中1数学 比例式の解き方と利用—比の順序をそろえて内項と外項の関係を確かめる｜武蔵野個別指導塾

工作の材料の配合を使い、対応する量の順序と積の関係から、数量を求める比例式を読み解きます。

よくあるのは、工作の材料を同じ配合で増やすとき、初めの組では色水と水の順に書き、次の組では水と色水の順に書いてしまう場面です。並んだ数字を掛ければ答えが出そうに見えますが、先に何と何を比べたかを確かめないと、別の配合を表す式になります。材料の量を求めた後も、初めの配合に戻して確かめると、順序の取り違えに気づけます。

比例式は比が等しいことを表す等式です。ここでは比の値から掛け算の関係を作り、材料の配分や合計量へ戻すところまで扱います。変わる2つの量を式やグラフで表す比例の学習とは、注目する対象を分けて考えます。

どんな関係を式にするか

比例式の出方には、まず数字の比に文字が含まれ、その値を求める型があります。例えば 3 : 4 = x : 20 なら、3とx、4と20がそれぞれ対応します。どちらの比も後ろの数が0でないことを確かめてから、等しい比の値として扱います。

次に、配合を保ったまま量を変える型があります。色の材料と水の順で初めの比を書いたなら、変えた後も色の材料と水の順に並べます。片方の比だけを逆にすると、色の材料と水の役割が入れ替わります。単位が違うときは、同じ単位に直してから比を作ることも必要です。

もう一つは、合計を決まった比に分ける型です。比の各数はそのまま実際の量とは限らず、共通の倍率を掛けたものが実際の量です。合計を比の数の和に対応させて片方を求め、もう片方は合計から引く方法もあります。分けた後に合計と比の両方を調べると、式の作り間違いまで点検できます。

比の値から積の等式へ

比 a : b は、bが0でないとき、aをbで割った値 a/b で表せます。a : b = c : d は、bとdがともに0でないとき、a/b = c/d という等式です。図1のように、両方の比で同じ種類の量が同じ位置に来るように並べます。

左端のaと右端のdを外項、中央のbとcを内項と呼びます。a/b = c/d の両辺に、0でない b と d を掛けると、左辺は ad、右辺は bc です。したがって、外項の積と内項の積が等しくなります。これは掛ける場所を暗記するための記号遊びではなく、分数の等式の両辺に同じ数を掛けた結果です。

逆に、bとdが0でなく ad = bc なら、両辺を bd で割ることで a/b = c/d に戻せます。つまり、後ろの項が0でない条件のもとで、積の等式と元の比例式を行き来できます。文字が後ろの項にある場合は、解いた後にその値が0でないかを必ず調べます。

比の両項に同じ0でない数を掛けても、比の値は変わりません。例えば 2 : 3 と 6 : 9 は、どちらも比の値が 2/3 です。両方を逆にした 3 : 2 と 9 : 6 も等しい比ですが、片方だけを逆にした 2 : 3 = 9 : 6 は成り立ちません。順序を変えるなら、対応する両方の比を同じように変えます。

基本例題：同じ配合に増やす

工作用ののりと水を 2 : 3 の割合で混ぜます。のりを8 mL使うとき、同じ配合にする水は何 mLですか。答えは整数で表してください。

のり、水の順で比をそろえ、水を x mLとします。図2のように、初めの比と作る量の対応を縦に確認してから式にします。後ろの項は3とxなので、材料の量として x > 0 を条件にします。

2 : 3 = 8 : x
2/3 = 8/x
2x = 3・8
2x = 24
x = 12

答えは12 mLです。初めののり2に対して8は4倍なので、水3も4倍の12になることでも確かめられます。元の場面へ戻すと、のり8 mLと水12 mLの比の値は 8/12 = 2/3 で、指定の配合に一致します。xは正なので、分母と材料の量の条件も満たします。

もし 2 : 3 = x : 8 とすると、左の先頭はのり、右の先頭は水になり、同じ位置の種類がそろいません。計算の手順が正しくても、求めたい配合には戻らないのです。数字を式に移す前に、各数の上に材料名を書くと、式を作った時点で点検できます。

標準例題：合計から分ける

赤い紙片と青い紙片を 3 : 5 の枚数の比で用意し、合わせて40枚にします。赤と青はそれぞれ何枚ですか。整数で答えてください。

赤を x 枚とすると、青は 40 − x 枚です。両方とも正の整数であることが場面の条件です。赤、青の順に並べると、次の式になります。

3 : 5 = x : (40 - x)
3/(5) = x/(40 - x)
3(40 - x) = 5x
120 - 3x = 5x
120 = 8x
x = 15
40 - x = 25

赤15枚、青25枚です。合計は 15 + 25 = 40 枚で、比の値は 15/25 = 3/5 です。どちらも正の整数ですから、枚数という条件にも合います。

合計の40を青の枚数に対応させて 3 : 5 = x : 40 とするのは誤りです。40は赤と青を合わせた数だからです。別の見方では、比の数の和は 3 + 5 = 8 で、その8に相当する枚数が40です。比の1に相当する枚数は5枚なので、赤は 3・5 = 15 枚、青は 5・5 = 25 枚です。こちらでも実際の枚数と比の数を区別して扱います。

発展例題：加えた後の比から戻る

工作用の黄色い材料と白い材料が、初めは 2 : 3 の量の比で合わせて25 gあります。そこに白い材料を何 gか加えたところ、黄色と白の比が 1 : 2 になりました。加えた量を整数のgで求めてください。

初めの黄色を x gとすると、白は 25 − x gです。まず初めの比から、それぞれの量を求めます。両方の量は正ですから、25 − x は0ではありません。

2 : 3 = x : (25 - x)
2(25 - x) = 3x
50 - 2x = 3x
50 = 5x
x = 10
25 - x = 15

初めは黄色10 g、白15 gです。比は 10/15 = 2/3、合計は25 gなので、初めの条件に戻ります。次に加えた白を y gとします。黄色は変わらず10 g、白は 15 + y gです。

1 : 2 = 10 : (15 + y)
1(15 + y) = 2・10
15 + y = 20
y = 5

答えは5 gです。加えた後の白は20 gで、黄色10 gとの比の値は 10/20 = 1/2 です。加えた量も正なので、加えるという条件と矛盾しません。

分かれ目は、比が変わる前と後で、どの量が変わったかです。初めの合計25 gを加えた後の合計として扱うと、増えた白を数え落とします。また、白に加えたのに黄色を 10 + y とすると、式は解けても場面に戻したときに食い違います。変化する前後を別々に書き、変わらない量をつなぐと立式しやすくなります。

間違えた式から対応を直す

青い塗料と白い塗料を 2 : 5 で混ぜます。青を6 mL使うときの白を x mLとする場合を考えます。誤って 2 : 5 = x : 6 と書くと、内項と外項の積から 2・6 = 5x、つまり x = 12/5 になります。

この式の計算は正しくても、左の先頭は青で、右の先頭のxは白です。図3のように対応を材料ごとにたどると、右側の順序が逆になっているとわかります。原因は積の計算ではなく、比を作る前の対応の取り違えです。

正しくは青、白の順で 2 : 5 = 6 : x と置きます。2x = 30 から x = 15 です。青6 mL、白15 mLなら 6/15 = 2/5 となり、初めの配合に戻ります。誤答の 12/5 mLでは 6 ÷ (12/5) = 5/2 となり、求める 2/5 とは逆です。

積の等式を作る前の段階で、同じ位置に同じ材料があるかを読み上げてみてください。両方を白、青の順にして 5 : 2 = x : 6 としてもよく、やはり 2x = 30 になります。順序は自由に選べますが、左右で統一することが条件です。

もう一つ注意したいのは、後ろの項が文字の式の場合です。たとえ積の等式を作れても、元の比で後ろが0になる値は使えません。例えば 4 : 2 = 6 : (x − 1) なら、まず x − 1 が0でない条件を置き、4(x − 1) = 12 から x = 4 と求めます。後ろは3なので条件を満たし、4/2 = 6/3 と元の比も等しくなります。計算結果をそのまま答えとせず、定義できるかを確認する順序が必要です。

練習：式を作る前に対応を読む

次の5問はそれぞれ独立した自作の問題です。数量を求める場合は指定された単位と形で答え、式と元の条件の確認も書いてください。

1. 7 : 9 = 21 : x を満たす x を整数で求めてください。
2. 粉と水を 4 : 7 の量の比で混ぜます。水を35 g使うとき、粉は何 gですか。整数で答えてください。
3. ひもを 5 : 2 の長さの比に分けたところ、全体は42 cmでした。長い方と短い方の長さを、それぞれ整数のcmで求めてください。
4. 3 : (x − 2) = 2 : 4 を満たす x を整数で求めてください。比の値が定義できる条件も確認してください。
5. 緑の材料と白の材料を 3 : 4 で混ぜます。緑が12 gのとき、白を x gとして 3 : 4 = x : 12 と置いた人がいます。間違いの理由を説明し、正しい白の量を整数のgで求めてください。

練習の答えと戻し方

1. 外項の積と内項の積を等しくします。

7x = 9・21
7x = 189
x = 27

後ろの項27は0ではありません。21/27 = 7/9 となり、元の等式に戻ります。

2. 粉を x gとし、粉、水の順にそろえます。

4 : 7 = x : 35
7x = 4・35
7x = 140
x = 20

粉は20 gです。20/35 = 4/7 で、粉と水がともに正という条件にも合います。

3. 長い方を x cm、短い方を 42 − x cmとします。

5 : 2 = x : (42 - x)
5(42 - x) = 2x
210 - 5x = 2x
210 = 7x
x = 30
42 - x = 12

長い方は30 cm、短い方は12 cmです。30 + 12 = 42、30/12 = 5/2 となり、長短の指定と比も合います。

4. 後ろの項が0にならないように、x − 2 ≠ 0 が必要です。

3 : (x - 2) = 2 : 4
3・4 = 2(x - 2)
12 = 2x - 4
16 = 2x
x = 8

後ろの項は6で0ではなく、3/6 = 2/4 なので元の式も成り立ちます。

5. 左の比の先頭は緑ですが、右の先頭のxは白です。緑、白の順で対応をそろえます。

3 : 4 = 12 : x
3x = 4・12
3x = 48
x = 16

白は16 gです。緑12 g、白16 gは 12/16 = 3/4 で、元の配合に戻ります。正の量であることも確認できます。

条件に合わない値を見分ける

比例式を解いて数が出ても、文章の数量として使えるとは限りません。例えば、ある個数を正の整数と決めた問題で、計算結果が分数になった場合、その分数を無理に整数へ丸めることはできません。式が条件を正しく表しているかを調べ、それでも分数なら、与えられた条件を満たす整数の個数はないと判断します。長さや液体の量なら分数でもよい場合があるため、数の形は問題の場面に戻って決めます。

また、分母が0になる式は比の値を表せません。例えば 2 : (x − 3) では x = 3 を代入すると後ろの項が0です。積の関係へ変形した後は分母が見えなくなることがあるので、最初に x ≠ 3 と記録し、答えを出した後に見直します。材料の配合なら、さらに材料の量が正かどうかも調べます。分母の条件と現実の量の条件は別々の点検です。

配合を変える問題では、増えた分と増えた後の総量も区別します。白い材料が初めに a gあり、b g加わるなら、後の白は a + b gです。求めるものが加えた量なら、後の白の量から初めの白を引きます。比に入れる数と答える数が同じとは限らないため、式の横に「後の量」「加えた量」と書き添えると読み戻しやすくなります。

手元に残す要点

• 比 a : b の値は、bが0でないとき a/b です。
• 比例式では左右の比の対応する量を同じ順に置きます。
• 後ろの項が0でなければ、外項の積と内項の積が等しくなります。
• 合計や増減があるときは、変化前後の量を分けて式にします。
• 求めた値を元の比と場面の条件に戻します。

つまずきを見つけるには

式は立てられるのに答えが合わない場合は、まず各数が何を表すかを式の上に書きます。同じ位置の材料名が違えば立式を直し、材料名がそろっていれば積と分配の計算を1行ずつ追います。正しい積を作れたかと、計算できたかは別の確認です。

お子さまが解答を直すときは、正しい式を先に見せる前に、左右の先頭が何を表すか尋ねると、取り違えた箇所が見えます。個別指導で確かめるなら、量を変えた後の表を自分で埋めてもらい、求めた値が配合と合計に戻る理由を言葉で聞きます。後ろの項が文字の式なら0を除く必要も確認します。比の順序を説明できれば、数字が変わっても比例式を選び直せます。