高校数学III はさみうちの原理—不等式の向きをそろえて数列の極限を説明する｜武蔵野個別指導塾

振動する項の絶対値を評価し、上下の数列が同じ値に近づく理由からはさみうちの原理を使いこなす道筋をたどります。

よくあるのは、定期テスト前の演習で数列の値を表に並べ、0に近そうだと見て証明を終える場面です。いくつかの項が小さくても、その先の項が同じように小さくなるとは限りません。項の番号をどこまで大きくしても成り立つ不等式を作り、その両端の極限を示すと、表から得た予想を説明へ変えられます。

どんな形を見たら評価するか

はさみうちの原理を使う問題には、少なくとも次の3つの型があります。どの型でも、求めたい数列そのものを上下から押さえます。

1. 符号が交互に変わる項を含む型です。例えば (-1)ⁿ の値は1と-1を行き来しますが、係数が0に近づけば振れ幅は縮みます。符号ごとに分ける代わりに絶対値で押さえる方法が使えます。
2. 根号や分数を含む正の項を、計算しやすい正の数列で上から押さえる型です。0以上であることも書けば、下側の評価が得られます。分母を大きくしたとき分数の大小がどう変わるかに注意します。
3. ある定数との差を評価する型です。求めたい値が0以外に見えるときは、その値を引いて差の絶対値を調べます。差が0に近づけば元の数列はその定数に近づきます。

最初に式を見て、符号、分母の正負、振動する部分の範囲を確かめます。無理に正確な一般項の値を求める必要はありません。ただし、粗すぎる上下の評価では極限が決まらないこともあります。数列の極限を扱い、関数の極限には立ち入りません。

上下の数列が同じ値に集まる

数列 aₙ、bₙ、cₙ が、十分大きいすべての自然数 n について aₙ ≤ bₙ ≤ cₙ を満たすとします。さらに n → ∞ のとき aₙ と cₙ がともに L に近づくなら、間にある bₙ も L に近づきます。これがはさみうちの原理です。最初の有限個の項に不等式が成り立たなくても、その後ずっと成立すれば結論は変わりません。

図1のように、上下の幅が縮んで同じ高さ L に集まると、間の項がそこから離れ続ける余地もなくなります。図は大小関係の模式図で、横方向は項の番号が大きくなる向きです。各線の高さは特定の数列の値を表すものではありません。

図1の中央にある数列は、途中で上下に動いてもかまいません。必要なのは単調に動くことではなく、十分大きい n の範囲で上下の不等式が保たれ、両端の極限が一致することです。上端と下端が別々の値に近づく場合、真ん中の極限はこの情報だけでは決まりません。

特に便利なのが絶対値による評価です。正の数列 dₙ が0に近づき、|bₙ − L| ≤ dₙ なら、絶対値の定義から -dₙ ≤ bₙ − L ≤ dₙ です。両端はともに0に近づくため、差も0に近づき、bₙ は L に近づきます。絶対値は L からの距離を表すので、左右の振れを一度に押さえられます。

評価を作るときには各操作の条件を残します。負の数を掛けると不等号の向きは逆になります。また、正の分母どうしで比べるとき、分母が大きい正の分数は小さくなります。分母が0でないことも、式を変形する前に確認します。

基本例題：交互に変わる符号を押さえる

自然数 n に対して aₙ = 2 + ((-1)ⁿ)/(n + 1) とします。n → ∞ のときの極限を整数で求め、その根拠を不等式で示してください。

まず n + 1 は正なので分母は0になりません。(-1)ⁿ は n が偶数なら1、奇数なら-1です。どちらの場合も次の範囲にあります。

-1 ≤ (-1)ⁿ ≤ 1

正の数 n + 1 で各辺を割るので、不等号の向きは変わりません。

-1/(n + 1) ≤ ((-1)ⁿ)/(n + 1) ≤ 1/(n + 1)

各辺に2を足すと、求めたい数列を中央に置けます。

2 − 1/(n + 1) ≤ aₙ ≤ 2 + 1/(n + 1)

図2のように、aₙ は2の上下を行き来しますが、2からの距離は常に 1/(n + 1) です。上下の評価はその距離を使って作っています。

n → ∞ で 1/(n + 1) → 0 です。したがって両端はともに2に近づき、はさみうちの原理から aₙ → 2 です。求める極限は整数で 2 です。

図2の点を式へ戻して見ると、n = 1 では a₁ = 2 − 1/2、n = 2 では a₂ = 2 + 1/3 です。奇数の項が下側、偶数の項が上側にあり、いずれも対応する境界上にあります。この2項の確認は図と式の照合であって、無限に続く項の証明ではありません。証明を支えるのは任意の自然数 n で成り立つ不等式と、両端の極限です。

絶対値を使えば |aₙ − 2| = 1/(n + 1) → 0 とも書けます。このときも、差を取った相手が2であることと、右辺が0へ近づくことを明示します。(-1)ⁿ 自体は収束しませんが、そのことと、振れ幅が縮む積の収束は別の判定です。

少し難しい例題：分子と分母を別々に見る

自然数 n に対し bₙ = (n + 3(-1)ⁿ)/(2n + 1) とします。n → ∞ の極限を分数で求め、はさみうちの原理で示してください。

分母 2n + 1 は正です。分子には符号が変わる項がありますが、まず定数として残る部分を見つけるため n/(2n + 1) を分けます。

bₙ = n/(2n + 1) + 3(-1)ⁿ/(2n + 1)

前の項は分子と分母を n で割ると 1/(2 + 1/n) ですから、n → ∞ で 1/2 に近づきます。後の項は

-3/(2n + 1) ≤ 3(-1)ⁿ/(2n + 1) ≤ 3/(2n + 1)

を満たします。両端は0に近づくので後の項も0に近づきます。よって bₙ → 1/2 です。

同じ結論は、求める値との差を直接評価しても得られます。通分すると

bₙ − 1/2 = (6(-1)ⁿ − 1)/(2(2n + 1))

です。分子について -1 ≤ (-1)ⁿ ≤ 1 より -7 ≤ 6(-1)ⁿ − 1 ≤ 5 となるため、絶対値は7以下です。分母は正なので

0 ≤ |bₙ − 1/2| ≤ 7/(2(2n + 1)) → 0

となり、差は0に近づきます。答えは 1/2 です。元の分子へ戻しても、差の分子は 2(n + 3(-1)ⁿ) − (2n + 1) = 6(-1)ⁿ − 1 と確かめられます。

分かれ目は、振動部分に掛かる係数が0に近づくかどうかです。例えば係数が一定のままなら、同じ評価をしても上下の幅は縮みません。振動する式を見ただけで0と決めず、振幅を押さえる数列の極限まで調べます。

誤答から不等号を直す

基本例題の aₙ に対し「(-1)ⁿ ≤ 1 だから aₙ ≤ 2 + 1/(n + 1)。右辺が2に近づくので aₙ も2に近づく」とする答案を考えます。上からの評価は正しいものの、下からの評価がありません。図3のように、上限が2に近づくことは、対象が下側へ離れる可能性を排除しません。

実際、別の数列 cₙ = 0 は、すべての自然数 n で cₙ ≤ 2 + 1/(n + 1) を満たしますが、極限は0です。これを元の不等式に代入すると 0 ≤ 2 + 1/(n + 1) であり、上側の条件を確かに満たします。図3はこの反例と上限の関係を示しています。

修正には -1 ≤ (-1)ⁿ も使います。正の n + 1 で割り2を加えると、2 − 1/(n + 1) ≤ aₙ が得られます。これと上側をつなぎ、両端が2に近づくことを書けば結論を導けます。上側だけが示されている答案では、欠けた側を探してください。

もう一つの誤りは、-1 ≤ (-1)ⁿ ≤ 1 を負の数で割りながら向きを保つことです。例えば -2 を掛けると順番を整えて -2 ≤ -2(-1)ⁿ ≤ 2 となります。各辺に同じ操作をした後、左が小さく右が大きい順に並べ直すと符号の誤りを発見しやすくなります。

自分で評価を作る練習

次の各問で n は自然数です。極限を指定された正確な形で求め、不等式と両端の極限を示してください。

1. uₙ = 5 + ((-1)ⁿ)/(n + 2) の極限を整数で求めてください。
2. vₙ = (2 + (-1)ⁿ)/(n + 4) の極限を整数で求めてください。
3. wₙ = (3n + 2(-1)ⁿ)/(4n + 3) の極限を分数で求めてください。
4. tₙ = (√(n + 5) − √n)/(√(n + 5) + √n) の極限を整数で求めてください。

解答と考え方

1. n + 2 は正です。-1 ≤ (-1)ⁿ ≤ 1 を割り、5を加えると

   5 − 1/(n + 2) ≤ uₙ ≤ 5 + 1/(n + 2)

   です。両端は5に近づくため、極限は 5 です。元の式に n = 1 を戻すと u₁ = 5 − 1/3 で、この項は下側の評価と一致します。偶数では上側に一致し、向きも合います。

2. 分子について 1 ≤ 2 + (-1)ⁿ ≤ 3、分母 n + 4 は正です。よって

   0 ≤ vₙ ≤ 3/(n + 4)

   と評価できます。両端は0に近づくので、極限は 0 です。分子の最小値が1であることから vₙ は正ですが、下側を0まで広げても不等式は保たれます。元の式に偶数を入れれば分子は3となり、上の評価に一致します。

3. 分母 4n + 3 は正です。予想する 3/4 との差を通分すると

   wₙ − 3/4 = (8(-1)ⁿ − 9)/(4(4n + 3))

   です。分子は -17 以上 -1 以下なので、その絶対値は17以下です。したがって

   0 ≤ |wₙ − 3/4| ≤ 17/(4(4n + 3)) → 0

   となり、極限は 3/4 です。差の分子を元に戻すと 4(3n + 2(-1)ⁿ) − 3(4n + 3) = 8(-1)ⁿ − 9 です。通分の符号も一致します。

4. 根号内は正で、分母も正です。分子を有理化すると

   √(n + 5) − √n = 5/(√(n + 5) + √n)

   なので、tₙ = 5/(√(n + 5) + √n)² です。分母は 4n 以上ですから

   0 ≤ tₙ ≤ 5/(4n) → 0

   となります。極限は 0 です。有理化した分子を元に戻すと (n + 5) − n = 5 で、分母も元の和をもう一度掛けた形です。n が正なので平方しても大小関係は保たれます。

評価が使えないときの点検

不等式を書いた後、両端が同じ値へ近づかない場合を考えます。例えば、ある数列について -1 ≤ pₙ ≤ 1 とわかっても、上下の極限はそれぞれ-1と1です。この情報に合う数列には、常に0のものも、1と-1を交互に取るものもあります。前者は0に収束し、後者は収束しません。したがって、この評価から極限を決めることはできません。評価自体が誤りなのではなく、結論を出すには幅が足りない状態です。

幅を縮めるには、式の中に n とともに小さくなる因子がないか調べます。絶対値で振動部分を一定の数以下に抑え、その因子を残せれば、0へ近づく上限を作れることがあります。一方、正負を確かめずに分母を取り替えると、不等号が逆になることがあります。小さい番号を代入して向きを点検するのは誤りの発見に役立ちますが、それだけで全ての番号に対する証明にはなりません。

また、有限個の例外を許す場合も、どこから不等式が成立するかを明らかにします。例えば n がある自然数以上なら分母が正になる式では、その範囲を指定してから割ります。最初の数項の値は極限に影響しませんが、例外が無限に現れるなら無視できません。答案では「十分大きい n で成立」と書くだけでなく、式の条件からその範囲を読み取れるようにしておきます。

評価の精度は、必要な結論に合わせて選べます。例えば正の分数の分子が3以下とわかるとき、実際の分子が1の日も3の日も上限を3とする評価は成立します。各項の値をぴったり表さなくても、上限が0へ近づけば十分です。ただし、上限の分母を小さく置き換える際には、その分母が正であることを先に示します。操作の理由が一行ずつ追える答案なら、結論だけが合った場合よりも、どこで向きを間違えたかを点検できます。

答案に残す3点

• 対象を上下から評価し、不等式が成り立つ範囲を書く。
• 両端の極限が同じ値であることを示す。
• 差の絶対値を使うときは、その差が0へ近づくことから元の極限へ戻す。

途中式のどこで止まるか

値の表から予想した後に手が止まるなら、まず振動する部分だけに下限と上限を書いてみます。分数に直す段階で止まるなら、分母の正負を余白に書き、割った後の向きを元の値で点検します。上下を作れても極限が異なる場合は、より狭い評価を探すか、別の方法を考える必要があります。

個別指導で確かめるときは、生徒自身の答案の中央に求めたい数列が置かれているか、両端が同じ値へ近づく理由を言葉にできるかを見ます。絶対値の評価なら、距離が0になることと元の数列の極限を結ぶ説明も確かめます。表は予想の手掛かりになり、全ての大きな番号に通じる不等式が証明を支えます。