数に比例します。1本の長さが一定という条件があるためです。一方、同じ量の仕事を同じ速さで働く人に等しく分け、全員が同時に始めて終えるなら、人数と所要時間は反比例します。人数が増えれば時間が減るという向きだけでなく、人数と時間の積が一定になることが理由です。

3つ目は、どちらか選べない、またはどちらでもないと判断する問題です。最初に一定の量が加わる場合は、一緒に増えても比例とは限りません。また、表の一部が比例の式に合っても、それ以外の値のきまりが示されていなければ、全体の関係を決める根拠は足りません。判断を保留することも、条件を正しく読む答えです。

商と積が表すもの

比例は、決まった数 a を使って y = ax と表される関係です。x が 0 でなければ、y/x = a です。x を2倍、3倍にすると y もそれぞれ2倍、3倍になります。x = 0 のときは y = 0 です。商を計算するときに 0 で割ることはできませんが、式から 0 に対応する値は確かめられます。

反比例は、0 でない決まった数 a を使って y = a/x と表される関係です。したがって xy = a です。x は 0 にできません。x を2倍、3倍にすると、y はそれぞれ1/2倍、1/3倍になります。負の値を扱う式でもこの関係は成り立ちますが、人数や時間を表す場面では、意味のある正の値に範囲を限ります。

図1のように、比例では対応する y を x で割り、反比例では対応する x と y を掛けます。比例定数と呼ぶ決まった数が、前者では商、後者では積に現れます。表の行や列を一段ずらして計算すると、別の組を混ぜてしまいます。まず組を囲み、それぞれについて同じ計算をすることが出発点です。

ただし、1組だけでは選べません。例えば x = 2、y = 6 という1組は、y = 3x にも y = 12/x にも合います。別の組を照合し、さらに場面の条件がその式を支えるかを調べます。複数組が合わないときは、その式で表せないという反例になります。逆に、限られた組が合っても、その組の外まで保証する条件がなければ、関係全体については断定できません。

基本例題：表の全部の組を確かめる

次の表について、示された組が比例と反比例のどちらの式に合うか調べ、その式を答えてください。x と y は表の対応する列で組になります。

まず y/x を計算します。分数はそのまま正確に比べます。

12/1 = 12
6/2 = 3
3/4 = 3/4

商がそろわないので、3組を同じ比例の式では表せません。次に積を調べます。

1・12 = 12
2・6 = 12
4・3 = 12

積はどの組でも 12 です。したがって、この3組は反比例の式 y = 12/x に合います。x = 1、2、4 を式に戻すと、順に 12、6、3 となり、表に一致します。

図2のように各列を組として扱うと、掛け合わせる相手を間違えにくくなります。この表にある値は反比例の式に合いますが、表の外でもその式に従うという条件が別に与えられなければ、関係全体を断定はできません。例えば、表にない x = 3 のときの値を別に決めるきまりも、表の3組だけでは排除できないためです。

標準例題：一緒に増えても比例とは限らない

長さ 5 cm のひもを最初に用意し、その端に長さ 3 cm のひもを x 本、重ねず隙間なくつなぎます。全体の長さを y cm とします。x は 0 以上の整数です。y を x の式で表し、比例か反比例かを判断してください。

つないだひもの長さは 3x cm です。最初の 5 cm を加えるので、式は次のようになります。

y = 5 + 3x

x = 1 と 2 では、それぞれ y = 8、11 です。x が2倍になっても y は2倍ではありません。また、x = 0 で y = 5 なので、y = ax という比例の式には合いません。積も 1・8 = 8、2・11 = 22 と異なるため、反比例でもありません。2つの量が一緒に増えることだけでは、比例を決められないとわかります。

元の場面に戻すと、2本をつないだ長さは 5 + 3 + 3 = 11 cm です。式に x = 2 を入れた値と一致します。最初の長さを忘れて y = 3x とすると、つないだ部分しか数えていません。もし最初の 5 cm を取り除き、同じひもをつないだ部分の長さだけを y とするなら、式は y = 3x に変わり、比例します。何を全体に含めるかが判定の分かれ目です。

発展例題：仕事の量と1人の速さを固定する

同じ作業を、同じ速さで作業する人が等しく分担します。全員が同時に始め、途中で休まず同時に終えるとします。4人なら 6 時間かかる仕事を、8人で行うと何時間かかりますか。人数を x 人、時間を y 時間として関係式も答えてください。人数は正の整数とし、作業は細かく分けられるものとします。

1人が1時間に進める量を1単位と考えます。4人が6時間に進める仕事は 4・6 = 24 単位です。同じ仕事を同じ速さで終えるので、人数と時間の積は 24 に保たれます。

xy = 24
y = 24/x

x は正の整数なので 0 ではなく、割る操作ができます。8人の場合を式へ入れます。

y = 24/8
y = 3

答えは 3 時間です。元の仕事へ戻すと、8人が3時間で進める量は 8・3 = 24 単位です。4人が6時間で進める量と等しく、条件に合います。人数が2倍だから時間が半分になったという確認もできますが、仕事の総量と1人あたりの速さが一定だからこそ、その判断ができます。

条件を変えて、人数が増えると準備に余分な時間がかかる場合を考えます。準備時間がどのように変わるか示されなければ、全体の時間と人数が反比例するとは決められません。作業そのものに必要な時間と、準備を含む全体の時間を分けて読む必要があります。人数が増えれば必ず早く終わる、と向きだけで判断するのも避けます。

間違えた答えを戻して直す

ある表に x = 1、2、3 に対応して y = 4、7、10 とあります。「両方が増えているから比例」と答えたとします。増える方向は合っていますが、比例の条件は確認できていません。

4/1 = 4
7/2 = 7/2
10/3 = 10/3

商は一定ではありません。比例なら x が 1 から 2 に2倍になったとき、y は 4 から 8 になるはずですが、実際は 7 です。積も 4、14、30 とそろわないため、この3組は同じ反比例の式にも合いません。誤答の原因は、増える向きと、一定の倍率という異なる条件を混ぜたことです。

図3のように、まず対応する2組を選び、2倍になった側と他方を比べると、比例でないことを見つけられます。反比例の確認には積も調べます。1組でも決まった式に合わない値があれば、その式は表全体の式ではありません。誤りを直すときは「増えている」を消すのではなく、「増えているだけでは条件が足りない」と理由を付け足します。

練習：条件を書いてから選ぶ

次の5問はそれぞれ独立しています。式を求める場合は x と y の関係を式で表し、必要な数値には単位を付けてください。

1. 同じ重さの板1枚が 7 kg です。板を x 枚重ねた重さを y kg とします。板以外の重さは含めません。比例か反比例かを判断し、式を書いてください。x は正の整数です。
2. 同じ仕事を同じ速さで分担すると、3人では 10 時間かかります。全員が同時に始め、休まず同時に終えます。5人なら何時間か、また人数 x 人と時間 y 時間の関係式を答えてください。仕事は等しく分けられます。
3. 表の x = 1、2、4 に対応する y が 9、18、37 です。これらの組は同じ比例の式に合いますか。また、同じ反比例の式に合いますか。理由を述べてください。
4. 水そうに最初から水が 6 L 入っています。毎分 2 L の一定の割合で水を入れ続けます。入れ始めてから x 分後の水の量を y L とし、あふれない範囲で考えます。式を書き、比例か反比例かを判断してください。
5. ある関係の表には x = 2、4 に対して y = 10、20 とだけ示されています。これだけで関係全体が比例だと決められますか。理由と、判断するために加わるとよい条件を述べてください。

練習の答えと解き方

1. 比例し、式は y = 7x です。1枚の重さが一定で、枚数に1枚の重さを掛けるからです。例えば3枚なら 7 + 7 + 7 = 21 kg で、式の 7・3 = 21 kg と合います。板の重さ以外を加えると条件が変わります。

2. 仕事の量は 3・10 = 30 単位です。人数と時間の積は一定なので xy = 30、すなわち y = 30/x です。5人のとき y = 30/5 = 6 で、答えは 6 時間です。5・6 = 30 と、元の仕事の量に戻ります。人数は正の整数で、得られた時間も正です。

3. 比例の式にも反比例の式にも合いません。商は順に 9、9、37/4 で、最後が異なります。積は 9、36、148 で一定ではありません。最初の2組の商だけを見ると比例の式に合いますが、3組目を戻すと 9・4 = 36 で、表の 37 と一致しません。1組の不一致が判定の根拠になります。

4. y = 6 + 2x です。比例でも反比例でもありません。x = 1、2 のとき y = 8、10 なので、商は 8 と 5、積は 8 と 20 です。最初の水を含むため比例にはならず、積も一定ではありません。2分後は最初の 6 L に 2 L を2回加えた 10 L で、式にも一致します。

5. 決められません。2組は y = 5x に合いますが、表にない値が同じ式に従うとは書かれていないからです。例えば x = 3 の値についての条件はありません。全体について「どの x に対しても y は x の5倍」と与えられれば、y = 5x と表せ、比例と判断できます。表の値に合うことと全体のきまりが与えられることを分けます。

条件を変えたときの読み直し

仕事を分ける例で、4人のうち1人だけが途中から参加したとします。4人全員が同じ時間働いたわけではないため、人数に全体の時間を掛けても、実際に働いた量を表せません。何人が何時間働いたかを分けて考える必要があります。最初の条件が崩れたことを見つければ、以前の式をそのまま使う誤りを防げます。

表を調べる場合も、値を1つ変えるだけで結論が変わります。基本例題の最後の y が 3 ではなく 4 なら、最後の積は 16 となり、ほかの積 12 と一致しません。反比例の式を選ぶ前に、最後の組まで確かめる理由がここにあります。

判定の手元に残すこと

• 比例は y/x、反比例は xy の一定を、対応する組ごとに調べます。
• x = 0 で商は計算できず、反比例の式では x = 0 を除きます。
• 一緒に増えるという事実だけでは比例を決められません。
• 表の外まで判断するには、場面や式に関する条件が要ります。
• 求めた式や値を、元の表と場面に戻して確かめます。

お子さまが「増えるから比例」と答えたときは、すぐに名称を覚え直すより、対応する2組を選んで商を計算できるか見ます。商は合うのに場面で間違えるなら、最初からある量や、一定とした作業量を言葉で指せるかを確かめます。個別に学ぶ場では、表から式へ進む途中と、式から元の場面へ戻る途中を別々に説明してもらうと、迷いの場所が見えます。

比例と反比例は、変化の向きだけでなく、何が一定かを照合して選びます。