高校数学III 積と商の微分—項のまとまりと定義域を保って導関数を計算する｜武蔵野個別指導塾

積の微分の2項と商の分子の引く順序を追い、元の定義域を保ちながら展開や約分による別解と照合します。

よくあるのは定期テスト前の演習で、積をそれぞれ微分した積で答える場面です。2つの因子が同時に変化するとき、一方の変化だけを見ても全体の変化は決まりません。どちらを微分し、どちらをそのまま残した項なのかを分けて書くと、計算の意味を追いやすくなります。商ではさらに分母が0にならない範囲を先に押さえます。

式を見たときの3つの入口

積の形では、2つの因子の導関数を別々に求め、それぞれが変化する分を足します。多項式同士なら展開してから微分する方法もありますが、積のまま扱う練習をすると、展開しにくい形にも公式を使えます。答えを展開した式と比べれば、項の抜けにも気づけます。

商の形では、分子と分母をそれぞれひとまとまりとして見ます。公式の分子は引き算なので、後ろの積全体に負号がかかります。分母を2乗することと、元の分母が0になる点を除くことは別の確認です。計算の前に除く点を書いておけば、途中で約分しても元の関数の範囲を見失いません。

もう1つは、計算の前後で式を照合する型です。約分や多項式の割り算で簡単にして微分した結果と、商の公式で求めた結果を比べます。式が同じ値を取る範囲を添えて初めて、元の関数の導関数としての答えが整います。ここでは積と商の扱いを中心にし、入れ子の関数の微分は扱いません。

変化する側を1つずつ選ぶ

微分可能な関数 u、v の積を考えます。u′、v′ はそれぞれの導関数です。積の公式は

(uv)′ = u′v + uv′

です。最初の項は u を微分し v を残したもの、次の項は u を残し v を微分したものです。図1のように、各項で微分する側を入れ替えます。両方を微分した u′v′ は、この2項の代わりにはなりません。

この形は差商からも確かめられます。x の増分を h とし、u(x+h) を u の新しい値と呼びます。積の増分に u(x)v(x+h) を加えて引くと、次のように分けられます。

u(x+h)v(x+h) − u(x)v(x) = {u(x+h) − u(x)}v(x+h) + u(x){v(x+h) − v(x)}

両辺を h で割り、h → 0 とします。微分可能な関数は連続なので v(x+h) → v(x) です。2つの差商は u′(x)、v′(x) に近づき、上の積の公式になります。両方の変化を区別するために2項が現れる、と見ておきます。

v ≠ 0 のところで、商の公式は

(u/v)′ = (u′v − uv′)/(v²)

です。分子の順序は「分子の微分 × 分母」から「分子 × 分母の微分」を引く形です。引く順序を逆にすると全体の符号が変わります。v² は分母全体の2乗であり、v′ の2乗ではありません。u、v が微分可能でも v = 0 の点では元の商が定義されず、その点の導関数も求められません。

公式の各文字は式全体の名前です。たとえば分子が和なら、u′ を作るときに和の各項を微分し、公式に戻す際は括弧でひとまとまりにします。途中で括弧を外すのは、負号を各項に配る準備ができてからです。

基本例題：2つの形を順に計算する

次の関数の導関数を求め、定義域も答えてください。答えは整理した式で表します。

1. f(x) = (x² + 1)(x − 2)

2. g(x) = (x² + 1)/(x − 2)

まず (1) は多項式の積なので、定義域はすべての実数です。u = x² + 1、v = x − 2 と置くと、u′ = 2x、v′ = 1 です。公式の2項を図2のように作ります。

f′(x) = 2x(x − 2) + (x² + 1) × 1 = 2x² − 4x + x² + 1 = 3x² − 4x + 1

最初の項で x² + 1 を微分し、次の項では x − 2 を微分しました。もとの積を展開すると f(x) = x³ − 2x² + x − 2 です。これを項別に微分しても 3x² − 4x + 1 となり、両方の項を足した結果と一致します。

次に (2) では、x − 2 ≠ 0 より定義域は x ≠ 2 です。(1) と同じ u、v を商の公式に入れます。分子の後半を括弧に入れると、引き算の範囲が見えます。

g′(x) = {2x(x − 2) − (x² + 1) × 1}/(x − 2)² = (2x² − 4x − x² − 1)/(x − 2)² = (x² − 4x − 1)/(x − 2)²

分母が0となる x = 2 は導関数の式でも除きます。別の方法では x² + 1 = (x − 2)(x + 2) + 5 なので、x ≠ 2 で g(x) = x + 2 + 5/(x − 2) です。例えば x = 3 で元の式は10、書き直した式も10です。この書き直しからの導関数 1 − 5/(x − 2)² を通分すると、同じ結果に戻ります。式の一致は定義域の各点での等式によって確かめており、1点の代入は計算の補助です。

積の答えを u′v′ = 2x としてしまうと、展開後の微分と一致しません。商の分子で引く順序を逆にした場合も、例えば x = 3 で正しい導関数が -4 なのに符号が反対になります。代入は間違いを見つける助けになりますが、1点で一致しただけでは式全体が正しい証明にはなりません。

途中式を点検する順序

計算が長くなると、最後の式だけを眺めても、どこで符号が変わったのか見つけにくくなります。まず公式に代入した行で、微分した因子と残した因子の組を確認します。次に展開した行で、括弧の前の負号が各項にかかっているかを調べます。最後に同類項をまとめ、元の定義域を書き添えます。順序を分けると、公式の取り違えと単純な計算違いを区別できます。

分母の2乗を展開する必要は必ずしもありません。(x − 2)² のままなら、元の分母が0になる点との関係を読み取りやすくなります。分子と分母の両方に共通する因子があるか調べる場合も、因数分解された形が役立ちます。一方、和の中の一部にしかない因子を消すことはできません。約分は分子全体と分母全体の共通因子について行います。

定数を含む因子にも注意します。定数項の導関数は0ですが、因子をそのまま残す項では定数項も消えません。基本例題の x² + 1 は、微分する側では 2x になり、残す側では x² + 1 のままです。同じ因子が2つの役割を持つため、先に片方の結果で元の因子を上書きしないことが重要です。

答えを点で調べる際は、その点が元の定義域に入っているか先に確認します。分母が0になる点では、整理後の式が計算できても元の商の検算には使えません。また、適当な1点で正しい式と誤った式が偶然同じ値になることもあります。点での照合は符号や計算の誤りを見つける補助とし、式変形の各行が等しい根拠を残します。

計算の途中で分母が0になる条件を忘れた場合は、最終行からではなく、問題の最初の式から書き直します。約分する前に記録しておけば、整理した後にも条件を戻せます。

少し難しい例題：消えた因子を追う

h(x) = (x² − 1)/(x − 1) の導関数と、その定義域を求めてください。答えはできるだけ簡単な式で表します。

最初に x − 1 ≠ 0 から、元の関数の定義域は x ≠ 1 です。分子を因数分解すると x² − 1 = (x − 1)(x + 1) です。したがって x ≠ 1 では h(x) = x + 1 となり、各点の近くでもこの等式が成り立つので、h′(x) = 1 です。定義域は引き続き x ≠ 1 です。

商の公式でも確かめます。分子の微分は 2x、分母の微分は 1 です。

h′(x) = {2x(x − 1) − (x² − 1)}/(x − 1)² = (2x² − 2x − x² + 1)/(x − 1)² = (x² − 2x + 1)/(x − 1)² = (x − 1)²/(x − 1)² = 1　（x ≠ 1）

最後の約分にも x ≠ 1 が必要です。x = 1 で簡単な式 x + 1 に値を入れることはできますが、それは元の h に値があることを意味しません。元の式はその点で 0/0 となり、関数値が定義されないため、そこでの微分係数もありません。

ここが方法の分かれ目です。分子と分母に共通因子があれば、除外する点を記録してから約分すると短くなります。共通因子が見つからなければ無理に消さず、商の公式で分子全体を作ります。分子の各項が分母で割れるかどうかと、和全体に共通因子があるかどうかも区別します。和の片方の項にしかない因子は、分子全体から約分できません。

誤答から戻る場所

積の誤答として、(x² + 1)(x − 2) の導関数を 2x × 1 = 2x とする例を考えます。原因は各因子を同時に微分して掛けたことです。修正するときは、まず一方を微分し他方を残す欄を2つ作り、2x(x − 2) と (x² + 1) × 1 を足します。図3のように、2つの変化を別々の項として置き直します。

商では (u/v)′ = u′/v′ とする誤りもあります。例えば分母の導関数が0なら、この誤った式は分母が0になりますが、元の分母が0でなければ商は定義されます。分子と分母を別々に微分して割る操作は、商の変化を表しません。公式の分子に u′v と uv′ の両方を書き、後者を引いてから v² で割ります。

また、分子の負号を最初の項にしか配らないと符号が崩れます。-(x² + 1) は -x² − 1 です。括弧を外す行と同類項をまとめる行を分けると、誤りの場所を見つけやすくなります。約分後に除外点を書き忘れた場合は、最終式から推測せず、元の分母に戻って条件を付け直します。

手を動かす問題

いずれも導関数と元の関数の定義域を求め、導関数は整理した式で答えてください。

1. p(x) = (x² + 3)(x + 4)
2. q(x) = (x² + 2)/(x + 1)
3. r(x) = (x² − 9)/(x − 3)
4. s(x) = (2x + 5)/(x − 4)

解答と確かめ

1. p の定義域はすべての実数です。積の公式により

p′(x) = 2x(x + 4) + (x² + 3) × 1 = 3x² + 8x + 3

です。元の積を展開すると x³ + 4x² + 3x + 12 であり、その導関数も同じです。各因子を微分した積 2x だけでは、元の積の変化に戻りません。

2. q の分母は x + 1 なので定義域は x ≠ -1 です。商の公式の引く側を括弧に保つと

q′(x) = {2x(x + 1) − (x² + 2)}/(x + 1)² = (x² + 2x − 2)/(x + 1)²

です。元の式を割り算すると、定義域内で q(x) = x − 1 + 3/(x + 1) です。例えば x = 0 では元の値も書き直した値も2となり、導関数は -2 です。後者を微分した 1 − 3/(x + 1)² を通分しても上の式になります。

3. r は x ≠ 3 で定義されます。x² − 9 = (x − 3)(x + 3) なので、この範囲では r(x) = x + 3、したがって r′(x) = 1 です。答えの定義域も x ≠ 3 です。商の公式からは

r′(x) = {2x(x − 3) − (x² − 9)}/(x − 3)² = (x² − 6x + 9)/(x − 3)² = 1　（x ≠ 3）

となります。例えば x = 4 を元の式に戻すと 7 で、約分後も7です。x = 3 では元の分母が0になるため、答えの式に代入して定義域を広げることはできません。

4. s の定義域は x ≠ 4 です。分子と分母の導関数はそれぞれ 2 と 1 なので、

s′(x) = {2(x − 4) − (2x + 5)}/(x − 4)² = (2x − 8 − 2x − 5)/(x − 4)² = -13/(x − 4)²

です。元の式は x ≠ 4 で 2 + 13/(x − 4) と書けます。x = 5 ではどちらも15で、導関数は -13 です。引く順序を逆にすれば正の13となるので、符号の照合にも使えます。

計算の道しるべ

積は u′v と uv′ を足します。
商は u′v から uv′ を引き、v² で割ります。
元の分母が0になる点を先に除きます。
整理後も元の定義域を保ち、別の形と照合します。

途中式からつまずきを見つける

個別指導で確かめるなら、答えの正誤だけでなく、最初にどこを u、v と見たかを本人に示してもらいます。積の2項のうち、各項で微分した因子を指せなければ、変化する側と残す側を色分けせずとも言葉で区別する練習が有効です。式を展開できても公式の2項を説明できない場合は、積のままの式と展開後の式を同じ行に戻して比べます。

商では、元の分母が0になる値を計算前に書けるか、負号の及ぶ範囲を括弧で示せるかを見ます。約分後に式が定数になっても、除外点が戻らない理由を元の関数値から説明できれば、式の簡略化と定義域の違いを区別できています。積と商の微分は、項の役割と使える範囲をそろえて初めて答えが完成します。