共通テスト情報I グラフの軸と尺度—同じ数値でも違って見える表現を比較する｜武蔵野個別指導塾

棒の長さと元の値の比、目盛りの間隔、図形の面積を照合します。比較の鍵は軸と尺度です。

よくあるのは、高校生が縦軸の途中を切った棒グラフを見て、2つの値の差が何倍にもなったと読む場面です。棒の先端の高さは数字を表しますが、見えている棒の長さは、軸の下端から先端までの差です。下端が0でない場合は、棒の長さの比をそのまま値の比として読まず、元の数値で確かめます。まず元の数値に戻り、何を比較する表示なのかを確かめましょう。

どこを比べる問題か

グラフの軸と尺度を問う問題では、同じ資料を複数の表示にしたとき、読み手が受ける印象と数値の関係を照合します。第1の型は、棒グラフの縦軸の起点が0か途中かを調べ、棒の長さの比と実際の値の比を分けるものです。差そのものは引き算で求め、比は何を分母にするかを明確にします。

第2の型は、目盛りの数値と間隔の対応を調べるものです。隣り合う線の間隔が同じなら、通常の等間隔の数値軸では値の増分も同じです。数字だけ順に並んでいても、増分が異なるのに等間隔で描けば、途中の高さを読み違える原因になります。軸の省略や異なる尺度を使う場合は、そのことを読み手に示す必要があります。

第3の型は、量を図形の面積で見せるときの比較です。縦と横の両方を2倍にした相似な図形は、面積が4倍になります。数値が2倍であることを面積で示したいなら、縦横をともに2倍にする表現は適切ではありません。これらは表示の妥当性を考える練習であり、データの集め方や因果関係の分析を判断する問題ではありません。

起点、刻み、面積を分ける

軸の起点は、表示する範囲の端に置かれた値です。棒がその端から伸びる図では、棒の見える長さは「値から起点を引いた量」に比例します。棒の長さで量そのものを比較させたい場合、0から始めると長さの比が値の比と対応します。途中からの表示も細かな変化を見る目的では使えますが、その範囲を明示し、棒の長さを値の比として読ませない配慮が必要です。

尺度は、値と位置を対応させる決まりです。例えば1目盛りが10冊で、等しい間隔を使うなら、どの隣接する目盛りでも10冊ずつ増えます。単位も軸の情報です。同じ数字でも冊と人では意味が違いますし、縦軸と横軸の役割を取り違えれば何を比較しているかが変わります。

図1のように、値から位置への対応と、図形の寸法から面積への対応は別々に調べます。位置を比較する線や点では、変化を見やすくするため表示範囲を絞ることがあります。その場合も起点や刻みを隠さず、表示範囲の外までデータが存在しないと誤解させないことが必要です。

図1の左側は起点と刻みを通して値が位置に対応することを示します。右側は縦と横の寸法が面積を決める関係です。どちらも見た目だけから値を推測せず、対応の規則を確認します。棒の場合は先端の値を読み、下端との差として長さを考えると、途中から始まる軸でも混同しにくくなります。

基本例題：切った軸の棒を読む

展示室への来場者数について、自作の記録では午前が80人、午後が100人でした。2本の棒は同じ幅で、縦軸の60人から上を等間隔に描きます。棒はともに60人の位置から始まり、先端はそれぞれ80人と100人です。見える棒の長さの比を午前対午後の整数比で、実際の人数の比も同じ順の整数比で答えてください。また、午後の人数が午前の何倍かを小数で答えてください。

図2のように、棒の根元が60人であることに注目します。棒の先端を読む作業と、棒の長さを読む作業を分けるのが出発点です。縦軸は60、80、100人の順で等間隔に置きます。

図2の午前の先端は80人で、下端からの差は80 − 60で20人分です。午後の先端は100人で、下端からの差は100 − 60で40人分です。したがって見える長さの比は20対40、つまり1対2です。これは午後の人数が2倍という意味ではありません。

元の人数の比は80対100です。両方を20で割ると4対5になり、午後を午前で割ると100 ÷ 80で1.25倍です。差は100 − 80で20人です。元の条件に戻すと、午前80人を1.25倍した人数は100人で、20人を加えても100人になります。比と差がどちらも元の記録に合います。

選択肢に「午後は午前の2倍」とあれば、見える長さの比を人数の比に取り違えています。「午後は午前より20人多い」は先端の値の差に合います。「午前と午後の人数の比は1対2」も、元の80対100に戻せば成立しません。一方、棒の根元を0人にして同じ縮尺で描けば、棒の長さは80人分と100人分となり、その比は4対5です。0からに直すと差が消えるわけではなく、差は引き続き20人です。

読み手が小さな増減を確認するため、途中の60人から表示する場面は考えられます。その場合は下端の値や省略を明確にし、長さの比が人数の比ではないと読み取れるようにします。棒の先端に数値を添える方法も、元の人数に戻る助けになります。

少し難しい例題：面積と刻みの変更

展示物の数を2つの正方形の面積で表します。甲は9個、乙は36個です。甲を一辺2 cmの正方形とし、面積が個数に比例するように乙を描くとき、乙の一辺を整数のcmで答えてください。面積の比と一辺の比も、甲対乙の順に整数比で答えてください。さらに、乙の一辺を8 cmにした案が適切か調べます。

個数の比は9対36、つまり1対4です。甲の面積は2 cm × 2 cmで4 cm²です。面積が4倍なら乙の面積は16 cm²なので、一辺は4 cmです。辺の比は2対4、つまり1対2です。正方形に戻すと4 cm × 4 cmは16 cm²で、甲の4 cm²の4倍になり、36個が9個の4倍である条件に合います。

一辺を8 cmにした案では、乙の面積は64 cm²です。甲の4 cm²の16倍なので、個数の4倍という関係と一致しません。辺を個数の比の4倍にすると、縦横の両方が4倍になり、面積は16倍になります。面積を使うときは、辺の倍率をそのまま値の倍率にしないことが必要です。

次に同じ個数を高さで示す縦軸を考えます。0、9、18、27、36を等間隔に置けば、隣り合う増分はどこも9個です。これに対し0、9、18、36を同じ間隔で置くと、最後の増分は18個で、それ以前の9個と異なります。通常の等間隔の数値軸としては位置と値が対応しません。最後の区間を他の2倍の長さにするか、9個ずつの目盛りを入れると対応を保てます。

値が同じ2つの項目なら、同じ軸上では先端の位置も同じになります。値が0で、棒が0から始まる場合、長さは0です。こうした境界でも対応が崩れないかを調べると、見た目に引きずられた判断を見つけやすくなります。途中からの軸では、表示範囲より小さい値をそのまま棒として描けないため、範囲外の値をどう扱うかも明示する必要があります。

誤答から元の値へ戻る

基本例題で「午後は午前の2倍」と答える誤りを考えます。図3のように、目に見える棒の長さは20人分と40人分なので、長さについての2倍という読み自体は合っています。誤りは、その比を根元の60人を含む人数の比と同じにしたところです。

図3の左の比は表示された長さの比、右の比は人数の比です。修正するときは、まずそれぞれの先端の80人と100人を拾います。次に100 ÷ 80を計算し、1.25倍を得ます。最後に80人に1.25を掛けて100人に戻ることを確認します。長さの2倍と人数の1.25倍を別の量として書けば、何が違ったかを説明できます。

別の誤りは「軸が途中からなら、その図から正しい値を一切読めない」とすることです。目盛りと先端が正しく対応していれば、先端の値や差は読めます。ただし棒の長さの比を値の比と見なすことはできません。図の目的が細かな差の確認なのか、量の比の比較なのかを問いに戻して判断します。

刻みを読むときも、隣接する最初の2つだけを調べて終えると、後半の不ぞろいを見落とします。最後の区間まで増分を書き出し、同じ長さの区間に同じ増分が対応するかを確かめます。面積では、辺の倍率が合っているかだけでなく、縦と横を掛けた面積が元の数量の比に合うかまで戻します。

練習：表示と数値を照らし合わせる

以下は学習用に作った資料です。答えは問題の後にまとめています。各図は軸や図形に示す値が正確であるものとし、指定の形で答えてください。

問1：工作室の利用者は月曜が45人、火曜が60人です。縦軸の30人を下端とし、そこからそれぞれの値まで同じ縮尺で棒を描きます。見える棒の長さの比と実際の人数の比を、それぞれ月曜対火曜の最も簡単な整数比で答えてください。火曜は月曜の何倍か、分数で答えてください。

問2：等しい間隔で並ぶ5本の目盛りに、下から0、4、8、12、20と表示しました。通常の等間隔の数値軸として正しいですか。正しくなければ、他の表示を変えずに最後の目盛りをいくつに直せばよいか、整数で答えてください。

問3：2つの正方形の面積で植物の鉢の個数を表します。小さい方は5個で一辺3 cm、大きい方は20個です。面積を個数に比例させるとき、大きい方の一辺を整数のcmで答えてください。一辺を12 cmにする案が条件に合うかも答えてください。

問4：記録された水の量は容器Aが24 L、容器Bが28 Lです。0 Lからの棒と、20 Lからの棒を、それぞれ同じ図内では同じ縮尺で描きます。次のアからウのうち正しいものをすべて記号で答えてください。ア「0 Lからの棒の長さの比はA対Bで6対7」、イ「20 Lからの棒の長さの比はA対Bで1対2」、ウ「Bの量はAの2倍」です。

答えと道筋

問1：見える長さは45 − 30で15人分、60 − 30で30人分です。長さの比は1対2です。実際の人数は45対60なので3対4、火曜は月曜の4/3倍です。45人に4/3を掛けると60人になり、元の人数に戻ります。棒の長さは2倍でも、人数は2倍ではありません。

問2：正しくありません。増分は下から4、4、4、8で、最後だけ異なります。最後を16に直せば増分は4、4、4、4となります。元の位置を数えると、0から4区間先が16で、途中の4、8、12とも合います。20を残すなら位置の間隔を変える必要があります。

問3：大きい方の一辺は6 cmです。個数は20 ÷ 5で4倍ですから、面積も4倍にします。小さい方の面積9 cm²を4倍すると36 cm²で、6 cmの正方形の面積に一致します。12 cm案は面積144 cm²となり、9 cm²の16倍です。4倍という個数の比に合わないので条件を満たしません。

問4：正しいものはアとイです。アは24対28を4で割った6対7なので成立します。イは下端からの長さが4 L分と8 L分で、1対2なので成立します。ウは28 ÷ 24が7/6であり、2倍なら48 Lになるため成立しません。各候補をそれぞれ元の24 Lと28 Lへ戻し、棒の長さと量の区別を確かめます。

練習で正解に至った後も、表示を変えたときに何が保存されるかを考えます。例えば問1の軸を0人からに変えても、45人と60人という記録や15人の差は変わりません。変わるのは画面上で見える棒の長さです。問2では数字を直す方法と間隔を直す方法があり、どちらを変えてよいかは問題の条件で決まります。問3では正方形の形を保ったまま面積を4倍にするので、辺を2倍にします。条件を変えてよい部分と固定する部分を先に分ければ、修正案を比較できます。

覚えておくこと

棒の先端の値と、下端からの長さを区別します。
等間隔の数値軸では、同じ間隔に同じ増分を対応させます。
面積で量を示すときは、縦横を掛けた結果で比べます。
答えは元の値と単位に戻して確かめます。

手が止まった場所を探す

個別指導で確かめるときは、答えだけでなく、まず軸の下端と各棒の先端を指せるかを見ます。次に見える長さを引き算で書き、元の値の比と別の行に置きます。刻みで迷う場合は隣接する目盛りの差を最後まで並べ、面積で迷う場合は縦と横の値を掛けてから元の数量に戻ります。どの対応で読み違えたかが見えれば、その箇所から考え直せます。グラフの印象を確かな比較に変える鍵は、値と尺度の対応です。