高校数学III 曲線の長さ—微小な線分の関係から積分式を立てて計算する｜武蔵野個別指導塾

導関数だけを積分する誤りから出発し、根号の符号と媒介変数の区間をたどり弧長を測ります。

よくあるのは、定期テスト前の演習で、導関数だけを積分して曲線の長さにする場面です。たとえば曲線が上がってから下がると、導関数の積分は高さの差を表しますが、たどった道のりは途中で消えません。横に進む分も含めて、細かい線分の長さを足す必要があります。学習指導要領の数学IIIには積分の応用として曲線の長さが含まれます。ここでは有限の区間で、関数表示と簡単な媒介変数表示を扱います。

答えまでの道筋を選ぶ

出方の1つは、y = f(x) と x の区間が与えられ、導関数から長さを計算する型です。まず f′(x) を求め、1 + {f′(x)}² の平方根を作ります。その後で端点を入れて積分します。導関数を作れたところで止まらず、何を足す式なのかを確認します。

別の型は、x と y がともに t の式で表され、t の区間が指定される場合です。x 方向と y 方向の変化をどちらも t で微分して長さに直します。t が増える間に同じ場所を再び通ることがあれば、積分はその通過も数えます。問題が曲線の図形としての長さを求めるのか、動く点がたどる長さを求めるのかを読み、必要なら区間を分けて重なりを調べます。

もう1つの分かれ目は平方根の整理です。中身が平方になっても、√(A²) は A ではなく |A| です。積分区間で A の符号が変わるなら、その点で区間を分けます。計算が途中で負の長さを返したときは、答えに負号を付け直す前に、この符号と端点の順を調べます。

小さな線分を足す意味

曲線 y = f(x) 上で x が Δx だけ増えるとき、縦の変化を Δy とします。隣り合う点を結ぶ線分は、横が Δx、縦が Δy の直角三角形の斜辺です。図1のように、その長さは √{(Δx)² + (Δy)²} です。傾きは縦の変化と横の変化の比であり、斜辺の長さそのものではありません。

Δx を正としてくくると、線分の長さは √{1 + (Δy/Δx)²} Δx です。区間を細かく分けてこれらを足し、分割を細かくする極限を考えます。傾きが f′(x) に近づくので、f′ が区間で連続なとき、a から b までの長さ L は次の式で表せます。

L = ∫ₐᵇ √{1 + (f′(x))²} dx

ここで a < b とし、端点を含む区間で曲線と導関数が定義されていることを確かめます。平方根の中は 1 以上ですから、長さの密度は正です。たとえば水平な部分でも傾きは 0 ですが、横の幅に等しい長さがあります。導関数だけの積分ではその幅が抜けます。

媒介変数表示 x = x(t)、y = y(t) では、t の増加に対する横と縦の変化をそれぞれ x′(t)、y′(t) で表します。両方の導関数が連続な有限区間 α ≤ t ≤ β で、たどる長さは次の式です。

L = ∫ᵅᵝ √{(x′(t))² + (y′(t))²} dt

これは小さな線分の横と縦を同じ t の幅でくくった式です。x が増え続ける必要はありません。t の端点は問題で与えられた順に置き、x の値をそのまま t の端点として使わないようにします。

長さの公式を使う前には、式の形だけでなく、どの区間をたどるかを決めます。関数表示で右端と左端が座標で与えられた場合は、それぞれの x 座標を積分の端点にします。媒介変数表示では、端点の座標から t を求める必要があることもあります。同じ座標に対応する t が複数あるときは、指定された動きの向きや範囲に合う値を選びます。

また、根号の中がきれいな平方にならない場合も、立てた積分式が直ちに誤りとは限りません。問題が積分式を求めるところまでを求めているか、正確な値まで求めるのかを読みます。原始関数を推測するときは微分して元の密度に戻し、区間内の分母が 0 にならないことや対数の真数が正であることを確かめます。解ける形を作ろうとして、曲線の式や区間を勝手に変えてはいけません。

曲線を途中で分ける場合、それぞれの区間で得た長さは足します。境界の点を両方に含めても、点自体は長さを持たないので重複分が増えることはありません。一方、同じ曲線の一部分を異なる時刻に往復すれば、その区間には正の長さがあり、たどった長さには往路と復路が入ります。求めたい量を図と言葉で明らかにすることが先です。

基本例題：根号が平方になる曲線

曲線 y = (1/2)x² − (1/4)log x、1 ≤ x ≤ 2 の長さを正確な式で求めてください。長さの単位は座標の単位と同じとします。図2はこの区間の両端と曲線の関係を示しています。

log は自然対数です。x > 0 で定義され、区間全体で微分可能です。図2の端点はこの曲線の端点を表します。

f′(x) = x − 1/(4x) です。二乗して 1 を加えると、

1 + {x − 1/(4x)}² = 1 + x² − (1/2) + 1/(16x²) = x² + (1/2) + 1/(16x²) = {x + 1/(4x)}²

となります。区間では x > 0 なので x + 1/(4x) > 0 です。したがって平方根は x + 1/(4x) となり、

L = ∫₁² {x + 1/(4x)} dx = [(1/2)x² + (1/4)log x]₁² = 2 + (1/4)log 2 − (1/2) = (3/2) + (1/4)log 2

です。原始関数を微分すると x + 1/(4x) に戻ります。また端点の x 座標の差は 1 であり、得た長さはそれを上回ります。この比較は長さの方向を確かめる補助であり、積分計算の代わりではありません。端点の座標は (1, 1/2)、(2, 2 − (1/4)log 2) で、いずれも元の式に代入して得られます。

符号が変わる媒介変数の例

点が x = t²、y = (2/3)t³ を満たし、t が -1 から 2 まで増加します。点がたどる長さを正確な式で求めます。端点の位置はそれぞれ (1, -2/3)、(4, 16/3) です。x は t = 0 で減少から増加に変わりますが、t の式ならそのまま変化を追えます。

x′(t) = 2t、y′(t) = 2t² ですから、平方根の中は

(2t)² + (2t²)² = 4t²(1 + t²)

です。√(4t²) = 2|t| なので、長さは

L = ∫₋₁² 2|t|√(1 + t²) dt

となります。t = 0 で符号が変わるため、ここで分けます。負の側では |t| = -t、正の側では |t| = t です。したがって

L = ∫₋₁⁰ -2t√(1 + t²) dt + ∫₀² 2t√(1 + t²) dt = [-(2/3)(1 + t²)√(1 + t²)]₋₁⁰ + [(2/3)(1 + t²)√(1 + t²)]₀² = (2/3)(2√2 − 1) + (2/3)(5√5 − 1) = (2/3)(2√2 + 5√5 − 2)

です。各原始関数の微分は、それぞれの区間の被積分関数に戻ります。さらに t < 0 では y < 0、t > 0 では y > 0 なので、両側の曲線は原点以外で重なりません。原点を通る前後の長さを合わせることが、図形の長さにも対応します。t = 0 で速度の大きさが 0 になっても、積分の被積分関数は連続であり、前後の長さは消えません。

誤った式をどこから直すか

基本例題で、誤って ∫₁² f′(x) dx を曲線の長さとすると、結果は f(2) − f(1) = (3/2) − (1/4)log 2 です。これは縦の座標の増加量です。図3のように、横方向の変化を含む斜辺と、縦方向の変化は別の量です。

原因は、傾きを長さとして足したことにあります。各小区間で、横の幅と縦の変化から斜辺を作り直すと、積分するものは √{1 + (f′(x))²} に変わります。根号を整理した後は、区間内で符号を確かめてから外します。基本例題では正の式なので絶対値を外せますが、前節の t のように符号が変わる場合は分割が必要です。

別の誤りは、媒介変数の式で x′(t) を落として y′(t) の絶対値だけを足すことです。それは縦方向に動いた量の合計で、水平に動く部分を数えません。両方を二乗して加え、平方根を取るところまでを一まとまりとして書くと、何を足しているかを確かめやすくなります。

答えの大きさも、元の場面に照らして点検できます。始点と終点を結ぶ直線の長さは、曲線を細かく区切った線分の長さの和を超えません。したがって、曲線の長さが端点間の直線距離より小さければ、積分式や計算に誤りがあります。ただし、この条件を満たすだけでは正解の証明にはなりません。積分した式が実際の密度であることと、原始関数を微分して戻ることも必要です。

端点の高さが同じ場合も注意します。導関数の積分は 0 になっても、曲線が左右に延びていれば長さは正です。上がった分と下がった分が高さの差では相殺されるのに対し、線分の長さはどちらも正として足されます。この違いを短い図に書くと、公式の 1 と二乗が果たす役割を確かめられます。

自分で試す4問

次の長さは、いずれも近似せず、指定された正確な形で求めてください。各式は示された区間で定義されています。

1. 曲線 y = (3/4)x + 2 の -2 ≤ x ≤ 2 における長さを分数で求めてください。
2. 曲線 y = (1/8)x² − log x の 2 ≤ x ≤ 4 における長さを、分数と log 2 を用いて求めてください。
3. 点が x = 3 cos t、y = 3 sin t を満たし、0 ≤ t ≤ π/2 でたどる長さを π を用いて求めてください。角度は弧度法です。
4. 点が x = t²、y = (2/3)t³ を満たし、-2 ≤ t ≤ -1 でたどる長さを根号を用いて求めてください。

解答と照合

1. 導関数は 3/4 で、長さの密度は √{1 + (3/4)²} = 5/4 です。よって L = ∫₋₂² (5/4) dx = 5 です。元の直線の両端は (-2, 1/2)、(2, 7/2) です。横の差が 4、縦の差が 3 なので、斜辺は √(4² + 3²) = 5 となり、線分の長さに戻ります。

2. 導関数は x/4 − 1/x です。平方根の中は 1 + (x/4 − 1/x)² = (x/4 + 1/x)² となります。区間では x > 0 なので、平方根は x/4 + 1/x です。

L = ∫₂⁴ (x/4 + 1/x) dx = [(1/8)x² + log x]₂⁴ = 2 + log 4 − (1/2) − log 2 = (3/2) + log 2

原始関数を微分すると長さの密度に戻ります。両端の横の差は 2 で、密度は x/4 + 1/x ≥ 1 ですから、この長さは区間の幅以上です。元の曲線の端点は (2, 1/2 − log 2)、(4, 2 − log 4) で、計算した範囲と一致します。

3. x′(t) = -3 sin t、y′(t) = 3 cos t です。三角関数の関係から密度は √(9 sin² t + 9 cos² t) = 3 となります。よって L = ∫₀⁽π/2⁾ 3 dt = 3π/2 です。元の式では x² + y² = 9 で、端点は (3, 0) と (0, 3) です。指定区間で点は半径 3 の円周の4分の1を重複なくたどるので、円周 6π の4分の1という図形の長さにも戻ります。

4. 導関数は 2t、2t² です。区間全体で t < 0 なので、密度は -2t√(1 + t²) です。

L = ∫₋₂⁻¹ -2t√(1 + t²) dt = [-(2/3)(1 + t²)√(1 + t²)]₋₂⁻¹ = (2/3)(5√5 − 2√2)

原始関数の微分は -2t√(1 + t²) です。元の表示に端点を戻すと (4, -16/3) から (1, -2/3) へ進み、t が増える間 x は単調に減るため、同じ部分を重複して数えていません。密度は正であり、答えも正です。

手元に残す要点

横と縦の変化から斜辺の長さを作ります。 関数表示では √{1 + (f′(x))²} を積分します。 媒介変数では両座標の導関数を使います。 平方根を外す前に絶対値と区間の符号を調べます。 端点と重複の有無を元の表示に戻して確かめます。

式が止まった場所を見る

式が導関数の積分で終わっているなら、横の変化をどこで数えたかを説明してみてください。平方根を作れているのに答えが負なら、根号を外した行と積分区間の順を見比べます。媒介変数の問題では、端点に t を代入して実際の位置を言えるか、途中で同じ部分を通り直していないかも確かめます。

個別指導で確認するなら、完成した答えだけでなく、短い線分の図から積分式までを本人に書いてもらいます。符号が変わる点を自分で区間に入れられるかを見れば、平方根の操作と長さの意味のどちらで止まっているかを区別できます。曲線の長さは、小さな斜辺を足す式から読み直せます。