中1数学 比例のグラフと数量の利用—点の位置と変域をそろえて直線の意味を読む｜武蔵野個別指導塾

部品の個数と全長、一定の速さで進む時間と道のりを比べ、点と線を選ぶ根拠から比例グラフを読み解きます。

よくあるのは、同じ長さの部品を並べた個数と全長をグラフにするとき、点を打った後で何気なく線を引く場面です。式が比例だから直線になる、と覚えていると、部品を途中で切らないという条件が抜け落ちます。個数が2個と3個の間の点は、横軸の位置としては読めても、この場面で使えるとは限りません。

一方、一定の速さで進む時間と道のりなら、途中の時刻にも対応する道のりがあります。同じ比例の式でも、何を数え、どんな値を取れるかで表し方が変わります。座標を正しく打つことと、その点が場面に合うことを分けて考えましょう。

どんな問いで使うか

比例のグラフには、まず式から点を求めて描く問いがあります。横軸と縦軸の量と単位を確かめ、横の値を式に入れて縦の値を求めます。原点を通るか、もう1つの点が正しい位置かを見ます。負の比例定数なら、横の値が正のとき縦の値は負です。右上がりと決めつけず符号を調べます。

次に、グラフの点から数量を読む問いがあります。目盛りの1区間が1とは限らないため、軸の数字と単位を先に見ます。点の横と縦を順に読み、式や場面へ戻して確かめます。線が方眼の交点を通るように見えても、見た目の位置だけで値を決めず、読み取れる目盛りを使います。

さらに、式が同じでも点を結ぶかを決める問いがあります。長さや時間のように途中の値も取れる量と、切らない部品の個数のように整数に限られる量を比べます。与えられた範囲の端を含むかも条件から判断します。式を作る作業と、場面に合う範囲を選ぶ作業は両方必要です。

原点と点が示すもの

比例とは、2つの数量をx、yとすると、一定の数aを使ってy=axと表せる関係です。aを比例定数といいます。xが0ならyも0なので、対応する点は原点(0, 0)です。xが0でない対応する組では、yをxで割るとaになります。ただし、x=0でy/xを計算することはできません。原点は式に0を入れて確かめます。

座標(x, y)は横の値を先に、縦の値を後に書きます。図1のように、y=2xでは(1, 2)と(2, 4)を通り、y=-2xでは(1, -2)と(2, -4)を通ります。どちらも原点を通りますが、正負によって点の並ぶ向きが違います。図ではxとyの1目盛りをそれぞれ1としています。

図1のように、正の比例定数ではxを正の方向に増やすとyも増え、負の比例定数ではyが減ります。比例の式でxに実数を入れて得られる点は原点を通る直線上にあります。原点ともう1点がわかれば直線の位置を定められますが、点を求める計算や目盛りの間違いを見つけるため、さらに別の点も照合するとよいでしょう。

変域は、文字が取る値の範囲です。0以上4以下なら端の0と4を含みます。場面で時間を扱う場合、出発から4分後までなら通常は0.5分後など途中の時刻も含みます。部品が0個から4個までで、切らずに数えるなら、xは0、1、2、3、4です。数直線上の0から4まで全部を許す条件とは異なります。

グラフに直線を引けるかを決める際は、まず比例の式そのものを考え、次に問題の条件で使える点を選びます。補助として直線の位置を想像しても、答えのグラフでは条件に合わない点まで実線で残さないようにします。軸上の数字を読むことと、実際に使える数量を読むことも区別します。

基本例題：部品を並べる

長さが1個につき3 cmの同じ部品を、切らずにすき間なく一列に並べます。個数をx個、全長をy cmとします。0個から4個までの関係を式とグラフで表し、3個のときの全長を整数で答えてください。0個の全長は0 cmとします。

個数が1個増えるごとに3 cmずつ増えるので、全長は3に個数を掛けて求めます。部品の長さはどの個も同じで、すき間もありません。よって式は次のとおりです。

y = 3・x
y = 3x

xに0から4までの整数を入れます。たとえばx=3のときは、次の計算です。

y = 3・3
y = 9

対応する座標は(0, 0)、(1, 3)、(2, 6)、(3, 9)、(4, 12)です。横軸は個数で1目盛り1個、縦軸は全長で1目盛り3 cmとします。図2のように5点を打ちます。答えは9 cmです。

図2のように点は一直線上に並びますが、点の間は結びません。たとえばx=2.5なら式の計算値は7.5ですが、切らない部品の個数として2.5個は条件に合わないからです。元の場面に戻すと、3 cmの部品を3個並べた全長は3 cmを3回足して9 cmです。0個から4個という範囲にも3個は入っています。

仮に部品を切って使える別の条件に変えるなら、個数という数え方自体をどう定めるかが必要です。式だけを見て点を結ぶか決めず、問題に書かれた量と条件を先に読みます。縦軸の1目盛りを1 cmと取り違えると、(3, 9)を誤った高さに打つので、軸に単位と目盛りを書いてから点を探します。

標準例題：一定の速さで進む

人が出発点から一定の速さで歩きます。2分で120 m進みました。出発から5分後までについて、時間をx分、道のりをy mとして式とグラフを表し、3.5分後の道のりを整数で答えてください。引き返さず、出発時の道のりは0 mです。

一定の速さなので、1分あたりの道のりを求めます。2分で120 mという条件から、次のように計算します。

120 ÷ 2 = 60
y = 60x

比例定数は60で、1分あたり60 mという意味です。たとえばx=5を入れると、y=60・5=300です。横軸を時間、縦軸を道のりとし、原点と(2, 120)、(5, 300)を打ちます。この3点を通る直線のうち、0分から5分までの部分を線で表します。端の0分と5分も含みます。

この場面では2分と3分の間にも時刻があり、一定の速さで進んでいます。したがって途中の点も場面に対応します。3.5分後は式に代入します。

y = 60・3.5
y = 210

答えは210 mです。元の条件に戻すと、60 mを2回進めば120 mです。また3分半では3分の180 mと半分の1分の30 mを合わせて210 mです。3.5は0以上5以下なので、指定の範囲にも入ります。

2分後と5分後の点を打てても、縦軸の単位をcmにしてしまうと道のりが違って伝わります。軸にmと書き、120 mの位置を目盛りで確認します。線を無限に延ばす図は比例の式全体の様子を示しますが、この問題の答えとしては、与えられた時間の範囲に絞ります。

発展例題：負の値と場面の範囲

ある位置を基準の0 mとし、西向きを負とします。人が基準の位置から西へ一定の速さで進み、4分後の位置は-200 mでした。出発後6分までの時間をx分、位置をy mとします。式を求め、2分後と6分後の座標を整数で答え、場面に合うグラフの範囲を説明してください。

位置は基準からの向きも含む量です。4分間で位置が0 mから-200 mになったので、1分あたりの位置の変化は次のとおりです。

-200 ÷ 4 = -50
y = -50x

x=2とx=6をそれぞれ代入します。

y = -50・2
y = -100

y = -50・6
y = -300

求める座標は(2, -100)と(6, -300)です。原点とこれらの点は、右に進むほど下がる直線上にあります。時間は出発後0分から6分までの途中の値も取るため、原点から(6, -300)までを線で表します。式を負のxにも適用すれば別の点を計算できますが、出発後という条件には入りません。

条件に戻して確かめます。毎分西へ50 mなら4分で西へ200 mなので、位置は-200 mです。2分で西へ100 m、6分で西へ300 mという答えも一致します。道のりとして答えるなら正の数で表しますが、ここで求めたのは向き付きの位置なので負号が必要です。縦軸を道のりと読み替えて-300 mを道のりと答えると、何を表す数かが変わってしまいます。

比例定数が負だから時間まで負にする必要はありません。xが正か負か、yが正か負かは別々に決まり、場面の条件が許す範囲で点を選びます。軸を延長することと、場面に合う線を答えることを混同しないようにします。

誤答を直す：点の間にあるもの

基本例題で、5点を正しく打った後に原点から(4, 12)までを実線で結ぶ誤答を考えます。位置や計算が正しくても、その線は個数が整数でない点まで答えに含めてしまいます。図3のように、(2, 6)と(3, 9)の間には、たとえば個数2.5に対応する位置があります。

図3のように、直線上に並ぶこと自体は正しい観察です。誤りの原因は、式から計算できる値と、切らない部品の個数として許される値を同じにしたことです。修正するときは、xが0以上4以下であることに加え、整数であることを確認して5点を残します。目盛りや点の座標はそのままでも、点と点の間の線を消す必要があります。

別の誤りとして、y=3xの3を見て、横に3進んで縦に1進む点を取ることがあります。比例定数はxが1のときのyであり、正しくは(1, 3)です。式にx=1を入れるとy=3なので、座標を横、縦の順に書いて打ち直します。図2では縦の1目盛りが3 cmである点にも注意します。

負の比例定数の場合、縦軸の下側を見落とす誤りもあります。y=-2xにx=1を入れればy=-2ですから、点は(1, -2)です。(1, 2)を打つと、式に戻したとき2=-2となり一致しません。見た目の向きを暗記する前に、1組を代入して符号を決めます。

練習：条件から点を選ぶ

次の5問はそれぞれ独立した自作の問題です。座標は整数または正確な分数で表し、単位も書いてください。グラフを描く問いでは、軸の量と範囲も示します。

1. 長さ4 cmの同じ棒を切らずにすき間なく並べます。0本から3本までの本数をx本、全長をy cmとします。式とグラフに使う座標を答えてください。
2. 一定の速さで水がたまり、3分で18 Lになりました。初めは0 Lです。6分までの時間x分と水量y Lの式、4分後の水量、グラフを点で表すか線で表すかを答えてください。
3. y=-3xについて、xが-2、0、2のときの座標を答え、これらの点を通る直線の向きを説明してください。xの変域は実数全体です。
4. 紐の長さをx m、重さをy gとします。どの部分も1 mあたり5 gで、0 mから3 mまで切って使えます。x=3/2のときの重さを分数で答え、点を結べる理由を書いてください。
5. 長さ2 cmの同じタイルを切らずに横一列にすき間なく並べ、0枚から5枚までを考えます。式y=2xのグラフを0から5まで実線で結んだ人に、条件に合わない点を1つ座標で示し、直し方を説明してください。xは枚数、yは全長cmです。

練習の答えと確かめ方

1. 式はy=4xです。点は(0, 0)、(1, 4)、(2, 8)、(3, 12)です。横軸を本数、縦軸を全長cmとして、この4点を離して打ちます。棒は切らないので本数は整数です。3本なら4 cmを3回足して12 cmとなり、最後の座標を元の条件で確かめられます。

2. 1分あたりの水量は18 ÷ 3=6 Lなので、式はy=6xです。4分後はy=6・4=24で、24 Lです。途中の時間にも水量が対応するため、横軸を時間、縦軸を水量とし、原点から(6, 36)までを線で表します。6 Lを3分分たすと18 Lに戻り、出された条件と一致します。

3. 順に代入すると、y=-3・(-2)=6、y=-3・0=0、y=-3・2=-6です。座標は(-2, 6)、(0, 0)、(2, -6)です。横の値が増えると縦の値が減り、直線は右下がりです。各横の値を-3倍すると縦の値に戻るので、符号を含めて確かめられます。

4. y=5xにx=3/2を入れると、y=5・(3/2)=15/2です。答えは15/2 gです。1 mの5 gと半分の1 mの5/2 gを合わせても15/2 gになり、元の重さの条件に合います。切って使えるため0 mから3 mの途中の長さにも対応する点があり、その範囲を線で結べます。

5. たとえば(1/2, 1)は式には合いますが、切らないタイルの枚数1/2は条件に合いません。整数のxである0、1、2、3、4、5に対応する6点を離して打ち直します。5枚なら2 cmを5回足して10 cmなので、端の点(5, 10)も条件に合います。線を消す際は、許される両端の点を残します。

持ち帰る視点

• 比例の式y=axは原点を通り、もう1組の対応から直線の位置を決められます。
• 比例定数の符号と軸の目盛りを、点を打つ前に確かめます。
• 変域にある値でも、個数などの条件に合わない点は除きます。
• 時間など途中の値も取る量は、条件の範囲内を線で表します。
• 読み取った値を式と元の場面の両方へ戻します。

点の座標は合っているのに線の選び方が違う場合は、式の計算より先に「横軸は何を数え、途中の値を取れるか」を尋ねると、つまずきの場所が見えます。反対に点の高さが違う場合は、目盛りの単位と代入を1組ずつ照合します。お子さまが答えを説明するとき、保護者は線の途中の1点を指して、その点が場面にあるかを聞くこともできます。

個別指導で確かめるなら、まず軸の名前を隠さずに座標を読んでもらい、次に同じ式で個数と時間の条件を比べてもらいます。線を引いた理由を言葉にし、条件を変えたときにどの部分を直すかまで追うと、計算と範囲のどちらで迷ったかが見えてきます。点の位置と、その点を使える条件がそろって初めて、グラフは数量を伝えます。