数検準2級 三角比の定義—基準の角と辺の対応を図に書いて比を求める｜武蔵野個別指導塾

基準の角を変えた直角三角形で向かいと隣の辺を選び直し、相似な図形でも三角比が変わらない理由を考えます。

よくあるのは、直角三角形の一方の角について比を求めた後、もう一方の角を基準にしても、向かいの辺をそのまま使ってしまう場面です。図形は同じでも、どこから見るかが変わると、向かいと隣の役割は入れ替わります。まず角に印を付け、辺を指でたどってから分数を書けば、暗記した式に数を急いで当てはめるよりも、間違いの場所を見つけやすくなります。

問われる形と、最初の一手

三角比の定義では、直角三角形の一つの鋭角を基準に、辺の長さを割り算で結びます。出方の一つは、3辺の長さから sin、cos、tan をそれぞれ求める形です。分子と分母を選ぶ前に、直角と基準の角を確認します。辺が図の上側にあるか下側にあるかは、名前を決める根拠になりません。

もう一つは、同じ三角形で基準を別の鋭角に移し、比を求め直す形です。斜辺は変わりませんが、残る2辺の役割は入れ替わります。さらに、辺の比と一つの長さが与えられ、残りの長さを求める形もあります。こちらは分数を作った後、何倍になっているかをたどると考えやすくなります。

いずれも、角度の値を表から覚えているかを中心に問うものではありません。直角三角形の定義、相似、三平方の定理を使い、図に与えられた情報と答えを対応させます。鈍角への拡張や三角比の相互関係には立ち入らず、鋭角についての辺の比を扱います。

基準の角から辺に名前を付ける

直角三角形には90°の角が一つあり、残る二つは鋭角です。直角の向かい側にある辺を斜辺と呼びます。直角をはさむ2辺より斜辺は長く、基準の鋭角をどちらに変えても、斜辺は同じ辺です。図を回転させても、直角の向かい側という見つけ方は変わりません。

次に鋭角を一つ選びます。その角の頂点に接していない辺が「向かいの辺」です。頂点に接している2辺のうち、斜辺でない方が「隣の辺」です。図1のように、まず斜辺を固定し、残りの2辺を基準の角から分類します。向かいと隣という呼び名は基準の角があって初めて決まります。

図1では A を基準にすると、BC が向かい、AB が隣、AC が斜辺です。C を基準にすれば、AB が向かい、BC が隣になります。図の向きや辺の見た目の長短から判断せず、基準の頂点に接しているかどうかを確かめます。

基準の角を θ と書くと、次の3つが定義です。いずれも長さを長さで割った値なので単位は付きません。

• sin θ = 向かいの辺 / 斜辺
• cos θ = 隣の辺 / 斜辺
• tan θ = 向かいの辺 / 隣の辺

sin はサイン、cos はコサイン、tan はタンジェントと読みます。sin と cos の分母は斜辺ですが、tan の分母は隣の辺です。基準の角に接する辺を見つけた後、斜辺を除けば、tan の分母を決められます。分数は順序を逆にすると別の値になるので、割る順番まで書き残します。

同じ角を持つ直角三角形を大きくした場合を考えます。直角が等しく、選んだ鋭角も等しいので、残る角も等しく、2つの三角形は相似です。対応する辺は同じ倍率で伸びます。向かいの辺と斜辺がともに2倍になれば、その商は変わりません。したがって三角比は、三角形の大きさではなく、選んだ角に対応して定まります。単に辺を並べた比と違い、どの角を基準としたかを添えることが必要です。

比から長さへ戻るときの見方

比が分数で与えられたとき、分子と分母をそれぞれ実際の辺の長さと思い込まないようにします。たとえば向かい / 斜辺が 2 / 5 なら、対応する辺の長さは 2 cm と 5 cm に限りません。4 cm と 10 cm でも、6 cm と 15 cm でも同じ商です。実際の長さが一つ与えられたら、分数の対応する数から何倍かを求め、その倍率をもう一方にも使います。

長さが指定されていない場合、比だけから三角形の大きさは一つに決まりません。逆に、斜辺と一つの比が与えられれば、まず対応する直角をはさむ辺を求め、残りの辺を三平方の定理で求められます。求めた長さを元の分数に入れ直すと、分子と分母の対応が正しかったか検査できます。必要な条件が欠けているのに、分数の数字をそのまま長さとして答えないことも大事です。

基本例題：辺を分類して3つの比を書く

直角三角形 ABC は角 B が直角で、AB = 6 cm、BC = 8 cm、AC = 10 cm です。角 A について sin A、cos A、tan A を、約分した分数で求めてください。辺の長さは自作の条件です。

図2のように、直角 B の向かいの AC が斜辺です。角 A の頂点に接しない BC が向かい、A に接する AB が隣です。最初にこの3つを書き分ければ、計算の途中で辺を取り違えたときも戻れます。

定義に辺を入れると、順に次のようになります。

sin A = BC / AC

= 8 / 10

= 4 / 5

cos A = AB / AC

= 6 / 10

= 3 / 5

tan A = BC / AB

= 8 / 6

= 4 / 3

最後の tan は1より大きくなります。隣の辺より向かいの辺が長いので、8 を 6 で割れば1より大きい値になり、図と矛盾しません。sin と cos は斜辺で割るため、この直角三角形の鋭角ではともに1より小さくなります。三平方の定理でも 6² + 8² = 10² となり、与えられた3辺は直角三角形の条件に合います。

答えを場面に戻すと、斜辺 10 cm の 4 / 5 は 8 cm、3 / 5 は 6 cm です。また隣の辺 6 cm の 4 / 3 は 8 cm です。それぞれ向かい、隣、向かいの辺に戻ることを確認できます。約分後の分数だけを見るより、どの辺を何倍したかまで戻すと、立式の間違いも見つけやすくなります。

少し難しい例題：角を変えて、長さも求める

直角三角形 PQR は角 Q が直角です。角 P について sin P = 5 / 13、斜辺 PR = 26 cm とします。辺 PQ、QR の長さを整数の cm で求め、角 R について sin R、cos R、tan R を約分した分数で求めてください。

角 P から見た向かいは QR です。したがって QR / PR = 5 / 13 です。PR が 13 に対応する量の2倍なので、QR も 5 の2倍です。

QR = 26 × 5 / 13 = 10 cm

残る PQ は直角をはさむもう一方の辺です。三平方の定理から、PQ² + 10² = 26² です。よって PQ² = 576 となります。長さは正なので、PQ = 24 cm です。平方すると同じ値になる負の数もありますが、辺の長さとしては選びません。

ここで基準を R に移します。直角の向かいの PR は斜辺のままです。一方、R に接しない PQ が向かい、R に接する QR が隣になります。この分類をやり直してから分数にします。

sin R = PQ / PR = 24 / 26 = 12 / 13

cos R = QR / PR = 10 / 26 = 5 / 13

tan R = PQ / QR = 24 / 10 = 12 / 5

確認では、10² + 24² = 26² なので辺の条件が成立します。元の角 P に戻すと、向かいは QR で 10 / 26 = 5 / 13 となり、問題の条件とも一致します。角 R からも、斜辺 26 cm の 12 / 13 は 24 cm、隣の 10 cm の 12 / 5 は 24 cm です。分数が約分できることと、元の辺に戻ることの両方を確かめます。

角を変えるときは、三角形そのものを作り直す必要はありません。ただし、さきほど書いた「向かい」「隣」の印は消すか、別の印に替えます。角 P での向かいをそのまま使えば、求めるのは角 R の sin ではなく cos です。斜辺と異なり、向かいと隣は基準に依存します。

誤答を図に戻して直す

基本例題と同じ ABC で角 C の sin を求めるとき、角 A で使った BC を向かいとして、sin C = 8 / 10 = 4 / 5 と書く誤りを考えます。計算自体は正しく約分されていますが、角 C の頂点に BC は接しています。そのため BC は角 C にとって隣の辺であり、向かいではありません。

図3のように基準を C に移して、頂点に接しない辺を探します。向かいは AB、斜辺は AC です。誤答の分子を AB に直せば、sin C = AB / AC = 6 / 10 = 3 / 5 となります。斜辺 10 cm の 3 / 5 は 6 cm で、図の AB に戻ります。

図3では BC が隣であるため、8 / 10 は cos C の値です。数字が図に存在するだけでは、その式が正しいとは限りません。どの角から見たどの辺を分子にしたかを、一度日本語に戻して読みます。

別の誤りとして、tan C の分母を斜辺にして 6 / 10 とする場合があります。角 C の向かいは AB、隣は BC ですから、tan C = 6 / 8 = 3 / 4 です。隣の辺 8 cm に 3 / 4 を掛けると、向かいの辺 6 cm に戻ります。比の名前と分母を照合してから約分すれば、計算の上手さに隠れた取り違えを見つけられます。

練習問題

次の問題は、それぞれ独立した直角三角形です。比は約分した分数、長さは指定された単位で答えてください。問題を先に解き、後の解答で辺の対応と条件への戻し方を確かめます。

1. 直角三角形 DEF は角 E が直角で、DE = 5 cm、EF = 12 cm、DF = 13 cm です。角 D の sin、cos、tan を求めてください。
2. 直角三角形 GHI は角 H が直角で、GH = 7 cm、HI = 24 cm、GI = 25 cm です。角 I の sin、cos、tan を求めてください。
3. 直角三角形 JKL は角 K が直角です。角 J について tan J = 3 / 4、JK = 20 cm です。KL と JL を整数の cm で求めてください。
4. 直角三角形 MNO は角 N が直角です。角 M について cos M = 8 / 17、MO = 34 cm です。MN、NO を整数の cm で求め、角 O の sin を約分した分数で求めてください。

解答と確かめ

1. 角 D の向かいは EF、隣は DE、斜辺は DF です。したがって sin D = 12 / 13、cos D = 5 / 13、tan D = 12 / 5 です。13 cm の 12 / 13 が 12 cm、13 cm の 5 / 13 が 5 cm、5 cm の 12 / 5 が 12 cm です。5² + 12² = 13² でも直角三角形の条件を確かめられます。

2. 角 I の向かいは GH、隣は HI、斜辺は GI です。よって sin I = 7 / 25、cos I = 24 / 25、tan I = 7 / 24 です。斜辺 25 cm からそれぞれ 7 cm、24 cm に戻り、隣 24 cm の 7 / 24 も 7 cm です。7² + 24² = 25² となるため、3辺の条件にも合います。角 G を基準にしていたら、向かいと隣は逆です。

3. 角 J の向かいは KL、隣は JK なので、KL / JK = 3 / 4 です。JK = 20 cm から、KL = 20 × 3 / 4 = 15 cm です。JL² = 20² + 15² = 625 となり、正の長さを選んで JL = 25 cm です。15 / 20 = 3 / 4 で元の比に戻り、15² + 20² = 25² で直角の条件も満たします。

4. 角 M の隣は MN、斜辺は MO なので、MN / MO = 8 / 17 です。MN = 34 × 8 / 17 = 16 cm です。NO² = 34² − 16² = 900 から、NO = 30 cm です。角 O の向かいは MN なので、sin O = 16 / 34 = 8 / 17 です。16 / 34 は元の cos M の条件に戻り、16² + 30² = 34² も成立します。同じ辺 MN が、角 M では隣、角 O では向かいになったことを図で確かめます。

覚えておくこと

• 斜辺は直角の向かいにあり、基準の鋭角を変えても同じです。
• 向かいの辺は基準の角の頂点に接せず、隣の辺は接する斜辺以外の辺です。
• sin は向かい / 斜辺、cos は隣 / 斜辺、tan は向かい / 隣です。
• 相似な直角三角形では対応する辺が同じ倍率で伸び、比は変わりません。
• 答えを元の長さや条件に戻し、辺の対応と割る順序を確かめます。

つまずいた行を見分ける

個別指導で答案を見るときは、まず最初の分数の行に注目します。約分の前から分子が違うなら、計算練習に進む前に図の基準の角へ戻り、その頂点に接しない辺を指してもらいます。分子は合うが分母が違う場合は、sin、cos、tan のどれを求めたかと定義の分母を照合します。

角を変えた後にだけ誤る場合は、元の印を使い続けていないかを見ます。長さを求める問題で負の値を残した場合は、平方の計算だけでなく、長さが正である条件へ戻ります。お子さまが答えを声に出して説明するときも、「何の辺を何の辺で割ったか」まで言えると、数字だけの暗記から一歩進めます。角を一つ選び直すたび、辺の役割も図から選び直します。