高校数学III 等比数列の極限—公比の範囲を分けて収束と振動の違いを確かめる｜武蔵野個別指導塾

負の公比や境界の1と-1を偶数番目・奇数番目に分け、初項が0になる例外も含めて等比数列の収束を判定します。

よくあるのは、定期テスト前の演習で、負の公比なら必ず収束すると考える場面です。符号が交互に変わることと、絶対値が小さくなることは別の話です。負の公比でも絶対値が1より小さければ項は0へ近づきますが、-1では2つの値を交互に取ります。まず公比の符号と絶対値を分けて読み、境界も含めて項の動きを追いましょう。

数学IIIの学習範囲には極限が含まれます。ここでは等比数列の各項の極限を扱い、項を足し合わせる無限等比級数には立ち入りません。

どこで場合を分けるか

出方の1つは、具体的な公比を持つ一般項の極限を求める問題です。例えば公比が負なら、まず絶対値が1より小さいかを調べます。符号の交代を見ただけでは、0に近づくか、振動するかを決められません。

2つ目は、公比に文字を含む問題です。収束する文字の範囲を求めるときは、絶対値が1より小さい範囲を不等式に直し、両端を別に調べます。端点を最初からまとめて含めると、公比1と-1の違いを見失います。収束先が0と指定されている場合と、何らかの有限値への収束を求める場合でも答えは変わります。

3つ目は、等比数列に定数を掛けた式の判定です。掛ける定数が0でなければ、公比による動きは残ります。一方、定数が0なら各項が0なので、公比だけで判定してはいけません。初項を含めた式全体を確認してから場合分けします。

公比の大きさと符号を読む

初項をa、公比をrとすると、第n項は a rⁿ⁻¹ です。nは1以上の整数とします。収束とは、nを大きくしたとき、項がある有限の値に限りなく近づくことです。その値を極限値と呼びます。有限の値に収束しない場合を発散と呼び、正または負の方向へ限りなく大きくなる場合と、振動して定まらない場合を区別します。

図1のように、まずrを-1と1で区切ります。両端の扱いを独立させると、符号と大きさを混同しにくくなります。以下では最初にaを0でない数とします。

• -1 < r < 1では、|r| < 1です。nが大きくなると |r|ⁿ⁻¹ は0へ近づき、|a rⁿ⁻¹| = |a| |r|ⁿ⁻¹ も0へ近づきます。したがって符号が交代しても極限値は0です。r = 0でも第2項以降が0なので同じ結論です。
• r = 1では、どの項もaです。極限値はaであり、0とは限りません。
• r = -1では、奇数番目の項がa、偶数番目の項が-aです。a ≠ 0なら異なる2値を繰り返すので収束しません。
• r > 1では、項の絶対値は限りなく大きくなり、符号はaの符号のままです。a > 0なら正の方向、a < 0なら負の方向へ発散します。
• r < -1では、絶対値が限りなく大きくなり、符号も交代します。1つの値に近づかず、正または負の一方へも定まらない振動です。

|r| < 1のときにべきが0へ近づくことは、等比数列の基本的な極限です。負の公比でも絶対値で評価すれば、正と負の両側から0へ近づく様子を同じ式で表せます。逆にr = -1では絶対値が1のままなので、この評価から0への収束は導けません。

a = 0の場合は、rがどんな実数でも a rⁿ⁻¹ = 0です。特にn = 1では r⁰ を1とし、第1項はaです。r = 0の場合も第2項以降は0なので、初項の値にかかわらず0に収束します。

振動と発散の書き分け

振動という言葉は、符号が変わることだけを指して使うのではありません。ここでは、項が1つの有限値に近づかず、正または負の一方向へも限りなく大きくならない動きを指します。たとえば初項が0でなく公比が-1なら、2つの値を繰り返します。公比が-1より小さければ、正の項と負の項の絶対値がともに大きくなります。どちらも振動ですが、項の大きさは異なります。

有限値への収束を否定するには、奇数番目と偶数番目に注目すると整理できます。全体が同じ有限値に近づくなら、奇数番目だけを抜き出しても、偶数番目だけを抜き出しても、その値に近づくはずです。-1の場合は2つの抜き出した数列が異なる定数になり、同じ極限値を持てません。-1より小さい場合は、両方の絶対値が限りなく大きくなります。

また、公比が正でも常に収束するわけではありません。1より大きければ、0でない初項の絶対値は公比を掛けるたびに増えます。初項の符号は変わらないため、正の初項なら正の方向、負の初項なら負の方向へ進みます。問題で単に発散と答えるか、動きまで答えるかを確認しましょう。数列の項を順にたどると、判定の理由を答案にも書けます。

基本例題：交互に変わる項を評価する

数列 aₙ = 6(-2/3)ⁿ⁻¹ の極限を求め、有限の値に収束しない場合は項の動きも答えてください。値は正確な整数または分数で表します。

一般項の形を a rⁿ⁻¹ と見比べると、初項は6、公比は -2/3 です。指数がnではなくn − 1であることも確かめます。実際に最初の数項を式へ戻すと、

a₁ = 6

a₂ = 6 × (-2/3) = -4

a₃ = -4 × (-2/3) = 8/3

a₄ = (8/3) × (-2/3) = -16/9

です。図2のように、項は正負を交互に取りますが、原点からの距離は縮みます。図の点は各項の値を数直線に置いたもので、順に線で結んだ曲線ではありません。

公比の絶対値は |-2/3| = 2/3 < 1です。したがって、等比数列の基本的な極限から、nを大きくすると (2/3)ⁿ⁻¹ → 0 です。各項の絶対値について

|aₙ| = 6(2/3)ⁿ⁻¹ → 0

となります。つまり -6(2/3)ⁿ⁻¹ ≤ aₙ ≤ 6(2/3)ⁿ⁻¹ であり、両端はともに0へ近づきます。はさみうちの考え方から aₙ → 0 です。答えは0への収束です。

奇数番目と偶数番目を分けても同じ結論に至ります。kを1以上の整数とすると、

a₂ₖ₋₁ = 6(-2/3)²ᵏ⁻² = 6(2/3)²ᵏ⁻²

a₂ₖ = 6(-2/3)²ᵏ⁻¹ = -4(2/3)²ᵏ⁻²

です。両方ともkを大きくすると0へ近づきます。すべての項が奇数番目か偶数番目に属するので、数列全体も0に近づきます。項が何度も符号を変えることは、共通の極限値を持つことと矛盾しません。

途中の値は公比を1回掛けるたびに得られ、図の6、-4、8/3、-16/9とも一致します。ただし数項を並べただけでは、その先の無限に続く動きの証明にはなりません。最後は公比の絶対値と評価に戻って判定します。

文字を含むときは初項も調べる

実数tに対して bₙ = (t − 2)(t + 1)ⁿ⁻¹ とします。この数列が有限の値に収束するtの範囲を求め、極限値も場合ごとに正確に答えてください。

初項は t − 2、公比は t + 1 です。まず初項が0となる t = 2 を調べます。このとき公比は3ですが、各項は0なので極限値は0です。公比の絶対値が1より大きくても、初項が0の例外があります。

t ≠ 2では初項が0でないので、公比で場合分けします。|t + 1| < 1を解くと

-1 < t + 1 < 1

-2 < t < 0

です。この範囲では極限値は0です。続いて境界を元の式へ代入します。t = 0では公比が1、初項が-2なので、どの項も-2で、極限値は-2です。t = -2では公比が-1、初項が-4なので、項は-4と4を交互に取り、収束しません。

t < -2では公比が-1より小さく、初項も0でないため、符号を交代しながら絶対値が大きくなります。t > 0では公比が1より大きく、t = 2を除けば絶対値が大きくなります。よって求める範囲は -2 < t ≤ 0 または t = 2 です。極限値は t = 0で-2、それ以外の該当範囲で0です。

答えを条件へ戻すと、t = 2では bₙ = 0 × 3ⁿ⁻¹ = 0、t = 0では bₙ = -2 × 1ⁿ⁻¹ = -2 です。両端と例外を元の一般項で確かめたので、不等式の端の含み方も確認できます。収束先が0と指定されたなら、t = 0は除く必要があります。

誤答を直す：負号と絶対値を別々に見る

「公比が負だから振動して収束しない」と答えたとします。例えば cₙ = 5(-1/2)ⁿ⁻¹ では、この判定は誤りです。最初の項は5、次は-5/2、その次は5/4で、符号は交代しますが絶対値は半分ずつです。|cₙ| = 5(1/2)ⁿ⁻¹ → 0 なので、正しい極限値は0です。

原因は、符号の交代を見て、原点からの距離がどう変わるかを調べていないことです。修正するときは、図3のように公比そのものと絶対値を別の欄に置きます。負号から交代を読み、絶対値1/2から大きさの減少を読みます。図の矢印は判定の順序を表し、数列の項を結ぶ線ではありません。

反対に「負の公比なら0へ収束する」とするのも誤りです。公比が-1なら絶対値は減らず、公比が-1より小さければ絶対値は大きくなります。初項が0でないことを確認したうえで、それぞれの奇数番目と偶数番目を見ます。

もう1つの誤りは、|r| ≤ 1をまとめて極限値0とすることです。r = 1では定数列、r = -1では初項とその符号を反転した値が交互に現れます。等号を付ける前に境界を代入し、求められたのが「収束」か「0への収束」かを読み直してください。

練習：式を見て項の動きを決める

次の各数列について、n → ∞のときの極限を求めてください。有限の値に収束しない場合は、正または負の方向への発散か、振動かを答えます。極限値や文字の範囲は正確な整数または分数で表します。nは1以上の整数です。

1. pₙ = -8(3/4)ⁿ⁻¹
2. qₙ = 7(-1)ⁿ⁻¹
3. sₙ = -3(-2)ⁿ⁻¹
4. 実数xについて uₙ = (x + 3)(2x − 1)ⁿ⁻¹ が0に収束するxの範囲を求めます。

練習の解答と確かめ

1. 公比は3/4で、|3/4| < 1です。したがって (3/4)ⁿ⁻¹ → 0、定数倍して pₙ → 0 です。元の式にn = 1、2を入れると-8、-6で、どちらも負ですが絶対値は3/4倍になっています。この2項の確認に加え、公比の絶対値が1未満であることが極限の根拠です。

2. 公比は-1、初項は7です。kを1以上の整数とすると、q₂ₖ₋₁ = 7、q₂ₖ = -7です。異なる2値を交互に取るため振動し、有限の値に収束しません。元の式でもn = 1は7、n = 2は-7であり、その後も-1倍で同じ2値を繰り返します。

3. 公比は-2で、絶対値は2 > 1です。奇数番目は s₂ₖ₋₁ = -3 × 2²ᵏ⁻²、偶数番目は s₂ₖ = 6 × 2²ᵏ⁻² です。前者は負の方向、後者は正の方向へ絶対値が大きくなるので、数列全体は振動して収束しません。元の式で最初の2項は-3、6となり、符号と倍率が判定に合います。

4. 初項が0となる x = -3 では、公比が-7でも各項は0で、条件に合います。初項が0でない場合、公比の絶対値が1未満なら0へ収束するので、

-1 < 2x − 1 < 1

0 < 2x < 2

0 < x < 1

を得ます。境界 x = 0では公比-1、初項3なので3と-3を交互に取り、0へ収束しません。x = 1では公比1、初項4なので常に4です。範囲の外で初項が0でなければ、絶対値が1より大きい公比によって項の絶対値が大きくなります。答えは 0 < x < 1 または x = -3 です。元の式に x = -3 を戻すと uₙ = 0 × (-7)ⁿ⁻¹ = 0 となり、例外も条件を満たします。

手元に残す要点

初項が0かを先に調べます。 初項が0でなければ公比の絶対値を比べます。 |r| < 1では0、r = 1では初項に収束します。 r = -1とr < -1では偶数番目と奇数番目を見ます。 文字の範囲は境界を元の式に戻します。

解答のどこを見直すか

公比が負という理由だけで結論を書いたなら、項の絶対値を別に書き出してください。境界の代入が抜けた答案では、r = 1とr = -1をそれぞれ元の一般項へ入れ、2つの結果を比較します。文字を含む場合は、初項が0となる値が公比の条件の外にないかも見直します。

個別指導で確かめるなら、答えの範囲だけでなく、その範囲を出した不等式、端点の項、初項が0の場合の説明を順に見ます。符号の交代と絶対値の変化を自分の言葉で区別できれば、初めて見る公比にも判定を移せます。等比数列の極限は、項の動きを根拠にして決まります。