高校数学III 合成関数の微分—内側と外側を分けて微分の掛け忘れを防ぐ｜武蔵野個別指導塾

べき乗と平方根の入れ子で外側・内側の変化率を掛け、根号の境界では定義域と微分できる範囲を区別して考えます。

定期テスト前の演習で、かっこを含む関数を微分するとき、外側のべき乗だけを微分して計算を終える場面があります。たとえば、かっこの中がxそのものではなくxによって変わる式なら、その変わり方も答えに必要です。かっこを1つの文字に置き換えてから、何を何で微分しているかを順に追ってみましょう。

数学IIIの微分法で学ぶ合成関数を、べき乗と平方根を使って考えます。三角関数や指数関数などの個別の公式には立ち入らず、内側と外側をつなぐ計算に焦点を当てます。

どのような式で掛け算が必要になるか

出題の型の1つは、(2x + 3)³のように、一次式全体をべき乗した関数の導関数を求めるものです。外側は3乗、内側は2x + 3です。3乗の微分で指数を下げた後、内側の導関数2を掛けます。外側の公式を覚えていても、この2を落とすと別の関数の変化率になってしまいます。

2つ目は、√(x² + 1)のように、根号の中にもxがある式です。平方根を実数指数の1/2乗として見れば、べき乗の微分と同じ考え方で処理できます。ただし、根号のある式では元の関数が定義される範囲と、導関数の分母が0にならない範囲を確認します。

3つ目は、内側にもさらにかっこがある式です。外側から1層ずつ微分し、それぞれの変化率を掛けると、どの層を処理したかを追えます。積や商の公式を用いる問題もありますが、ここでは合成の部分を見分ける練習に絞ります。

変化率をつなぐ順番

xからuが決まり、uからyが決まる関係を考えます。u = g(x)、y = f(u)と置くと、元の関数はy = f(g(x))です。gが内側、fが外側で、xに先に働くのはgです。式を読むときは、最初にxへ何をして、その結果に次に何をしているかをたどります。

図1のように、xの変化は内側を通ってuの変化になり、さらに外側を通ってyの変化になります。それぞれの関数が必要な点で微分可能なら、合成関数の微分は次の掛け算です。

dy/dx = (dy/du) × (du/dx)

図1では、左の矢印が内側の変化率、右の矢印が外側の変化率に対応します。たとえばxがわずかに変わると、uは内側の変化率に応じて変わります。さらに、そのuの変化に外側の変化率が掛かってyの変化が決まります。式の形は分数の約分に似ていますが、まずは2つの変化率を掛ける公式として使います。

外側を微分するとき、内側をuという1つの量と見ます。微分後はuを元の式に戻し、最後にuのxによる導関数を掛けます。たとえばy = u⁴のuによる導関数は4u³です。この時点の4u³はxによる導関数ではありません。uがxによってどう変わるかを表すdu/dxと掛けて、初めてdy/dxになります。

実数指数aについて、uが正の範囲ではuᵃのuによる導関数はa uᵃ⁻¹です。分数の指数は、たとえばuの1/2乗を√uと書けます。根号の中が0になる点では、元の関数が定義されていても、この正の範囲の公式をそのまま代入して微分可能と結論できません。境界では別に差商を調べます。

内側の導関数が1のときは、掛けても式の見た目が変わりません。反対に、内側の導関数が負や0になることもあります。符号や値は、その点での内側の変化率に由来します。最初から省かずに書けば、たまたま掛け忘れが見えなくなる場合も区別できます。

基本例題：一次式を4乗する

問題：y = (3x − 2)⁴の導関数を求め、x = 1での値を整数で答えてください。

この関数は、xに3を掛けて2を引いた結果を4乗したものです。多項式なので、元の関数はすべての実数xで定義されます。図2のように、内側の値と外側の操作を分けてから微分します。

まず、内側をuと置きます。

u = 3x − 2

外側はy = u⁴です。uについて4乗を微分すると、

dy/du = 4u³

となります。ここでuを元の式に戻すと4(3x − 2)³ですが、これはまだ外側の変化率です。次にu = 3x − 2をxについて微分します。

du/dx = 3

したがって、合成関数の微分の公式から、

dy/dx = 4u³ × 3

= 12(3x − 2)³

です。図2の2本の矢印に付いた変化率を掛けると、係数が4から12になる理由が見えます。内側の3は、かっこの中のxの係数が表す変化率です。

x = 1を元の内側に戻すと、u = 3 × 1 − 2 = 1です。外側の変化率は4 × 1³ = 4、内側の変化率は3なので、その積は12です。求めた導関数にもx = 1を代入すると12(1)³ = 12となり、2段階で追った値と一致します。

さらに、元の式を展開して確かめます。(3x − 2)² = 9x² − 12x + 4を2乗すると、

y = 81x⁴ − 216x³ + 216x² − 96x + 16

です。項ごとに微分した324x³ − 648x² + 432x − 96は、12(3x − 2)³を展開した式と一致します。展開はこの例の検算として使えますが、層が増えたり指数が分数になったりすると、最初から内側と外側を追う方が見通しを保ちやすくなります。

根号を含む式では境界を分ける

問題：y = √(4x − 3)について、元の関数の定義域を示し、微分できる範囲で導関数を求めてください。また、x = 1での導関数の値を正確な整数で答えてください。

最初に根号の中を調べます。実数として平方根が定義される条件は4x − 3が0以上なので、元の関数の定義域はx ≧ 3/4です。等号を含むのは、√0も定義されるからです。ただし、定義されることと微分できることは別に確認します。

x > 3/4ではu = 4x − 3 > 0と置けます。y = uの1/2乗ですから、外側のuによる導関数は(1/2)uの-1/2乗、つまり1/(2√u)です。内側の導関数はdu/dx = 4です。したがって、

dy/dx = 1/(2√u) × 4

= 2/√(4x − 3)　（x > 3/4）

を得ます。x = 1では元の根号の中は1で、答えは2です。元の関数に戻ってもy = 1であり、その点で外側の変化率は1/2、内側の変化率は4なので積が2と確かめられます。

境界のx = 3/4では、導関数の式の分母が0になります。そこで境界を含めて公式を適用せず、右からの差商を調べます。h > 0のとき、

(y(3/4 + h) − y(3/4))/h = √(4h)/h

= 2/√h

です。hを正の側から0に近づけると、この値は限りなく大きくなり、有限の微分係数は得られません。左側には定義域の点がないことも踏まえ、この境界で通常の微分係数は存在しません。よって導関数の範囲はx > 3/4です。

ここが分かれ目です。元の関数の定義域には境界を含めますが、導関数には含めません。単に分母を見て元の定義域まで狭めたり、元の定義域の等号を導関数にも移したりしないよう、求めている対象を明記します。内側が常に正の式なら根号の境界が現れない場合もありますが、そのことは個々の式で確認します。

外側だけで止めた答えを直す

y = (5x + 1)³を微分して、3(5x + 1)²と答えたとします。この式は、u = 5x + 1と置いたときのdy/duをuから戻したものです。xによる変化率を求めるには、du/dx = 5をさらに掛ける必要があります。

図3のように、外側の微分の次に内側の微分を置けば、誤りを修正できます。正しい導関数は3(5x + 1)² × 5 = 15(5x + 1)²です。x = 0では内側の値が1、外側の変化率が3、内側の変化率が5なので、元の2段階の関係からも積は15です。誤答に0を入れると3になり、内側の変化率が反映されていません。

図3の左側で終えてしまう原因は、かっこをxそのものと同じ速さで変わるものとして扱うことです。かっこの中にx以外の定数があるかどうかより、その全体をxで微分すると何になるかが重要です。修正するときは、元の式に戻り、内側を指で囲んで導関数を余白に書いてから掛けます。

別の誤りとして、外側の指数を下げる前に内側を微分して、かっこの中を5に置き換えることもあります。外側を微分した後も、外側の導関数に入る値は元のu = 5x + 1です。内側の導関数5は、元の内側の値を置き換えるものではなく、外側の導関数に掛ける別の因子です。この役割の違いを残して途中式を書きます。

手を動かして層を追う

次の各関数について、定義域と、微分できる範囲での導関数を求めてください。指定された点での値は、分数または整数の正確な形で答えます。問題を一通り解いてから、後の解答を見てください。

1. y = (2x + 7)⁵について、x = -3での導関数の値も求めてください。
2. y = √(9 − 2x)について、x = 4での導関数の値も求めてください。
3. y = ((x² + 2)³ + 1)²について、x = 0での導関数の値も求めてください。
4. y = 1/(x² + 4)について、x = 2での導関数の値も求めてください。

練習の答えと確かめ方

1. 元の関数は多項式なので定義域はすべての実数です。u = 2x + 7とすると、外側y = u⁵の導関数は5u⁴、内側の導関数は2です。したがって、すべての実数xで

dy/dx = 5(2x + 7)⁴ × 2 = 10(2x + 7)⁴

です。x = -3では元の内側が1なので、外側の変化率5と内側の変化率2の積は10です。導関数へ代入しても10となります。かっこの定数7は微分すると消えますが、外側に入る内側の値として残ります。

2. 9 − 2x ≧ 0より、元の定義域はx ≦ 9/2です。内側が正となるx < 9/2では、外側の導関数は1/(2√(9 − 2x))、内側の導関数は-2です。そのため、

dy/dx = -1/√(9 − 2x)　（x < 9/2）

です。x = 4を元の式に戻すと根号の中は1で、外側の変化率1/2と内側の変化率-2の積は-1です。導関数への代入も-1になります。境界x = 9/2では、h < 0に対する左からの差商が-√(-2h)/(-h)となり、hを0に近づけると負の方向に限りなく大きくなるため、有限の微分係数はありません。右側は定義域外です。

3. まずu = x² + 2、v = u³ + 1とするとy = v²です。元の関数は多項式の合成であり、定義域はすべての実数です。外側から順にdy/dv = 2v、dv/du = 3u²、du/dx = 2xです。3つの変化率を掛け、元の式に戻すと、

dy/dx = 2((x² + 2)³ + 1) × 3(x² + 2)² × 2x

= 12x(x² + 2)²((x² + 2)³ + 1)

です。x = 0では元の関係に沿ってu = 2、v = 9、y = 81となります。各変化率は順に2x = 0、3u² = 12、2v = 18なので積は0です。答えの式も0となり、各層の対応を確かめられます。

4. x² + 4は実数xに対して正なので、元の定義域はすべての実数です。u = x² + 4とするとyはuの-1乗で、外側の導関数は-uの-2乗、内側の導関数は2xです。よって、

dy/dx = -2x/(x² + 4)²

です。x = 2では元の分母u = 8、y = 1/8です。外側の変化率は-1/64、内側の変化率は4ですから、積は-1/16です。求めた式に代入しても-4/64 = -1/16となります。分母が常に正であるため、ここでは導関数の分母が0になる点はありません。

要点を短く残す

内側をu、外側をuの関数として分けます。 外側の導関数に内側の導関数を掛けます。 元の定義域と微分できる範囲を区別します。

途中式からつまずきを見分ける

答えの係数だけが違うときは、まず内側を何と置いたか、du/dxをどこに書いたかを見ます。外側の指数を正しく下げても、内側の導関数が途中式に現れなければ、掛け忘れの可能性があります。一方、内側を元の式に戻す位置が違う場合は、係数を直すだけでは解決しません。

根号を含むときは、定義域に等号を付けた理由と、導関数の分母が0になる点の扱いを別々に説明できるか確かめます。個別指導では、本人に元の式から各層を矢印で示してもらい、それぞれの変化率と代入先を順に確認できます。1行目の置き方から答えの範囲まで対応がつながれば、別の入れ子にも同じ考え方を使えます。