中1数学 一次方程式の速さと時間—時間差をそろえて追いつく条件を表にまとめる｜武蔵野個別指導塾

先発と後発の歩行時間を表で分け、同じ場所に着く時刻と道のりを追い、焦点は追いつく時間差です。

よくあるのは、先に歩き始めた人を後から出た人が追う問題で、後発の移動時間にも先発の待ち時間を足してしまう場面です。後発の人が出る前、先発の人は歩いていますが、後発の人はまだ歩いていません。同じ時刻に同じ場所へ着くという条件を使うには、それぞれが実際に歩いた時間を分ける必要があります。

速さの文章題では、答えの数字が出ても、どの出発から何分後なのかが曖昧なままになることがあります。時間の始まりを決めて表に書けば、式にする前にその違いを点検できます。ここでは一定の速さで歩く人を扱い、追いつきと出会いを道のりの関係から考えます。

どの量が同じになるか

追いつきには、同じ場所から同じ方向に進む2人の道のりが等しくなる型があります。出発時刻が違っても、追いついた瞬間の位置は同じです。移動時間は一般に同じではありません。後発が出てからの時間を文字にすれば、先発の時間には出発の差を足します。

向かい合って進む出会いでは、2人が進んだ道のりの和が、はじめに離れていた道のりになります。互いの道のりが等しいとは限りません。出会う前に折り返したり、途中で止まったりしないという条件も必要です。

もう1つは、途中に目的地がある型です。方程式の答えが出ても、追いつく前に一方が目的地に着いて歩くのをやめるなら、その式をそのまま使えません。解いた後に時刻の順序と場所を問題の条件へ戻すことが欠かせません。

時間の始点を表に置く

速さが一定なら、道のりは「速さ・時間」で求められます。例えば分速を使うなら時間は分、道のりはその分速に対応する長さの単位にそろえます。時速と分を混ぜる場合は、60分が1時間であることを使ってそろえます。どの単位にするかを先に決めると、式の両側を同じ単位で比べられます。

図1のように、先発が出た後で後発が出る場合を考えます。出発の差を6分、後発が歩く時間をx分とすると、先発が歩く時間はx + 6分です。後発の時間はx分のままです。6分は後発が歩いた時間ではなく、2人の出発時刻の差だからです。

図1のように区間を分けると、後発の出発から追いつくまでの区間は両者に共通し、その前の6分は先発にだけ加わります。xが何を表すかを「後発の出発から追いつくまでの分数」と書いてから、表の時間欄を埋めてください。時刻そのものと、経過した時間は別の量です。

速さが同じ単位なら、各行の速さと時間を掛けて道のりの欄を作れます。追いつきでは2つの道のりを等号で結びます。ただしこれは同じ地点から出て同じ道を同じ方向に進む場合の関係です。出発地点が違う場合には、初めの間隔も含めて位置を比べます。

基本例題：後から出る人を基準にする

同じ場所から同じ道を一定の速さで歩きます。Aさんは午前9時に分速60 mで出発し、Bさんは6分後に分速90 mで同じ方向へ出発します。2人は歩き続けるものとします。Bさんは出発してから何分後にAさんに追いつきますか。また、追いつく時刻と出発地点からの道のりをそれぞれ整数で求めてください。

Bさんの出発から追いつくまでをx分とします。Aさんはその6分前から歩いているので、Aさんの時間はx + 6分です。図2のように表の各行で速さと時間を掛けます。どちらも同じ場所から進んでいるため、追いつく場所までの道のりが等しくなります。

図2のように、Aさんの道のりは60(x + 6) m、Bさんの道のりは90x mです。次の等式を解きます。

60(x + 6) = 90x
60x + 360 = 90x
360 = 30x
x = 12

Bさんは出発してから12分後に追いつきます。Bさんは午前9時6分に出発したので、時刻は午前9時18分です。道のりは90・12 = 1080 mです。

元の場面に戻します。Aさんが歩いたのは9時から9時18分までの18分で、60・18 = 1080 mです。Bさんは9時6分から9時18分までの12分で、90・12 = 1080 mです。到着時刻と道のりの両方が一致します。Aさんの出発から12分後と答えると時刻が合わず、条件を満たしません。

文字の置き方は1通りではありません。Aさんの出発からの時間をy分とすれば、Bさんの時間はy − 6分です。この場合は60y = 90(y − 6)となり、y = 18です。Bさんの時間は18 − 6 = 12分になります。引き算が必要になるのは、文字の始点が先発の出発に変わったからです。どちらの置き方でも、後発の歩行時間が負にならない時刻を考えます。

標準例題：向かい合って歩く

公園の両端P、Qは1440 m離れています。Cさんは午前10時にPからQへ分速70 mで歩き始めます。Dさんは4分後にQからPへ分速90 mで歩き始めます。2人は一定の速さで歩き続けます。Dさんの出発から出会うまでの時間を整数の分で、出会う時刻とPから出会う地点までの道のりを求めてください。

Dさんの出発から出会うまでをx分とします。Cさんの歩行時間はx + 4分、Dさんの歩行時間はx分です。2人は両端から向かい合って進むので、出会うまでに歩いた道のりを合わせるとPとQの間の1440 mになります。

70(x + 4) + 90x = 1440
70x + 280 + 90x = 1440
160x + 280 = 1440
160x = 1160
x = 29/4

求めた時間は29/4分で、整数の分ではありません。問題の指定に合う整数の答えはありません。ただし出会う時刻は7分15秒後なので午前10時11分15秒です。Pからは70・(45/4) = 1575/2 m進みます。Qからは90・(29/4) = 1305/2 m進み、和は1440 mです。Cさんの時間は11分15秒、Dさんの時間は7分15秒で、出発の差4分も一致します。

整数を指定したからといって、小数や分数を勝手に整数へ丸めてはいけません。条件と答えの形が両立するかを確かめる例です。2人の道のりを等しいと置くと、出会いの地点が必ず中点であるかのように扱うことになります。速さや歩行時間が異なるため、和を使って距離全体を復元します。

発展例題：追いつく前に目的地へ着くか

Eさんは午前8時に出発地点から目的地へ分速50 mで歩き始めます。Fさんは同じ地点を8分後に出て、同じ道を分速75 mで追います。目的地は出発地点から1000 m先で、2人とも目的地に着いたら止まります。Fさんは目的地に着くまでにEさんに追いつきますか。追いつく場合は時刻と地点を整数で答え、追いつかない場合はその理由を示してください。

まず、両者が歩き続けると仮定して、Fさんの出発からx分後に同じ地点になる式を作ります。Eさんはx + 8分歩くので、次のようになります。

50(x + 8) = 75x
50x + 400 = 75x
400 = 25x
x = 16

この結果をそのまま追いつきの答えにする前に、目的地までの時間を調べます。Eさんは1000 ÷ 50 = 20分で目的地に着き、時刻は午前8時20分です。Fさんが16分歩くと、時刻は午前8時24分です。Eさんはその4分前に止まっているため、上の式の「Eさんが24分間歩く」という条件が成り立ちません。

Fさんが目的地に着くまでの時間は1000 ÷ 75 = 40/3分で、出発から13分20秒です。したがって午前8時21分20秒に、目的地で先に到着していたEさんと同じ場所になります。歩いているEさんに途中で追いつくことはなく、目的地で会います。Fさんの道のりは75・(40/3) = 1000 mで、Eさんも20分で1000 m進んでいます。時刻の順序と両者の地点が元の条件に合います。

目的地で同じ場所になることを「追いつく」に含むかは言葉の使い方で迷いやすいため、この問題では途中で追いつくかと目的地で会うかを分けて示しました。方程式は前提が成り立つ区間の関係を表します。解がその区間の外に出たときは、式の答えを捨てる理由と、その後の動きを別に調べることが必要です。

誤答の行から時間を戻す

基本例題でBさんの時間をx分と決めたのに、AさんもBさんもx + 6分として、60(x + 6) = 90(x + 6)と書く誤りを考えます。この式は両方が同じ長さの時間を歩いたことを意味します。出発の差が時間欄から消えており、問題の場面を表していません。

図3のように、後発の行から余分な6分を取り除きます。先発の時間との差が6分に戻るかを調べ、その後で速さを掛けます。図3のように時間欄を修正すると、両方に同じ数を足すだけでは時間差を表せないことが見えます。

もう1つの誤りは、追いつきで2つの道のりを足してしまうことです。同じ出発地点から同じ場所に着いた2人の道のりは、それぞれ同じ長さです。足した長さはその道のりの2倍であり、出発地点から追いついた地点までの長さではありません。向かい合う場合には和を使うので、道の順序を言葉や簡単な線で示してから選びます。

逆に、先発が出発してからの時間を文字に置いたのに先発の時間へさらに差を足すと、始点を二重に数えます。文字の説明と表の時間欄を声に出して読み、後発の出発時に先発の時間が差の分、後発の時間が0分になるかを確認すると、最初のずれを見つけられます。

練習：場面ごとに表を作る

次の5問はそれぞれ独立した自作の問題です。速さは一定で、特に断りがなければ歩き続けます。時間は指定された人の出発から測り、式と理由も書いてください。

1. Gさんは午前7時に分速40 mで出発し、Hさんは5分後に同じ場所から同じ方向へ分速60 mで出発します。Hさんが追いつくまでの時間、時刻、出発地点からの道のりを整数で求めてください。
2. 1200 m離れた両端から向かい合って歩きます。Iさんは午前11時に分速50 mで出発し、Jさんは3分後に分速75 mで出発します。Jさんの出発から出会うまでの時間を分数の分で、時刻を分と秒で求めてください。
3. Kさんは同じ地点を分速80 mで出発し、4分後にLさんが分速80 mで同じ方向へ出発します。両者が歩き続けるとき、LさんはKさんに追いつきますか。式と道のりの差で説明してください。
4. Mさんは正午に分速60 mで出発し、Nさんは10分後に同じ地点から分速100 mで追います。目的地は900 m先で、両者は到着すると止まります。途中で追いつくか、目的地で会うかを時刻とともに答えてください。
5. Oさんは分速45 m、6分後に同じ地点を出るPさんは分速75 mで同じ方向に歩きます。Oさんの出発から追いつくまでをy分として式を作り、yとPさんの歩行時間を整数で求めてください。

練習の解答と元の場面への確認

1. Hさんの時間をx分とするとGさんはx + 5分です。道のりが等しいので、

40(x + 5) = 60x
40x + 200 = 60x
200 = 20x
x = 10

午前7時15分、600 m地点です。Gさんは15分で40・15 = 600 m、Hさんは10分で60・10 = 600 m進み、時刻も一致します。Gさんの出発から10分後とするとHさんは5分しか歩いていないため、同じ地点にはなりません。

2. Jさんの時間をx分とするとIさんはx + 3分です。道のりの和が1200 mです。

50(x + 3) + 75x = 1200
50x + 150 + 75x = 1200
125x = 1050
x = 42/5

42/5分は8分24秒です。Jさんは午前11時3分に出るので出会いは午前11時11分24秒です。Iさんは57/5分で570 m、Jさんは42/5分で630 m進み、和は1200 mです。両者の時間差も3分です。道のりを等しくすると、この570 mと630 mの違いを失います。

3. Lさんの時間をx分とすると、追いつくには80(x + 4) = 80xが必要です。左辺を展開すると80x + 320 = 80xとなり、320 = 0という成り立たない等式になります。追いつく時刻はありません。Kさんが先に進んだ320 mを、同じ速さでは縮められないこととも一致します。答えが出ないときは計算の失敗と決めず、場面の条件と照合します。

4. Nさんの時間をx分として両者が歩く間の式を作ります。

60(x + 10) = 100x
60x + 600 = 100x
600 = 40x
x = 15

これは正午から25分後ですが、Mさんは900 ÷ 60 = 15分後、すなわち午後0時15分に目的地で止まります。式の前提が成立しません。Nさんは900 ÷ 100 = 9分で着くので、午後0時19分に目的地でMさんと会います。Mさんは60・15 = 900 m、Nさんは100・9 = 900 mです。途中では追いつかず、時刻の順序も条件に合います。

5. Oさんの時間はy分、Pさんの時間はy − 6分です。道のりを等しくします。

45y = 75(y - 6)
45y = 75y - 450
450 = 30y
y = 15

Oさんは15分、Pさんは9分歩きます。45・15 = 675 m、75・9 = 675 mで同じ地点です。出発の差も15 − 9 = 6分です。yをPさんの時間と読み違えると、式と答えの意味が食い違います。

使う前に残す4行

• 文字が表す人と時間の始点を決めます。
• 出発の差は、実際に歩いた時間に合わせて足すか引きます。
• 追いつきは位置の一致、向かい合う出会いは道のりの和を使います。
• 得られた時刻と道のりを両者について元の条件に戻します。

つまずきを見分けるには

お子さまが式を立てる前に、後発が出発した瞬間の2人の歩行時間を尋ねると、時間の始点を区別できているかが見えます。その時点で後発の時間は0分です。先発の時間も0分と答えた場合は、出発の差を表のどこに置くかを一緒に確かめます。

個別に確かめるときは、式だけを採点せず、文字の意味、各人の時間、道のり、時刻の順で説明してもらいます。正しい答えでも時刻を先発と後発のどちらから数えたかを説明できなければ、条件を変えた問題で取り違えることがあります。反対に答えが存在しない問題では、なぜ存在しないかを時間差や目的地に戻して言えるかを見ます。時間をそろえた表は、同じ場所に着くという条件を目に見える式へつなぎます。