数検2級 点と直線—内分点と距離から直線の条件を式に置き換える｜武蔵野個別指導塾

内分点を通る垂線や点と直線の距離を計算し、傾きが定義されない縦の直線も別に調べられます。

よくあるのは、2点を結ぶ直線の傾きを求めようとして、横の座標の差が0なのに割り算を続けてしまう場面です。計算が止まったら、点の位置を見直します。2点の横の座標が同じなら、直線は縦に延びます。その直線にも方程式があり、平行や垂直の条件を調べられます。傾きが使えるかどうかを最初に判断すると、点と直線の問題を最後まで追いやすくなります。

点から直線へ変える問い

点と直線では、座標、比、方向、距離という別々の言葉を、同じ座標平面の条件に直します。たとえば、2点の内分点を求め、その点を通る直線を作る型があります。先に点を確定し、その後に方向を決めると、何を式へ代入するのかが明確です。

また、ある直線に平行または垂直で、指定された点を通る直線を求める型も考えられます。斜めの直線なら傾きを使えますが、縦や横の直線は図で方向を確かめると安全です。さらに、点と直線との距離が与えられる型では、絶対値を含む式を解き、候補を元の距離に戻します。条件を満たす直線が複数ある場合もあります。

ここでは内分・外分と直線の方程式、平行・垂直、点と直線の距離を扱います。図形を見た目だけで判断せず、図から立てた式と答えを往復する練習です。

比と方向を読み取る

異なる2点 A(x₁, y₁)、B(x₂, y₂) について、線分 AB を AP:PB = m:n に内分する点 P は、A から B へ全体の m/(m+n) だけ進んだ位置です。m、n は正とします。したがって P の座標は ((nx₁+mx₂)/(m+n), (ny₁+my₂)/(m+n)) です。A の座標に掛かるのは反対側の比 n です。比を逆にしたときは、P がどちらの点に近いはずかを確かめます。

外分点は、線分の外側で PA:PB = m:n となる点です。m、n は正で m ≠ n とすると、座標は ((mx₂-nx₁)/(m-n), (my₂-ny₁)/(m-n)) です。m = n のとき、異なる2点について有限の外分点はありません。分母が0になることは、式が使えないという注意であると同時に、図形上の条件にも対応します。

図1のように、A、P、B がこの順に並ぶ内分では AP:PB = 1:2 です。外分の例では A、B、Q の順に並び、AQ:QB = 3:1 です。外分点が線分の外にあることまで確認すると、符号の間違いを見つけやすくなります。

2点の x 座標の差が0でないとき、傾きは y 座標の差を x 座標の差で割った値です。点 (a, b) を通り傾きが k の直線は y-b = k(x-a) と表せます。一方、x 座標が常に a の縦の直線は x = a です。傾きという数を無理に割り当てず、そのまま方程式にします。

傾きがある2直線は、傾きが等しければ平行または一致し、積が -1 なら垂直です。縦の直線どうしも平行または一致し、縦と横の直線は垂直です。別々の直線と指定されているときは、一致していないかも調べます。

直線 ax+by+c = 0 と点 (p, q) の距離は |ap+bq+c|/√(a²+b²) です。ただし a、b は同時に0ではありません。分母は直線の係数で決まり、分子は点を左辺に代入した値の絶対値です。絶対値は直線の両側を距離として同じ正の値で測るために必要です。

距離の公式は、縦や横の直線でも同じ形で使えます。たとえば x = a は x-a = 0 と書けるので、点 (p, q) からの距離は |p-a| です。これは図の横の隔たりと一致します。y = b なら距離は |q-b| で、縦の隔たりです。一般の直線でも、距離は点から直線に下ろした垂線の長さを指し、任意の点までの長さではありません。

直線の方程式は、両辺に0でない同じ数を掛けても同じ直線を表します。距離の公式では分子と分母が同じ倍率で変わるため、距離は変わりません。ただし、係数を整理するときに定数項まで掛け忘れると、別の位置の直線になります。求めた直線が指定点を通るかを代入で確かめる理由はここにもあります。

基本例題：内分点を通る垂線

問題：A(0, 0)、B(6, 3) を結ぶ線分を AP:PB = 1:2 に内分する点 P を求めます。さらに、P を通り、直線 AB に垂直な直線の方程式を求めます。座標と係数は整数または分数で表してください。

まず内分比の和は 1+2 = 3 です。A の座標に2、B の座標に1を掛けて、それぞれを3で割ります。

x 座標は (2×0+1×6)/3 = 2 です。

y 座標は (2×0+1×3)/3 = 1 です。

よって P(2, 1) です。A から B への横の移動6、縦の移動3のどちらも、P まではその3分の1になっています。このため AP:PB は確かに 1:2 です。

図2のように、AB の傾きは (3-0)/(6-0) = 1/2 です。横の差が6なので、ここでは割り算ができます。求める直線の傾きを k と置くと、垂直の条件は (1/2)k = -1 です。両辺を 1/2 で割り、k = -2 を得ます。

P(2, 1) を通るので、点と傾きの式に a = 2、b = 1、k = -2 を入れます。

y-1 = -2(x-2)

y-1 = -2x+4

y = -2x+5

求める直線は y = -2x+5 です。答えに P の x 座標2を入れると y = 1 となり、P を通ります。さらに傾きの積は (1/2)×(-2) = -1 なので、AB と垂直です。点と方向の両方を戻して確かめます。

もし AB が縦なら傾きを計算せず、P を通る横の直線 y = 1 とします。もし AB が横なら、垂線は P を通る縦の直線です。斜めの手順と同じ式を使えるかどうかを、差を取る前に判断します。

この例の内分点は、座標の公式を使わずに A からの移動でも求められます。AB の横の移動は6、縦の移動は3です。内分比 1:2 は全体を3等分してAから1つ進む意味なので、それぞれ2、1だけ移動します。出発点が原点でない場合は、この移動量を出発点の座標に足します。公式で求めた結果と移動の考え方が一致すれば、比の向きの確認になります。

直線を求める段階では、P を通るという条件だけでは方向が決まりません。逆に傾きが -2 という条件だけでは、平行な直線がいくつもあります。点と方向の2つを合わせて初めて1本が決まります。途中の y-1 = -2(x-2) にはこの2条件が残っているので、展開前に何を使った式か説明できるようにしておきます。

少し難しい例題：距離から2本の直線を探す

問題：点 P(1, 2) を通り、点 Q(4, 3) からの距離が 3 である直線を求めます。方程式は整数係数で表してください。

P を通る直線を傾き k で表す前に、縦の直線 x = 1 を調べます。Q からこの直線への距離は横の差 |4-1| = 3 です。したがって x = 1 は条件を満たします。これを先に拾うと、傾きのある直線の式へ移っても候補が抜けません。

次に縦でない直線を y-2 = k(x-1) と置きます。標準形にすると kx-y+2-k = 0 です。Q の座標を左辺に入れると 4k-3+2-k = 3k-1 です。距離が3なので、

|3k-1|/√(k²+1) = 3

となります。分母は正で、両辺とも0以上です。両辺を2乗して整理すると、

(3k-1)² = 9(k²+1)

9k²-6k+1 = 9k²+9

-6k = 8

k = -4/3

です。これを点と傾きの式に入れると、3(y-2) = -4(x-1) となり、4x+3y-10 = 0 を得ます。距離は |16+9-10|/√(16+9) = 15/5 = 3 です。また P を代入すると 4+6-10 = 0 なので、通る条件も満たします。

答えは x = 1 と 4x+3y-10 = 0 です。縦の直線とそれ以外に分けたので、候補の範囲を尽くしています。距離を2乗して解いた後は、元の絶対値の式で確認します。条件が違えば候補が得られない場合もあるため、計算途中で直線が必ず存在すると決めつけません。

傾きを割れないときの修正

例えば C(2, -1)、D(2, 3) を通る直線を考えます。誤って傾きを (3-(-1))/(2-2) = 4/0 と書き、そのまま何かの数として扱うことはできません。0で割る計算は定義されていないからです。計算を続ける前に、分母が表す横の移動量を見ます。

図3のように C と D の x 座標はともに2です。2点を通る直線の各点も x 座標が2なので、正しい式は x = 2 です。C と D をそれぞれ代入すれば、どちらも式を満たします。この直線に垂直で C を通る直線は、横に延びる y = -1 です。

逆に、2点の y 座標が同じで x 座標が違うとき、傾きは0です。0を分子に持つ割り算はできるため、縦の場合と区別します。その横の直線に垂直な直線は縦であり、傾きの積を -1 にする式へ0を入れて解こうとしても求まりません。方向の図に戻って直します。

直線の一致を見落とさないことも必要です。傾きが等しい2本が同じ点を通るなら、それらは同じ直線を表します。平行な別の直線を求める問いでは、指定された点が元の直線上にないか確かめます。

練習問題

答えを見る前に、各条件を式にしてみてください。座標と方程式の係数は整数または分数で表し、距離は根号を用いて表してください。問題の直線は座標平面上の直線です。

1. A(-2, 1)、B(4, 7) を AP:PB = 2:1 に内分する点 P と、P を通り AB に垂直な直線を求めてください。
2. C(1, 2)、D(3, 4) を CQ:QD = 2:1 に外分する点 Q と、Q を通り CD に垂直な直線を求めてください。
3. E(-3, 2)、F(-3, -4) を通る直線と、E を通り EF に垂直な直線を求めてください。
4. 点 R(2, -1) から直線 3x+4y-12 = 0 までの距離を求めてください。

練習問題の答えと確かめ

1. 内分点は P((1×(-2)+2×4)/3, (1×1+2×7)/3) = P(2, 5) です。AB の傾きは (7-1)/(4-(-2)) = 1 なので、垂直な直線の傾きは、積が -1 になる -1 です。y-5 = -(x-2)、すなわち y = -x+7 です。A から P への移動は (4, 4)、P から B への移動は (2, 2) で、比は 2:1 です。P(2, 5) を代入すると 5 = -2+7 で直線上にあり、傾きの積は 1×(-1) = -1 なので AB に垂直だと確かめられます。

2. 外分点は Q((2×3-1×1)/(2-1), (2×4-1×2)/(2-1)) = Q(5, 6) です。C から D、D から Q への移動はいずれも (2, 2) ですから、C、D、Q の順に並び、CQ:QD = 2:1 です。CD の傾きは1、垂直な直線の傾きは -1 なので、y-6 = -(x-5)、つまり y = -x+11 です。Q を代入すると 6 = -5+11 で、傾きの積も -1 です。

3. E と F の x 座標が同じなので、EF は x = -3 です。0で割って傾きを求める必要はありません。垂直な方向は横で、E の y 座標を使うと y = 2 です。E と F は x = -3 を満たし、E は y = 2 も満たします。縦と横なので、交わる角は直角です。

4. 距離の公式へ代入すると |3×2+4×(-1)-12|/√(3²+4²) = |-10|/5 = 2 です。距離が負にならないよう絶対値を取ります。元の図形でも確かめるため、R から直線へ下ろした垂線の足を H(16/5, 3/5) とします。H は 3x+4y-12 = 0 を満たし、RH の横と縦の差はそれぞれ 6/5、8/5 です。したがって RH = √((6/5)²+(8/5)²) = 2 です。RH の傾きは 4/3、与えられた直線の傾きは -3/4 なので垂直でもあります。

覚えておくこと

• 内分の係数は反対側の比、外分は分母が0でないかを見る。
• 横の座標の差が0なら、縦の直線を x = 定数で表す。
• 平行と垂直は傾きの条件に加え、縦と横の組を調べる。
• 距離の式の絶対値を保ち、候補を元の条件に戻す。

どこで止まったかを見分ける

お子さまが内分点の式を覚えていても比を反対に置く場合は、算出した点がどちらに近いかを線分上で確かめます。外分では線分の外にあるか、点の順序と距離の比を調べます。座標を計算する前に位置を予想すると、符号の誤りにも気づけます。

個別指導では、まず2点の横の差を本人に書いてもらい、傾きを使えるかを言葉で判断します。距離の問題で1本しか出ないときは、縦の直線を別に調べたか、候補を元の距離へ代入したかに戻ります。式を正しく変形する力と、式に入る前に直線の向きを選ぶ力の両方が、点と直線を解く手掛かりです。