数検2級 加法定理と倍角—角の組合せを選んで値と式を整理する｜武蔵野個別指導塾

角の和と正弦の和を区別し、加法定理から倍角・半角の値を求め、角の範囲で符号を確定します。

よくあるのは、受検者が sin α + sin β を見て、角を足して sin(α + β) と書いてしまう場面です。見た目は似ていますが、左は2つの数の和、右は1つの角に対する正弦です。たとえば α = β = 0 の場合には両方とも0なので、1回の代入では違いを見抜けません。どんな角でも使える変形か、公式の形まで戻って確かめる習慣が必要です。

角を分けるか、値をそろえるか

加法定理と倍角の問題では、まず何を求めるかを見ます。角の値が指定されているときは、既知の値を持つ角の和や差に分ける方法があります。一方、sin θ や cos θ の一方と θ の範囲が与えられるときは、残りの値の符号を決めてから2倍角に進みます。半角では平方根を取る際に正負が現れるので、元の角ではなく半分にした角の範囲を調べます。

たとえば、既知の角の差として余弦を求める型、三角比の一方から sin 2θ を求める型、角の範囲を使って cos(θ/2) を求める型があります。どの型でも、角の単位はそろえます。以下では角を度で表し、式に現れる三角関数はその角に対応する数を表します。合成や最大最小は扱わず、値と式の整理に焦点を当てます。

和と差を式に移す

加法定理は2つの角 A、B について次のように書けます。

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B

sin(A − B) = sin A cos B − cos A sin B

cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B

cos(A − B) = cos A cos B + sin A sin B

正弦は角の間の符号と式の項の間の符号が同じです。余弦は逆になります。左右をひとまとまりで覚え、sin A + sin B と sin(A + B) を別の式として読むことが出発点です。図1のように、角の和や差を入力し、2つの積を組み合わせます。

図1の上段の角の和は、下段の2つの積の和に対応します。角を変えずに三角関数の値どうしを足した式ではありません。差の公式も同様ですが、2つ目の積の前が負になります。余弦では符号の並びが逆なので、正弦の式をそのまま転記しないようにします。

A = B = θ と置くと、sin 2θ = 2 sin θ cos θ、cos 2θ = cos² θ − sin² θ です。さらに sin² θ + cos² θ = 1 を使えば、余弦の倍角は 1 − 2 sin² θ または 2 cos² θ − 1 とも書けます。与えられた値が正弦なら前者、余弦なら後者を選ぶと、未知の値を求めずに済むことがあります。

半角では cos θ = 1 − 2 sin²(θ/2)、cos θ = 2 cos²(θ/2) − 1 と置き換えます。したがって sin²(θ/2) = (1 − cos θ)/2、cos²(θ/2) = (1 + cos θ)/2 です。これは平方の値であって、正弦や余弦そのものの符号までは決めません。平方根の前に付く符号は、θ/2 の位置から決めます。

基本例題: 角の差を選ぶ

問題　cos 15° の値を根号を含む形で求めてください。

15° は値を知っている角の差 45° − 30° と表せます。差を選ぶと、余弦の加法定理にある2つの角の値をそのまま使えます。図2のように、まず角の分け方を決め、次に公式へ移します。

図2の順に計算します。まず角を差に直します。

cos 15° = cos(45° − 30°)

余弦の差の公式では、2つの積を足します。

= cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°

ここで cos 45° = √2/2、cos 30° = √3/2、sin 45° = √2/2、sin 30° = 1/2 です。これらを対応する場所に代入します。

= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)

それぞれの分子と分母を掛けます。

= √6/4 + √2/4

分母が同じなので分子をまとめ、答えは (√6 + √2)/4 です。途中で余弦の差を引き算にすると値が変わります。公式の符号を確認してから値を入れると、角の差に引きずられにくくなります。

求めた値は、もとの15°という角にも戻して点検します。15° は第1象限の角なので余弦は正です。さらに0°と45°の間にあり、この範囲で余弦は1から √2/2 へ減ります。得られた値はその間にあり、位置と矛盾しません。この確認は符号や大きな取り違えを見つけますが、それだけで等式の証明にはならないため、加法定理による計算も残します。

角の分け方は一通りとは限りません。たとえば 60° − 45° としても同じ値になります。使う角の三角関数を正確に書けるか、和と差の公式の符号を扱いやすいかを基準に選ぶとよいでしょう。途中の角を選んだ理由を短く添えれば、次の行がどの公式から出たかも追えます。

半角は角の範囲で分かれる

問題　180° < θ < 270°、cos θ = -3/5 のとき、sin θ、sin 2θ、cos(θ/2) をそれぞれ分数または根号を含む形で求めてください。

まず θ は第3象限にあります。ここでは正弦も余弦も負です。sin² θ + cos² θ = 1 に cos θ = -3/5 を代入すると、sin² θ + 9/25 = 1 なので sin² θ = 16/25 です。平方根を取ると候補は 4/5 と -4/5 ですが、第3象限では負ですから sin θ = -4/5 と決まります。

続いて sin 2θ = 2 sin θ cos θ に代入します。2 × (-4/5) × (-3/5) = 24/25 です。2θ は 360° < 2θ < 540° にあり、1周分を引くと第1象限から第2象限の範囲です。この範囲では正弦が正なので、積から得た符号と一致します。

最後は角を半分にします。元の範囲の各辺を正の数2で割ると 90° < θ/2 < 135° です。θ/2 は第2象限なので余弦は負です。半角の関係から cos²(θ/2) = (1 + cos θ)/2 = (1 − 3/5)/2 = 1/5 となります。よって cos(θ/2) = -√5/5 です。平方根を正に固定すると、半分の角の位置と食い違います。

ここが方法の分かれ目です。sin 2θ は2つの値の積なので、先に sin θ の符号が必要です。対して cos²(θ/2) は cos θ から直接求められますが、平方根の符号は別に判断します。検算として、-√5/5 を2乗すると 1/5 で、2 cos²(θ/2) − 1 = -3/5 と元の余弦に戻ります。負という符号も第2象限に合っています。

もし範囲が示されなければ、同じ cos θ に対して正弦の符号が異なる角があり、sin 2θ の符号も一意には決まりません。値の式だけで答えを固定せず、与えられた範囲が何を決めるかを見ます。境界が含まれる問題では軸上の角も候補になるため、正負だけでなく0になる場合も調べます。

同じ倍角を別の形で見る

倍角の余弦を変形するとき、元になる関係を一行残すと符号を確認できます。cos 2θ = cos² θ − sin² θ に cos² θ = 1 − sin² θ を代入すれば、1 − sin² θ − sin² θ となり、1 − 2 sin² θ です。同じ式に sin² θ = 1 − cos² θ を代入すれば、cos² θ − (1 − cos² θ) となり、2 cos² θ − 1 です。かっこの前の負号が中の2項に作用する点に注意します。

たとえば sin θ = 3/5 なら、角の象限を知らなくても cos 2θ = 1 − 2 × 9/25 = 7/25 と求まります。cos θ の符号はこの計算に必要ありません。ただし sin 2θ を求めるときは cos θ の符号が必要なので、同じ情報から必ず同じように答えが決まるわけではありません。求める式に未知の符号が残るかを見て、条件の不足を判断します。

半角の式も、倍角の角を θ/2 と置いて得られます。暗記した式を思い出せない場合は、cos θ = 1 − 2 sin²(θ/2) から移項し、2で割ります。余弦の半角なら cos θ = 2 cos²(θ/2) − 1 を使います。こうして導いた平方の値が負になった場合は、与えられた三角関数の値や代入の符号を点検します。実数の平方は負にならないからです。

正弦の和を角の和にしない

誤答　sin 30° + sin 30° = sin 60° とする。

左辺は 1/2 + 1/2 = 1 です。右辺は √3/2 なので等しくありません。図3のように、両辺をそれぞれ計算すると変形が成り立たないことが見えます。1つでも反例があれば、どんな角にも使える等式ではないと判断できます。

図3の左には2つの正弦の値を足した結果、右には足した角の正弦の値があります。角を足してから正弦を取るときは、加法定理に従って sin 30° cos 30° + cos 30° sin 30° とします。これは √3/4 + √3/4 = √3/2 で、右辺に戻ります。積の因子を落とさないことが修正の要点です。

一方、左辺の問題を解くなら角をまとめず、各項を計算します。式の似た部分を丸で囲む前に、足し算が関数の外にあるか、かっこの中にあるかを指で追うと、必要な操作を選びやすくなります。偶然同じ値になる角があっても、公式として一般に使える根拠にはなりません。

練習問題

答えは分数または根号を含む形で表してください。角は度で表します。

1. sin 75° を求めてください。
2. 90° < x < 180°、sin x = 5/13 のとき、cos x と cos 2x を求めてください。
3. 180° < y < 360°、cos y = 1/3 のとき、sin(y/2) と cos(y/2) を求めてください。
4. cos 20° cos 40° − sin 20° sin 40° の値を求めてください。

練習問題の答えと考え方

1. 75° = 45° + 30° です。正弦の和の公式から sin 75° = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4 です。75° は第1象限にあるので正の値は位置に合います。また 90° − 75° = 15° で、余角の関係から cos 15° と一致し、基本例題の値にも戻ります。

2. x は第2象限なので cos x は負です。cos² x = 1 − 25/169 = 144/169 より cos x = -12/13 です。cos 2x = 1 − 2 sin² x = 1 − 50/169 = 119/169 となります。別の倍角の形に戻すと cos² x − sin² x = 144/169 − 25/169 = 119/169 です。さらに sin² x + cos² x = 1 で、与えられた正弦の値と角の位置の両方に合います。

3. y は指定された範囲で余弦が正なので第4象限、すなわち 270° < y < 360° です。したがって 135° < y/2 < 180° となり、半角の正弦は正、余弦は負です。sin²(y/2) = (1 − 1/3)/2 = 1/3、cos²(y/2) = (1 + 1/3)/2 = 2/3 ですから、答えは sin(y/2) = √3/3、cos(y/2) = -√6/3 です。2つの平方の和は1で、cos²(y/2) − sin²(y/2) = 1/3 と元の cos y に戻ります。符号も半角の範囲に合います。

4. 余弦の和の公式の右辺と比べると、20° と40° の組です。したがって与式は cos(20° + 40°) = cos 60° = 1/2 です。2つ目の積の前が負であることを確認します。公式を逆向きに開けば元の2つの積へ戻るので、角の組と符号の取り違えも点検できます。

覚えておくこと

• 角の和の正弦は、2つの正弦の和とは限りません。
• 加法定理は角を分け、積と符号を対応させます。
• 倍角の余弦は、与えられた値に合わせて形を選びます。
• 半角の平方根の符号は、半分にした角の範囲で決めます。

どこで止まったかを見分ける

式が合わないときは、最終行だけでなく、角を分けた行と公式を代入した行を比べます。角の差なのに余弦の公式で積を引いていれば、公式の符号に戻ります。平方根の符号が違えば、元の角と半角の範囲を別々に書き、第何象限にあるかを確かめます。

個別指導では、お子さまに「この和は角の和か、値の和か」「なぜその平方根の符号を選んだか」を式を指して説明してもらうと、公式の記憶と角の判断のどちらに戻るべきかが見えます。値の検算では平方した結果だけでなく、角の位置に戻して符号まで照合します。角と値の区別が、正しい次の変形への道筋をはっきりと定めます。