高校数学III 立体の体積と回転体—断面積と回転軸から積分する式を決める｜武蔵野個別指導塾

円環の外半径と内半径を軸から測り、断面積の差から積分式へ進む手順をたどります。軸が領域を通る場合も追い、断面から読み解く回転体の体積です。

よくあるのは、定期テスト前の演習で、円環の外半径と内半径の差を二乗して断面積にする場面です。穴のある断面は、大きな円から小さな円を除いた形です。半径の差を半径とする円とは形も面積も違います。回転軸から両端までの距離を図に書き込み、どの部分が回転後に埋まるかを見てから式を立てましょう。

数学IIIの積分の応用には体積が含まれます。ここでは軸に垂直な断面を積み重ねる方法を扱い、断面が円板になる場合と円環になる場合を区別します。

問題文から断面を選ぶ

出方の1つは、位置 x における断面積が式で与えられ、その立体の体積を求める型です。断面積を A(x)、範囲を a ≦ x ≦ b とすると、体積は ∫[a,b] A(x) dx です。A(x) が連続な場合、短い幅で切った部分の体積を断面積と幅の積で表し、その和の極限がこの定積分になります。断面積が既に与えられているなら、さらに二乗する必要はありません。

次は平面の領域を座標軸のまわりに回す型です。軸に垂直に切った線分が円板または円環になり、その面積を積分します。最後に、座標軸から離れた直線を軸にする型があります。このとき曲線の値そのものが半径とは限りません。軸からの距離を取り直す必要があります。

解き始める前に、回転軸、領域の境界、積分する変数と区間を紙に書きます。軸が水平なら縦の線分を回して x で積分し、軸が鉛直なら横の線分を回して y で積分できます。切り方を変えると境界の式も変わるので、どちらの距離を読んでいるかを明示しましょう。

半径は回転軸から測る

図1のように、軸から遠い側までの距離を外半径 R、近い側までの距離を内半径 r とします。0 ≦ r ≦ R で、断面の円環の面積は πR² − πr² です。外側の円の面積から、回転しても埋まらない内側の円の面積を引いています。半径の差 R − r は円環の幅を表し、円環の面積を直接表す量ではありません。

図1では軸を通る中心から、それぞれの円周へ半径を測っています。領域の線分が軸に触れるか軸をまたぐなら、回した断面には中心の穴がありません。このとき内半径は 0、外半径は軸から線分の両端までの距離の大きい方です。軸の両側の部分を別々の円板として足すと、重なった部分を二重に数えます。

例えば軸が y = c で、ある x での領域が g(x) ≦ y ≦ f(x) だとします。f(x) ≧ g(x) ≧ c なら R = f(x) − c、r = g(x) − c です。一方、c ≧ f(x) ≧ g(x) なら R = c − g(x)、r = c − f(x) となります。上下の順番と、軸からの遠近の順番は同じとは限りません。軸をまたぐ区間や遠い端が入れ替わる区間では、境目を求めて式を分けます。

長さの単位を付けた問題では、半径の二乗に π を掛けると面積の単位になり、さらに幅について積分すると体積の単位になります。単位が合うことは十分な検算ではありませんが、半径を二乗し忘れた式を見つける手がかりです。

基本例題：穴を残して回す

問題：0 ≦ x ≦ 2 で、曲線 y = x + 2、直線 y = 1、および両端の直線で囲まれる領域を x 軸のまわりに1回転させます。体積を π を含む正確な式で求めてください。

まず x を固定すると、領域は y = 1 から y = x + 2 までの縦の線分です。この区間では x + 2 ≧ 2 > 1 なので上下関係は変わらず、線分は x 軸より上にあります。回転後は中央に穴が残り、外半径 R = x + 2、内半径 r = 1 の円環です。

図2のように、線分の下端も軸から離れています。したがって断面積 A(x) は次の式です。

A(x) = π{(x + 2)² − 1²}

= π(x² + 4x + 3)

断面を x = 0 から x = 2 まで積み重ねるので、体積 V は

V = π∫[0,2] (x² + 4x + 3) dx

= π[x³/3 + 2x² + 3x]₀²

= π{8/3 + 8 + 6 − 0}

= 50π/3

です。原始関数 x³/3 + 2x² + 3x を微分すると x² + 4x + 3 に戻ります。積分区間の両端では断面積がそれぞれ 3π、15π であり、どちらも外側の円から半径 1 の穴を引いた値です。積分式は元の領域と対応しています。

もし下端の y = 1 を軸と勘違いすれば、半径を x + 1 としてしまいます。しかし指定された軸は x 軸です。図の線分を延ばして軸との距離を読み直せば、この取り違えを修正できます。端の直線 x = 0、x = 2 は積分の範囲を決める境界であり、半径を測る基準ではありません。

軸が領域を通るときの分かれ目

問題：0 ≦ x ≦ 2 で、直線 y = x、直線 y = 0 と両端の直線で囲まれる領域を、直線 y = 1 のまわりに1回転させます。体積を π を含む正確な式で求めてください。

固定した x での線分は 0 ≦ y ≦ x です。0 ≦ x ≦ 1 では線分が軸の下にあり、遠い端 y = 0 までの距離は 1、近い端 y = x までの距離は 1 − x です。したがって円環の面積は

A(x) = π{1² − (1 − x)²} = π(2x − x²)

です。x = 1 では上端が軸に触れ、穴がなくなります。1 ≦ x ≦ 2 では線分が軸をまたぐので円板になります。下端までの距離は 1、上端までの距離は x − 1 で、この範囲では x − 1 ≦ 1 です。よって外半径は 1、断面積は π です。

境目を使って積分を分けると、

V = π∫[0,1] (2x − x²) dx + π∫[1,2] 1 dx

= π[x² − x³/3]₀¹ + π[x]₁²

= π(1 − 1/3) + π(2 − 1)

= 5π/3

となります。前半の原始関数を微分すれば 2x − x²、後半では 1 に戻ります。x = 1 の両側で断面積はともに π です。また x = 2 では線分の両端が軸からともに距離 1 にあり、回した断面は半径 1 の円板です。これらを元の図に戻して確認できます。

もし領域がさらに右へ延び、上端が軸から距離 1 を超えるなら、遠い端が変わる地点でも分割が必要です。今回の区間では x − 1 ≦ 1 を調べたため、後半の外半径を一定の 1 と決められました。軸をまたぐことを見つけただけで、常に同じ端が外側だと決めないようにします。

間違った式を断面に戻す

基本例題で π(x + 1)² を断面積とする誤答を考えます。これは外半径 x + 2 と内半径 1 の差を二乗したものです。円環の幅は確かに x + 1 ですが、その幅を半径にする円は、もとの大きな円から穴を除いた形とは一致しません。

図3のように、例えば x = 0 の断面では外半径が 2、内半径が 1 です。誤った式は π ですが、正しくは 4π − π = 3π です。原因は長さの差と面積の差を混同したことです。修正するときは、外側と内側の円をそれぞれ二乗してから引きます。

別の誤りは、軸をまたぐ線分の両端の距離を内半径と外半径と考え、円環の式を使うことです。線分が軸を含むので、回転すると中心まで埋まります。穴の半径は 0 とし、遠い方の端までの距離を半径にします。さらに、積分後に体積が負になった場合は符号を最後に直すのではなく、断面積の引く順序、区間、原始関数への端点代入を順に調べます。

軸の位置を取り違えた場合の点検

同じ領域でも、回す直線が変われば体積は変わります。基本例題の領域を仮に y = 1 のまわりに回すと、下端が軸上にあるため、各断面は半径 x + 1 の円板です。これに対して x 軸のまわりでは半径 1 の穴が残ります。領域の幅が同じでも、軸までの距離が違うため断面も違うことを、この比較で確認できます。

また、積分区間を交点から求める問題では、境界の式を連立して得た値が、問題で囲まれた部分の両端かを図で確認します。交点が複数ある場合は、必要な領域の範囲を取り違えることがあります。交点の間でも軸との位置関係が変われば、そこに別の分割点が必要です。交点を求めただけで断面の形まで決まるわけではありません。

数式が正しそうでも、例えば外半径が負になる区間があれば、距離の取り方が破綻しています。軸より下にある点の座標は負でも、軸からの距離は負になりません。代表する位置で線分を描き、式が実際の距離を与えるかを確認してから積分します。計算が長くなっても、この確認は最初の立式の誤りを見つける助けになります。

練習：断面を決めてから計算する

次の4問の答えは、π を含むものは π を残した正確な式で表してください。長さの単位を指定した問題では体積の単位も付けます。先に各問の断面と区間を書いてから、まとめて答えを照合しましょう。

1. 0 ≦ x ≦ 3 における断面積が A(x) = 2x + 1 である立体の体積を求めてください。
2. 0 ≦ x ≦ 1 で、y = x + 1、y = 0 と両端の直線で囲まれた領域を x 軸のまわりに1回転させた立体の体積を求めてください。
3. 0 ≦ x ≦ 1 で、y = x + 3、y = 2 と両端の直線で囲まれた領域を x 軸のまわりに1回転させた立体の体積を求めてください。
4. 長さの単位を cm とします。0 ≦ y ≦ 2 で、x = y、x = 0 と両端の直線で囲まれた領域を y 軸のまわりに1回転させた立体の体積を求めてください。

練習の答えと道筋

1. 断面積は既に与えられているため、そのまま積分します。

V = ∫[0,3] (2x + 1) dx = [x² + x]₀³ = 12

原始関数の微分は 2x + 1 です。元の断面積は区間内で正であり、両端の断面積は 1 と 7 です。幅 3 の区間にわたる面積の変化と、正の体積が対応します。

2. 縦の線分は軸に接しているので、半径 x + 1 の円板です。区間内で半径は正です。

V = π∫[0,1] (x + 1)² dx

= π[x³/3 + x² + x]₀¹ = 7π/3

原始関数を微分すると (x + 1)² に戻ります。両端の断面は半径 1 と 2 の円で、面積は π と 4π です。下端が軸上にあることも元の領域に戻して確認します。

3. 外半径は x + 3、内半径は 2 です。区間内では x + 3 ≧ 3 > 2 なので引く順序は変わりません。

V = π∫[0,1] {(x + 3)² − 2²} dx

= π∫[0,1] (x² + 6x + 5) dx

= π[x³/3 + 3x² + 5x]₀¹ = 25π/3

微分すると被積分関数に戻ります。x = 0 では半径 3 と 2 の円環で断面積は 5π、x = 1 では半径 4 と 2 で 12π です。どちらも元の境界から測った距離です。

4. y を固定すると、横の線分は x = 0 から x = y までです。回転軸は y 軸なので、断面は半径 y の円板です。y は 0 以上で、半径に負の値を使っていません。

V = π∫[0,2] y² dy = π[y³/3]₀² = 8π/3 cm³

原始関数の微分は y² です。y = 0 で断面は点に縮み、y = 2 で半径 2 cm の円になるので、元の三角形の端と一致します。断面積の cm² と積分する幅の cm から、答えの単位は cm³ です。

検算の視点を変える

積分値が出たら、断面積の大小から体積のおおよその範囲も見ます。基本例題では断面積が 3π から 15π へ増えるため、幅 2 の立体の体積は 6π 以上、30π 以下です。50π/3 はこの範囲に入ります。ただし範囲内に入ることだけでは正解の証明になりません。断面積と原始関数の確認を合わせて行います。

一定の断面積なら、積分はその面積に区間の長さを掛けた値になります。難しい式の途中で定数部分が出たときも、この意味に戻せます。積分区間を逆に書くと値の符号が反転するので、体積を求める際は位置が小さい端から大きい端へ積分します。

押さえること

回転軸に垂直な断面を選び、積分する区間を決めます。 円環の面積は π(外半径² − 内半径²) です。 軸をまたぐ断面は円板で、遠い端までの距離を半径にします。 境界や遠い端が変わる地点で積分を分けます。

式が止まった場所を見つける

式を立てられないときは、まず1つの位置で線分を描き、その線分が回転すると穴を残すかを説明してみます。断面を描けるのに式が違う場合は、軸から各端までの距離と、面積を引く順序を確認します。計算後に間違いが出る場合は、展開、原始関数の微分、端点の代入を別々に調べると、どこで値が変わったか追えます。

個別指導で確認するなら、完成した答えだけでなく、軸をまたぐ位置と外半径の切り替わりを本人が図に示せるかを見ます。軸を動かしたときに距離の式をどう直すかも説明できれば、別の領域でも断面から式を作れます。体積の積分は、回転後の断面を正しく読むことから始まります。