中1数学 正負の数の乗法と除法—符号を先に判断して逆数と計算の意味を結ぶ｜武蔵野個別指導塾

負の分数で割るときの符号と逆数を順に判断し、商に除数を掛け戻して元の数へ戻るか点検します。

よくあるのは、負の分数で割る式を計算するとき、分子のマイナスだけを消してしまう場面です。分子と分母を入れ替えることに気を取られると、負の数で割ったという条件が途中から見えなくなります。答えの大きさが合っていても、符号が逆なら元の割り算には戻りません。

符号を先に決め、そのあと絶対値を計算し、最後に除数を掛け戻します。この順番なら、符号の判断と分数の約分を別々に点検できます。積の変化を追うところから始めて、割り算を逆向きの掛け算として見直しましょう。

要点（結論から）

• 0でない2数の積や商は、同符号なら正、異符号なら負です。
• 除数が0でないことを確かめ、除法をその逆数の乗法に直します。
• 商に除数を掛けて、符号も含めて割られる数に戻るか確かめます。

どこで判断が必要になるか

出方の一つは、2つの正負の数の積です。同じ符号なら正、異なる符号なら負と判断します。どちらかが0なら積は0です。符号を決めたあとで、0でない数の絶対値を掛けます。絶対値は数直線上で0からその数までの距離なので、負の数でも正の数です。

もう一つは、負の分数を除数とする割り算です。除数とは、割る側の数です。0でない除数の逆数を掛ける形に直し、積の符号と絶対値を順に求めます。分母と分子を入れ替えるときに、負号まで捨てないことが分かれ目です。

さらに、答えを掛け戻して、もとの数になるかを問われることがあります。割られる数を除数で割った商は、除数を掛けるともとの割られる数に戻ります。この関係を使えば、途中の符号や逆数を点検できます。ただし、除数が0のときはこの手順を使えません。0で割る式には商を決められないからです。

符号の規則と逆数の意味

正の数どうしの積が正になることは、同じ量を何回か足すことから考えられます。たとえば3・2は2を3回足した6です。一方、3・(-2)は負の2を3回足すので-6です。負の数を掛ける場合も、積の規則が保たれるように考えます。

図1のように、掛ける数を1ずつ減らすと、2を掛けた積は2ずつ減ります。1・2は2、0・2は0ですから、その次の(-1)・2は-2です。同じように、掛けられる数を-2にして掛ける数を1ずつ減らすと、積は逆に2ずつ増えます。1・(-2)が-2、0・(-2)が0なので、(-1)・(-2)は2です。負と負の積を正とするのは、計算のつながりを保つためです。

図1では両方とも左から右へ、最初の数が1ずつ減っています。下の列では負の数を1つ分取り除くので積が増えます。符号の規則を表で覚えるときにも、この変化をたどると、負と負の積が正になる理由を説明できます。

逆数は、掛けると1になる数です。たとえば2/3の逆数は3/2で、負の数-2/3の逆数は-3/2です。2つの負号を掛け合わせると正になり、絶対値の積も1になるからです。負号は分数全体についていると考えます。分子に付けて書いても、分母に付けて書いても値は同じですが、両方に付けると正の数になります。

0には逆数がありません。どんな数に0を掛けても0で、1にはならないからです。0以外の数で割ることはその逆数を掛けることと同じですが、0については逆数がないため、この言い換えができません。

基本例題：負の分数で割る

次の商を、既約分数で求めましょう。

(-3/4) ÷ (-2/5)

割られる数と除数がともに負なので、商は正です。なぜなら、負の除数に正の商を掛けると負の割られる数になるからです。図2のように、除数の逆数は-5/2です。負号を残したまま、分子と分母を入れ替えます。

計算の途中を1行ずつ書くと次のようになります。

(-3/4) ÷ (-2/5)
= (-3/4)・(-5/2)
= 15/8

図2の右側は、求めた商を除数に掛けて元へ戻す確認です。

(15/8)・(-2/5)
= -30/40
= -3/4

割られる数に戻ったので、符号と大きさの両方が条件に合います。ここで逆数を正の5/2にしていたら、積は負になります。その負の答えに負の除数を掛けると正になり、元の負の数には戻りません。答えの数だけを見るより、元の式に戻すと誤りの場所を探しやすくなります。

分数の割り算では、割られる数まで逆数にしません。掛け戻す相手は除数なので、その除数の逆数を掛けて、除数の効果を打ち消すと考えます。正負を含めても、この役割は変わりません。

標準例題：符号と約分の順番

次の値を既約分数で求め、除数を掛けて確認しましょう。

(5/6) ÷ (-10/9)

正の数を負の数で割るので、商は負です。先に負と決めておけば、約分の途中で負号を落としても気づけます。除数の逆数は-9/10です。

(5/6) ÷ (-10/9)
= (5/6)・(-9/10)
= -45/60
= -3/4

掛け戻すと次のようになります。

(-3/4)・(-10/9)
= 30/36
= 5/6

元の正の5/6に戻りました。割られる数が正で除数が負なら、掛け戻す際に正を作るには商も負でなければなりません。絶対値だけを計算して正の3/4と答えると、負の数を掛けた結果が負になり、条件に合わなくなります。

途中で約分しても構いません。その場合も、約分は分子と分母を同じ0でない数で割る操作です。符号の判断とは別に、どの数とどの数を割ったかを追えるように書きます。分母だけを小さくする操作は、もとの分数の値を変えてしまいます。

発展例題：商から元の数を逆算する

ある数を-3/7で割ると-14/9になりました。ある数を既約分数で求め、その数を-3/7で割って確かめましょう。

商と除数がわかっているので、ある数は商に除数を掛けて求められます。ここでは、さらに逆数を掛けるのではありません。割り算を元に戻す操作は、実際の除数を掛けることです。負と負の積なので、求める数は正です。

(-14/9)・(-3/7)
= 42/63
= 2/3

条件に戻して確かめます。

(2/3) ÷ (-3/7)
= (2/3)・(-7/3)
= -14/9

指定された商に戻りました。求めた正の数を負の数で割って負になることも、符号の条件と一致します。もし商をさらに-3/7で割ると、もとの数を戻す操作にはなりません。何が商で何が除数かを区別し、戻すときは「商・除数」と言葉で書くと判断できます。

この問題の分かれ目は、答えを出す向きです。割られる数から商へ進むときは除数の逆数を掛けます。商から割られる数へ戻るときは除数そのものを掛けます。逆数を使うかどうかは、式の見た目だけではなく、どちら向きにたどるかで決まります。

誤答から最初のずれを探す

基本例題で、次のようにしたとします。

(-3/4) ÷ (-2/5)
= (-3/4)・(5/2)
= -15/8

図3のように、最初のずれは逆数に直した行です。-2/5の逆数は-5/2なのに、負号が消えています。分子と分母を交換する操作と、符号を変える操作は別です。交換によって負が正になるわけではありません。

誤った答えを掛け戻すと、(-15/8)・(-2/5)は正の3/4です。元の-3/4には戻りません。正しくは逆数を-5/2と書き、負どうしの積を正にして15/8を得ます。図3の修正後の逆数と元の除数を掛けると1になることも、直した箇所の確認になります。

別の誤りとして、0で割った結果を0とすることがあります。0 ÷ 5は、5に0を掛ければ0に戻るので0です。しかし5 ÷ 0を考えると、0に何を掛けても5に戻りません。0 ÷ 0も、どんな数を0に掛けても0になるため、商を一つに決められません。割られる数が0であることと、除数が0であることを区別します。

逆数を作る前に、除数が0でないかを見ます。0でなければ、逆数との積が1かを確認し、符号と絶対値を分けて計算します。掛け戻しが合わなければ、まず符号、次に逆数、最後に約分を調べると、最初のずれを追いやすくなります。

練習：条件を読み分ける5問

答えは分数なら既約分数で書きます。計算できない場合は、その理由を記してください。

1. (-4/7)・(21/8)を求め、積の符号を決めた理由を述べましょう。
2. (-5/12) ÷ (15/8)を求め、除数を掛けて確かめましょう。
3. (7/10) ÷ (-14/15)を求め、逆数を作るときの符号を説明しましょう。
4. ある数を-4/11で割ると3/2になりました。ある数を求め、元の割り算に戻して確かめましょう。
5. 0 ÷ (-9)と(-9) ÷ 0について、計算できるものは整数で答え、できないものは掛け戻しを使って理由を述べましょう。

練習の答えと解き方

1

負と正の積なので符号は負です。絶対値の積を求めます。

(-4/7)・(21/8)
= -84/56
= -3/2

確かめとして、-3/2を21/8で割ると、(-3/2)・(8/21) = -24/42 = -4/7です。最初の因数に戻り、積の符号と大きさを確認できます。

2

負を正で割るので商は負です。正の15/8の逆数は正の8/15です。

(-5/12) ÷ (15/8)
= (-5/12)・(8/15)
= -40/180
= -2/9

掛け戻すと、(-2/9)・(15/8) = -30/72 = -5/12です。割られる数に戻ります。正の除数では逆数も正であり、ここでは割られる数の負号が商の負号につながります。

3

正を負で割るので商は負です。負の-14/15の逆数は-15/14で、負号を残します。

(7/10) ÷ (-14/15)
= (7/10)・(-15/14)
= -105/140
= -3/4

掛け戻すと、(-3/4)・(-14/15) = 42/60 = 7/10です。負どうしの積が正になるので、元の正の数に戻ります。

4

商に除数を掛けると、ある数を得ます。正と負の積なので、ある数は負です。

(3/2)・(-4/11)
= -12/22
= -6/11

元の条件に戻すと、(-6/11) ÷ (-4/11) = (-6/11)・(-11/4) = 66/44 = 3/2です。指定された正の商になります。除数を逆数にして掛けるのは、この戻しの確認で割り算を実行するときです。

5

0 ÷ (-9) = 0です。商0に除数-9を掛けると0となり、割られる数に戻ります。(-9) ÷ 0は計算できません。商としてどの数を選んでも、0を掛けた結果は0であり、-9には戻らないからです。

条件を変えてもう一度考える

基本例題の除数を正の2/5に変えると、逆数も正の5/2になります。割られる数は負のままなので、商は負の15/8です。これに正の2/5を掛けると-3/4に戻ります。除数の符号が変わったことで商の符号は変わりますが、絶対値は変わりません。元の除数と変更後の除数は絶対値が等しいからです。

一方、割られる数を0に変え、除数を負の2/5のままにすると、商は0です。0に除数を掛ければ元の0に戻ります。商が0のときは正や負のどちらかを選ぶ必要はありません。符号の表を使う前に、0が含まれているかどうかを調べることが、条件を変えたときの最初の判断です。

まとめと、つまずきの見分け方

• 0でない2数の積や商は、同符号なら正、異符号なら負です。
• 除数が0でないことを確かめ、除法をその逆数の乗法に直します。
• 商に除数を掛けて、符号も含めて割られる数に戻るか確かめます。
• 0で割ることはできず、0には逆数がありません。

お子さまが答えの符号を外したときは、最終行だけでなく逆数を書いた行を見てください。負号が消えたのか、負と負の積を負と判断したのかで、直す場所が変わります。大きさが違う場合は、分母と分子を入れ替えた数が除数か、約分で分子と分母を同じ数で割ったかを順に確かめます。

個別指導では、途中式を隠さずに書いてもらい、除数と逆数の積が1になる理由を言葉にできるかを見ます。そのうえで、商に除数を掛けて元の数に戻す作業を本人に任せます。正負の積は、符号の決定と逆向きの確認をつなぐと説明できます。