高校地学基礎 走時曲線—到着時刻と初期微動継続時間から距離を求める｜武蔵野個別指導塾

発震時刻からの経過秒数とP波・S波の到着差を分け、距離の計算につなぐ手がかりは走時です。

よくあるのは、地震波の到着時刻をそのまま伝わった時間として割り算に使う場面です。時計の示す時刻と、地震が起きてから波が届くまでの秒数は別の量です。まず学校の範囲表、授業ノート、ワーク、小テストで、走時曲線の軸と初期微動継続時間の扱いを見直してください。ここでは一定の速さで波が進む自作モデルを使い、震源距離を求める道筋を練習します。

どの量を答える問題か

走時曲線の問題は、次のような形で現れます。どの形でも、最初に与えられた量と求める量に印をつけると、時刻と時間を取り違えにくくなります。

1. 発震時刻とP波の到着時刻、速さから震源距離を求める形です。先に時刻の差をとって走時を出し、速さと掛け合わせます。
2. P波とS波の到着時刻の差、または走時曲線の2本の縦の間隔から距離を求める形です。初期微動継続時間が、同じ距離を進む2つの波の走時の差に当たります。
3. 2種類の波の到着時刻から、距離と発震時刻の両方を求める形です。到着時刻の差で距離を求めた後、いずれかの走時を到着時刻から引きます。

図に線が描かれていても、横軸と縦軸が何を表すかは問題ごとに確認します。縦軸が発震からの経過時間なのか、時計の時刻なのかで、原点や読み取った値の意味が違います。時刻差だけを使うときも、同じ地震の同じ地点に届いたP波とS波を組にする必要があります。

時刻と走時を線で区切る

地震が発生した地点を震源、震源の真上の地表の点を震央といいます。震源から観測点までの距離が震源距離です。震央から観測点までの地表上の距離とは同じとは限りません。以下の距離は、問題に特に断りがない限り震源距離です。

地震によって生じるP波は先に届き、小さな揺れである初期微動が始まります。S波が届くと主要動が始まります。P波の到着からS波の到着までが初期微動継続時間です。波が出発してからP波が到着するまでの時間でも、主要動そのものが続く時間でもありません。

図1のように、発震時刻からそれぞれの到着までの区間が走時です。横の線は時間の順序を表す模式図で、長さから秒数を測る図ではありません。同じ発震時刻を出発点にしているので、S波の走時からP波の走時を引くと、2つの到着時刻の差が残ります。

図1のP波到着とS波到着の間を読み取ると、初期微動継続時間になります。たとえば2つの到着が分をまたぐ場合は、秒の欄だけを引かず、前の分から何秒進んだかを数えます。発震時刻がわからなくても到着差は出せますが、その差だけから発震時刻は決まりません。

走時曲線は、距離ごとに波が届くまでの時間を表す線です。ここで用いるモデルは、両方の波が同じ経路の長さをそれぞれ一定の速さで進み、P波の方が速いとします。この条件では、横軸を震源距離、縦軸を走時とすると、各波の線は原点を通る直線です。実際の地球では経路や速さが一様とは限らないので、直線という性質をどの資料にも無条件に当てはめないようにします。

距離を x km、P波の速さを p km/s、S波の速さを s km/s とすると、それぞれの走時は x ÷ p 秒と x ÷ s 秒です。初期微動継続時間は「S波の走時 − P波の走時」です。2つの波の速さの差をそのまま到着時間の差として扱うことはできません。速さと時間では単位が違うからです。

基本例題：時計を経過時間に直す

ある自作モデルでは、P波が震源から観測点まで一定の速さ 6 km/s で進みます。発震時刻は 10時15分20秒、P波の到着時刻は 10時15分40秒です。震源距離を整数の km で求め、答えを使って到着時刻を確かめてください。

図2のように、まず2つの時刻の間を切り出します。この区間がP波の走時です。時刻の「40秒」をそのまま速さに掛けるのではなく、出発点の「20秒」を引きます。

図2の矢印を順にたどると、次の計算になります。

• P波の走時 = 10時15分40秒 − 10時15分20秒 = 20秒
• 震源距離 = 6 km/s × 20 s = 120 km

答えは 120 km です。km/s は1秒あたりに進む km を意味するので、秒を掛けると距離の km になります。時刻を直接掛けた場合は、単位の上でも意味が合いません。

出した距離を条件へ戻します。120 km ÷ 6 km/s = 20秒です。発震時刻の 10時15分20秒に20秒を足すと、与えられた 10時15分40秒に戻ります。この確認は式の計算だけでなく、時刻を引く向きが適切だったかを確かめるためのものです。

発震時刻が示されず、P波の到着時刻と速さしかない場合はどうでしょうか。走時が決まらないため、この情報だけでは距離を1つに定められません。到着時刻を経過時間だと決めつけて計算せず、発震時刻や別の波の到着など、距離を定めるための条件があるかを探します。

到着の差から距離と出発時刻を戻す

別の自作モデルでは、P波とS波は震源から観測点までそれぞれ一定の速さ 8 km/s と 4 km/s で進みます。同じ地点でP波は 14時02分18秒、S波は 14時02分30秒に到着しました。震源距離を整数の km で、発震時刻を秒まで求めてください。

最初に到着時刻の差を求めます。30秒 − 18秒 = 12秒です。これはS波の走時からP波の走時を引いた値で、初期微動継続時間です。まだ発震時刻は使っていません。

震源距離を x km とすると、P波の走時は x ÷ 8 秒、S波の走時は x ÷ 4 秒です。両者の差を12秒と置き、次のように解きます。

• x ÷ 4 − x ÷ 8 = 12
• x ÷ 8 = 12
• x = 96

震源距離は 96 km です。P波の走時は 96 ÷ 8 = 12秒、S波の走時は 96 ÷ 4 = 24秒です。P波の到着 14時02分18秒から12秒戻すと、発震時刻は 14時02分06秒になります。

S波でも逆にたどります。14時02分06秒に24秒を足すと 14時02分30秒で、条件に戻ります。2つの到着差も 24 − 12 = 12秒です。片方の波だけで発震時刻を計算した後、もう片方の到着にも一致するかを確認すると、途中の取り違えを見つけやすくなります。

考え方の分かれ目は、縦軸に何が載っているかです。走時曲線から同じ距離でP波とS波の値を読むと、2つの縦の値の差が初期微動継続時間です。時計の時刻の表なら到着時刻同士を引いて同じ差を求めます。いずれも同じ地震・同じ観測点の組で比較することが条件です。

同じ条件なのにS波の到着がP波より早い記録が与えられたら、このモデルとは両立しません。差の符号を勝手に逆にして距離を出さず、波の名前や記録の転記を確認します。また2つの速さが同じという条件では、どの距離でも到着差は0秒なので、到着差だけから距離は特定できません。

誤答を出発点から直す

基本例題で「到着時刻の秒の欄は40だから、6 × 40 = 240 km」とした答案を考えます。計算自体は合っていますが、40は時計の秒の表示であり、波が進んだ秒数ではありません。発震から到着までを区切って20秒を取り出すと、6 × 20 = 120 km に直せます。

図3のように、発震時刻を始点、到着時刻を終点として差を取ります。図3では、中段で20秒の走時を取り出し、下段で6 km/sを掛けて120 kmを求めています。誤答の 240 km から到着時刻を逆算すると、走時は40秒となり、発震から足した時刻は与えられた到着時刻と一致しません。

別の誤りは、P波の走時を初期微動継続時間とすることです。波の出発からP波の到着までと、P波の到着からS波の到着までは、始点が違います。時刻の線に発震、P波到着、S波到着を順に書き、求めたい区間の両端を指で押さえてから引き算します。

走時曲線の読み取りでも、距離が違う2点の縦の値を引くと、同じ地点での到着差にはなりません。横軸の同じ位置から2本の線まで上下にたどってください。目盛りが不明な図や線の区別がつかない図では、値を作らず、凡例や問題の条件に戻ることが必要です。

自分で解く4問

次の数値はすべて練習用に作った条件です。いずれもP波とS波は震源から同じ観測点まで一定の速さで進み、P波が先に到着します。求める距離は震源距離とします。問題をまとめて解いてから、下の解答で時間の区間と単位を確かめてください。

問1

P波の速さは 5 km/s、発震時刻は 9時23分50秒、P波の到着時刻は 9時24分14秒です。P波の走時を整数の秒で、震源距離を整数の km で求めてください。

問2

P波の速さは 6 km/s、S波の速さは 3 km/s です。P波は 11時40分25秒、S波は 11時40分40秒に同じ地点へ到着しました。初期微動継続時間を整数の秒、震源距離を整数の km で求めてください。

問3

P波の速さは 10 km/s、S波の速さは 5 km/s です。P波は 16時08分05秒、S波は 16時08分17秒に同じ地点へ到着しました。震源距離を整数の km、発震時刻を秒まで求めてください。

問4

ある走時曲線は、横軸が震源距離、縦軸が発震からの走時です。このモデルでは距離 72 km の位置でP波の走時が 9秒、S波の走時が 18秒です。初期微動継続時間を整数の秒、各波の速さを整数の km/s で求めてください。また、同じ図で震源距離を固定して2本の線の縦の差を読む理由を、「到着」と「同じ地点」を使って説明してください。

解答と条件への戻し方

問1の答え

P波の走時は 24秒、震源距離は 120 km です。9時23分50秒から次の分までは10秒、そこから14秒なので、10 + 14 = 24秒です。距離は 5 km/s × 24 s = 120 km です。

120 km ÷ 5 km/s = 24秒を発震時刻に足すと、9時24分14秒になります。秒の欄だけを14 − 50とすると負になり、分をまたいだことが抜けます。時計の進む向きに区間を分ければ確かめられます。

問2の答え

初期微動継続時間は 40 − 25 = 15秒、震源距離は 90 km です。距離を x km とすると、S波とP波の走時の差は x ÷ 3 − x ÷ 6 = 15 です。左辺をまとめると x ÷ 6 = 15 なので x = 90 です。

90 km ではP波は15秒、S波は30秒かかり、差は15秒になります。P波到着の 11時40分25秒から15秒戻すと 11時40分10秒です。そこにS波の30秒を足すと 11時40分40秒になり、与えられた時刻に戻ります。

問3の答え

到着差は 17 − 05 = 12秒です。距離を x km とすると x ÷ 5 − x ÷ 10 = 12 となり、x ÷ 10 = 12、x = 120 です。震源距離は 120 km です。

P波の走時は 120 ÷ 10 = 12秒です。16時08分05秒から12秒戻すと、発震時刻は 16時07分53秒です。S波は 120 ÷ 5 = 24秒かかり、16時07分53秒に24秒を足すと 16時08分17秒に戻ります。分をまたぐ引き算では、時刻を進め直して確認します。

問4の答え

初期微動継続時間は 18 − 9 = 9秒です。P波は 72 ÷ 9 = 8 km/s、S波は 72 ÷ 18 = 4 km/s です。答えの速さで72 kmを進む時間を計算すると、72 ÷ 8 = 9秒、72 ÷ 4 = 18秒となり、図から読んだ値に戻ります。

説明の例は「同じ地点へのP波とS波の到着の時間差を求めるため、同じ震源距離で2つの走時の差を読む」です。別の横位置を選べば別の距離の走時になり、同じ地点への到着差を表せません。

条件が足りないときや食い違うとき

数を計算する前に、答えが決まる条件がそろっているかも調べます。たとえば到着時刻が1つと波の速さが示されても、発震時刻がなければ走時が決まらず、距離を特定できません。問題の図や別の観測値に発震時刻を求める手掛かりがあるかを確認します。

また、P波とS波の到着差だけが示されても、それぞれの速さや対応する走時曲線がなければ、差と距離を結び付けられません。速さを覚えた値で補わず、問題に示されたモデルを探します。曲線の軸に単位がない場合も、目盛りの数をそのまま秒や km と決めることはできません。

転記した時刻が発震より前になった場合は、走時が負になります。日付や時刻の読み間違いを調べ、条件のまま矛盾が残るなら距離を無理に出さず、その条件ではモデルに合わないと判断します。波の到着が分をまたぐ場合は矛盾とは限らないので、分を含めて差を取り直します。

最後に、算出した距離から両方の走時を再計算し、発震時刻に足して到着時刻と照合します。片方だけ合わないときは、速さの対応、時刻差、分をまたぐ計算を順に戻ります。数値を丸める指示がないときは、割り切れない途中の値を勝手に丸めず、分数のまま扱います。

覚えておくこと

• 走時は到着時刻から発震時刻を引いた時間です。
• 初期微動継続時間は同じ地点のS波到着とP波到着の差です。
• 一定速度のモデルでは距離 = 速さ × 走時です。
• 震源距離と震央距離を区別し、答えを到着時刻に戻します。

答案のどこで止まったかを見る

式が立たないときは、発震、P波到着、S波到着を時間順に書けているかを見ます。式は立つのに値が合わないときは、時刻と経過時間の区別や、分をまたぐ引き算を調べます。距離が出ても検算で時刻が戻らなければ、波の速さを入れ替えていないかも確認します。

個別指導では、書いた時間線のどの区間を走時と呼んだか、グラフで同じ震源距離の2点を選べたかを答案に即して確かめます。説明できた区間と止まった区間を分けると、次に直す箇所が見えてきます。波が届くまでの時間を時計から切り出すことが、距離を正しく求める第一歩です。