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高校数学III 部分積分法—微分する側と積分する側を選んで計算を進める｜武蔵野個別指導塾

公開 2026.11.13更新 2026.11.14武蔵野個別指導塾の特徴高校の定期テスト数学III 単元別

積の微分から部分積分の公式を導き、指数関数と対数関数を含む例題で、役割の選び方と引く積分の符号を追います。

よくあるのは、定期テスト前の演習で、2つの関数の積を見て、それぞれを積分して掛ければよいと考える場面です。微分には積の公式があるのに、積分ではなぜそのまま積にできないのでしょうか。積の微分を逆向きに読み直すと、元の積分を別の積分へ移し替える道筋が見えます。どちらを微分し、どちらを積分するかを先に決めると、途中の符号も追いやすくなります。

積を見たときに問われること

部分積分法では、積を2つの役割に分けて計算します。まず、xと指数関数の積のように、一方を微分すると簡単になる形があります。もう一方の原始関数を求め、その積から残りの積分を引きます。公式に代入するだけでなく、残った積分が元より扱いやすくなる選択を探します。

次に、対数関数の積分です。見かけ上は積がなくても、1を掛けて積と見ます。対数を微分すると分数になり、1を積分するとxになるため、積の中で約分できます。ただし、自然対数 log x を使う場合、実数の範囲では x > 0 です。式を変形する前に、その条件を確かめます。

もう一つは、選び方や負号を問い直す形です。元の式と答えを微分した結果が一致しなければ、答えは原始関数ではありません。積の微分に戻して確かめれば、偶然に計算が進んだ式も点検できます。ここでは一回の適用を中心とし、繰り返す計算は短く触れます。

積の微分を逆に読む

微分可能な関数 u、v について、積の微分は次の形です。

(uv)′ = u′v + uv′

これを uv′ について解くと、uv′ = (uv)′ − u′v です。両辺の原始関数を考えると、次の公式になります。

∫uv′ dx = uv − ∫u′v dx

右辺の最後の積分にも積分定数が含まれています。実際に答えを一つの式にまとめるときは、最後に + C と書きます。Cは任意の定数です。公式の左では u と v′ が掛け合わされ、右では u′ と v に役割が変わります。元の式にあった v′ を積分して v にし、u を微分して u′ にする、と読んでください。

図1のように、選んだ2つの役割は独立した計算で終わりません。uv という項を作った後に、u′v の積分を引きます。図1の右側の負号は、積の微分の式を移項した結果です。引く範囲が積分全体であることを保つため、途中では括弧を使うと安全です。

例えば u を多項式に選べば、微分により次数が下がります。一方、原始関数を求められる指数関数を v′ に選べば、残る積分が簡単になります。逆に選ぶと次数が上がることもあるので、まず「微分後の u」と「積分後の v」を紙の端に書き、残りの積が簡単になるかを予測します。予測は絶対の規則ではありません。候補がうまく進まなければ選び直せます。

積分定数を最後に1つ置ける理由も確認しましょう。v に定数を加えても、uv と ∫u′v dx の両方が変わり、その変化は互いに打ち消されます。最初の v としては、微分すると v′ に戻る簡単な1つを選べば十分です。実際の積分は、扱う区間で関数とその導関数が連続になる範囲で考えます。

基本例題：指数関数と一次式

次の不定積分を求め、答えは e と任意定数 C を含む正確な式で表してください。

∫x eˣ dx

xを微分すると1になり、eˣは積分しても形が変わりません。そこで u = x、v′ = eˣ と選びます。すると u′ = 1、v = eˣ です。どの実数 x でも両方の関数は連続で、微分もできます。

図2のように、左の x から1を作り、右の eˣ の原始関数として eˣ を選びます。公式の各場所を埋めると、順に次のようになります。

∫x eˣ dx = x eˣ − ∫1 × eˣ dx

= x eˣ − eˣ + C

= (x − 1)eˣ + C

1行目の最初の項は u と v の積です。次の項は u′ と v の積の積分であり、前に負号が付きます。残った ∫eˣ dx の原始関数は eˣ なので、2行目になります。最後は共通因子 eˣ をくくっただけです。

答えを元の被積分関数に戻して確かめます。積の微分を使うと、

{(x − 1)eˣ + C}′ = eˣ + (x − 1)eˣ

= x eˣ

となり、元の式と一致します。積分定数を微分すると0です。この確認では、答えの形が別の書き方であっても、微分した結果が元の式と一致するかを見ます。なお、原始関数どうしが定数だけ異なることもあるため、見た目が違うという理由だけで誤答とは決めません。

逆に u = eˣ、v′ = x とすると、u′ = eˣ、v = x²/2 です。この場合は ∫x² eˣ dx が残ります。次数が上がり、一回では簡単にならないため、先ほどの選択の方が計算を進めやすいと判断できます。公式には当てはまっていても、選択の良し悪しは残った積分を見て決めます。

対数は1との積として扱う

次の不定積分を、x > 0 で求めてください。答えは自然対数 log x と任意定数 C を含む正確な式で表します。

∫log x dx

この式を ∫(log x) × 1 dx と見ます。u = log x、v′ = 1 とすれば、u′ = 1/x、v = x です。x > 0 なので log x と 1/x は定義され、計算する区間でも連続です。公式へ入れると、

∫log x dx = x log x − ∫x × (1/x) dx

= x log x − ∫1 dx

= x log x − x + C

です。2行目では x > 0 から x ≠ 0 であることを使い、x と 1/x の積を1にしました。答えを微分すると、

(x log x − x + C)′ = log x + x × (1/x) − 1

= log x

となり、元の被積分関数に戻ります。x log x の微分では、x の微分による log x と、log x の微分による1の両方が出ます。後者が -x の微分と打ち消し合うことまで見ると、負号の役割がはっきりします。

選び方の分かれ目は、積分する側の原始関数を無理なく書けるかです。log x を v′ と選ぶと、求めたい積分そのものの原始関数が必要になり、出発点に戻ってしまいます。1を v′ に選ぶと x が得られ、対数の導関数の分母と消し合えます。積の一方が省略されているときに1を補うのは、この相手を作るためです。

例えば多項式の次数が2以上なら、1回で残った積分にもう一度部分積分を使う場合もあります。その際も、毎回 u′ と v を書き直し、直前の負号を括弧の外に残します。繰り返すこと自体を目的にせず、残る式が簡単になっているかで判断します。

選択が行き詰まったときの戻り方

途中で残った積分が元と同じくらい難しいときは、計算を重ねる前に役割の表を見直します。例えば ∫x eˣ dx で x を積分する側に選ぶと、残る多項式の次数が1から2へ上がります。これは公式の誤用ではありませんが、簡単にするという目的には合いません。最初の行まで戻って x を微分する側に移し、残りが ∫eˣ dx になることを確かめます。

別のつまずきは、原始関数の係数です。例えば e³ˣ の原始関数として e³ˣ を選ぶと、その微分は 3e³ˣ です。正しくは e³ˣ/3 を選び、微分して元に戻ることを確かめます。部分積分の公式に入る前に v′ と v の対応を検算すれば、後の計算全体に係数の誤りを持ち込まずに済みます。

対数では、微分する側に置いても必ず簡単になるわけではありません。残る積 u′v がどのような形になるかを書き、分母が消えるか、基本の原始関数に戻せるかを調べます。問題に定義域が付いていれば、その範囲を最後の答えにも添えます。式の操作が可能な範囲と、原始関数の成立する範囲を同じに保つためです。

最後の微分で元に戻らない場合は、答えの各項を別々に微分し、元の積以外の項を探します。余分な項が残れば、引く積分の符号や係数を点検します。逆に必要な項が足りなければ、uv を作るときの因子の書き落としを確認します。微分による確認は答えの形を整える前にも使えるので、長い計算の早い段階で間違いを見つけられます。確認の際は、各項をまとめる前に符号を一つずつ書き出してください。

誤答を微分して原因を探す

基本例題と同じ積を、各因子の原始関数を掛けて ∫x eˣ dx = (x²/2)eˣ + C とする誤答を考えます。x の原始関数と eˣ の原始関数をそれぞれ正しく求めても、その積が元の積の原始関数になるとは限りません。

図3のように、誤答を微分すると積の微分で2項が生じます。

{(x²/2)eˣ}′ = x eˣ + (x²/2)eˣ

余分な (x²/2)eˣ が残るので、元の x eˣ に戻りません。原因は、積の微分に2項あることを見落とした点です。修正するときは、まず u = x、v′ = eˣ と書き、積 uv から残りの積分 ∫u′v dx を引きます。元の問題を解き直した後に微分で戻すと、修正まで確認できます。

別の失敗は、公式の負号を落として x eˣ + eˣ + C とすることです。これを微分すると x eˣ + 2eˣ となり、元の式と一致しません。uv の項を作った後、残りの積分全体の前に引き算を書き、原始関数を括弧に入れてから整理します。残りの積分の計算で負号が出る場合も、括弧を外す時点で符号を反転させます。

また、対数の問題で定義域を見ずに x = 0 を代入すると、log 0 が定義されないため確認になりません。原始関数の微分は x > 0 の範囲で行います。計算結果の式に x が見えても、元の対数の条件が消えたわけではありません。