共通テスト物理基礎の運動グラフ｜傾きと面積から移動の様子を読み分ける｜武蔵野個別指導塾

正負にまたがる速度グラフを区間ごとに読み、変位と移動距離を求めて、初期位置から終点の位置を確かめます。

よくあるのは、速度グラフの面積の符号に迷う机で、時間軸より下の三角形を足すべきか引くべきか手が止まる場面です。面積を求める計算が合っていても、問われた量が変位か移動距離かで答えは変わります。まず正の向きと出発位置を決め、各区間で物体がどちらへ進んだかを言葉にしてから図形の計算に進みましょう。以下の資料と数値は練習用に作ったものです。

図から何を選び取るか

運動のグラフを読む型の1つは、位置と時刻のグラフから速度を比べることです。同じ時間に位置がどれだけ変わるかを調べます。線が高い位置にあることと、速く進むことは別です。線の傾きが速度に対応するので、位置が負でも右上がりなら速度は正です。

もう1つは、速度と時刻のグラフから一定時間の変位や移動距離を求めることです。時間軸の上の部分は正向き、下の部分は負向きの変位として数えます。道のりを問われたら各部分の大きさを加えます。正と負を相殺すると、往復した長さが消えてしまいます。

さらに、速度の図から位置の図を選ぶ場合には、最初の位置と各区間の変位をつなぎます。速度が0の時刻は位置が0の時刻とは限りません。グラフの縦軸、単位、時間の区切りを先に見て、位置の高さを読む問題なのか、傾きや面積を使う問題なのかを決めます。

位置、速度、面積の役割

一直線上に原点を決め、右向きを正とします。位置は原点から向きを含めて表した座標です。位置の変化である変位は、終わりの位置から始めの位置を引いて求めます。負の変位は、指定した正の向きと反対に位置が変わったことを表します。移動距離は実際に通った道の長さなので、向きによる負の符号は付けません。

図1のように、位置の変化を経過時間で割ったものが、その区間の平均の速度です。位置のグラフが直線なら、その傾きは一定の速度を表します。縦軸が m、横軸が s なら、傾きの単位は m/s です。右下がりの直線は、時刻が進むにつれて位置が減るので負の速度です。傾きの絶対値が大きいほど速さは大きくなります。

図1の2本の直線では、正の向きと負の向きの区別を傾きで見ます。水平な位置グラフなら位置が変わらず、速度は0です。一方、速度グラフが水平な場合は速度が一定という意味であり、その高さが0でなければ物体は動いています。同じ「水平」でも縦軸の量により意味が違います。

速度が一定の区間では、変位は速度に時間を掛けた値です。速度が直線的に変化する区間では、その区間の平均速度は両端の速度の平均です。これに時間を掛けると、速度グラフと時間軸にはさまれた三角形や台形の符号付きの面積になります。面積といっても単位は m² ではありません。縦軸の m/s と横軸の s を掛けるため、結果は m です。

速度が正から負へ変わる区間は、速度0の時刻で分けます。上側と下側を別々に計算し、変位なら符号を付けて合計、移動距離ならそれぞれの大きさを合計します。位置を求めるには、最後にその変位を始めの位置に加えます。面積だけでは原点からの位置は決まりません。

基本例題：折り返す台車の位置

一直線上の台車について、右向きを正、原点を位置0 mとします。時刻0 sの位置は2 mです。速度は0 sに0 m/s、4 sに4 m/s、8 sに0 m/s、10 sに-2 m/sとなり、その間はそれぞれ直線的に変化します。0 sから10 sの変位、移動距離、10 sの位置をそれぞれ整数と単位で求めてください。

図2のように、速度の線と時間軸で囲まれる部分を時間ごとに分けます。0 sから8 sまでは軸の上、8 sから10 sまでは軸の下です。各三角形の底辺は時間、高さは速度の大きさです。

図2の0 sから4 sの変位は、底辺4 s、高さ4 m/sの三角形から、4 × 4 ÷ 2 = 8 mです。4 sから8 sも底辺4 s、高さ4 m/sなので、4 × 4 ÷ 2 = 8 mです。どちらも速度が正のため、正向きの変位として足します。

8 sから10 sでは速度が負です。三角形の面積の大きさは2 × 2 ÷ 2 = 2 mですが、変位は-2 mとします。したがって全体の変位は8 + 8 − 2 = 14 mです。移動距離は向きに関係なく進んだ長さを足し、8 + 8 + 2 = 18 mです。始めの位置が2 mなので、10 sの位置は2 + 14 = 16 mです。

答えを運動に戻すと、8 sには2 + 8 + 8 = 18 mの位置にあり、そこから負向きへ2 m進んで16 mです。実際に通った長さは正向きに16 m、戻る長さが2 mなので18 mとなり、面積の計算と一致します。終点の位置16 mをそのまま移動距離にしないのは、出発点が原点ではなく、途中で向きも変わるからです。

条件が変わるときの分かれ目

別の物体が一直線上を動きます。右向きを正とし、0 sの位置を5 mとします。速度は0 sに3 m/s、6 sに-3 m/sで、その間は直線的に変化します。0 sから6 sの変位と移動距離、6 sの位置を整数と単位で求めてください。また、この間に原点へ達するかを答えてください。

速度は6 sで6 m/s減るため、1 sあたり1 m/sずつ減ります。3 m/sから0 m/sになるのは3 sです。この時刻を境に向きが変わります。前半の変位は3 × 3 ÷ 2 = 9/2 m、後半の変位は-(3 × 3 ÷ 2) = -9/2 mです。合わせた変位は0 m、移動距離は9/2 + 9/2 = 9 mです。6 sの位置は5 + 0 = 5 mになります。

原点へ達するかは、終点の位置だけでは判断できません。0 sから3 sは正向きへ進み、位置は5 mから5 + 9/2 = 19/2 mへ増えます。3 sから6 sは負向きへ戻りますが、最終位置は5 mです。位置の最小値は5 mなので、この間に原点へは達しません。元の場面に戻すと、前半に9/2 m進み、後半に同じ距離を戻るため、出発位置と終点が一致します。

ここで速度の傾きが負であることは、位置が常に減ることを意味しません。前半の速度は正なので、速さが小さくなりながらも位置は増えます。後半は速度が負なので位置が減ります。位置グラフにすると、3 sまでは右上がりでだんだん傾きが緩くなり、3 sで水平になった後は右下がりになります。速度グラフをそのまま位置グラフに写すのではなく、各時刻の速度を位置グラフの傾きに対応させます。

間違いを図に戻して直す

図3のように、正の部分が6 m、負の部分の大きさが2 mの速度グラフを考えます。誤って変位を8 mとした場合、上下の面積をどちらも正の長さとして足したことが原因です。変位は6 − 2 = 4 mと直します。8 mはこの区間の移動距離です。面積の大きさ自体は正しくても、求める量への割り当てが違っています。

図3では、軸より下の部分を赤い領域として示しています。時間が負なのではなく、速度が負です。時間は左から右へ進み、その間の変位の向きが反対になります。時間軸より下にある長方形の高さをそのまま負の速度と考えると、負の変位になる理由を追えます。

別の誤りは、速度0の点を位置0の点とすることです。速度0はその瞬間の位置グラフの傾きが0という情報で、原点からの位置は示しません。始めの位置とそこまでの変位を足して、その点の位置を求めます。また、位置グラフで線が原点より下にあるというだけで速度を負にしてはいけません。位置が負でも、時刻とともに線が上がれば速度は正です。

図が途中で切れていたり、目盛りや単位が欠けていたりするときは、見えている線の形だけから数値を決められません。必要な軸、区間の端、初期位置を確認し、与えられていない量は未確定のままにします。折り返しの時刻が軸の目盛りにない場合も、直線的な変化という条件があれば比で求め、条件がなければ勝手に中点に置かないことが大切です。

自分で読む4問

次の4問はそれぞれ独立した自作問題です。一直線上で右向きを正とし、指定のない区間では速度または位置が直線的に変化するものとします。数値は整数または正確な分数で、単位を付けて答えてください。

1. 物体Aの位置は1 sに-4 m、5 sに8 mです。この区間の速度と移動距離を求め、進む向きを答えてください。
2. 物体Bは0 sの位置が-3 mで、0 sから3 sまで速度2 m/s、3 sから5 sまで速度-1 m/sで動きます。0 sから5 sの変位、移動距離、5 sの位置を求めてください。
3. 物体Cの速度は0 sに-4 m/s、4 sに2 m/sです。速度が0になる時刻、0 sから4 sの変位と移動距離を求めてください。
4. 物体Dは0 sの位置が4 mです。0 sから2 sまで速度が1 m/sから3 m/sへ直線的に増え、2 sから4 sまで3 m/sで動きます。2 sと4 sの位置を求め、各区間の位置グラフの傾きがどう変わるかを答えてください。

解答と、場面に戻す確認

1. 位置の変化は8 − (-4) = 12 m、経過時間は5 − 1 = 4 sです。速度は12 ÷ 4 = 3 m/sで正向きです。直線的な位置の変化なので途中で向きは変わらず、移動距離は12 mです。-4 mから正向きへ3 m/sで4 s進むと-4 + 3 × 4 = 8 mとなり、終点に戻ります。負の位置から始まっても速度は正です。

2. 最初の変位は2 × 3 = 6 m、次は-1 × 2 = -2 mです。全体の変位は6 − 2 = 4 m、移動距離は6 + 2 = 8 m、終点は-3 + 4 = 1 mです。3 sには-3 + 6 = 3 mにいて、そこから負向きへ2 m進むと1 mです。通過した道の長さも6 mと2 mの合計で8 mです。

3. 速度は4 sで6 m/s増えます。-4 m/sから0 m/sまでの変化は全体の4/6なので、時刻は4 × 4/6 = 8/3 sです。残りの時間は4 − 8/3 = 4/3 sです。前半の変位は-(8/3 × 4 ÷ 2) = -16/3 m、後半は4/3 × 2 ÷ 2 = 4/3 mです。変位は-16/3 + 4/3 = -4 m、移動距離は16/3 + 4/3 = 20/3 mです。速度が0となる時刻を元の直線的な変化に戻すと、-4 + (6/4) × (8/3) = 0 m/sです。負向きに16/3 m進んで正向きに4/3 m戻るので、変位と道の長さも条件に合います。

4. 0 sから2 sの平均速度は(1 + 3) ÷ 2 = 2 m/sです。変位は2 × 2 = 4 mなので、2 sの位置は4 + 4 = 8 mです。次の2 sの変位は3 × 2 = 6 mで、4 sの位置は8 + 6 = 14 mです。位置グラフは前半で正の傾きが次第に大きくなり、後半は正の一定の傾きの直線です。位置の増加を区間ごとに戻すと8 − 4 = 4 m、14 − 8 = 6 mとなり、それぞれ速度グラフの面積と一致します。

図の選択肢を比べる手順

複数の位置グラフから運動に合うものを選ぶときは、最初に与えられた位置を通る候補を残します。次に速度の正負に合わせて、位置の線が上がるか下がるかを見ます。速度の大きさが変わる区間では、位置の線の傾きの大きさが変わる向きも比べます。最後に区間ごとの面積から位置を計算し、候補の端点と照合します。

例えば速度が正のまま小さくなると、位置は増え続けますが、位置グラフの上がり方は緩くなります。速度が一定の負の値なら、位置グラフは一定の傾きで下がる直線です。傾きが負という情報と、傾きの大きさが増えるという情報を別々に読むと、下降中に速さが増す場合も区別できます。

選択肢の端点が合っても、途中で折り返す向きが違えば同じ運動ではありません。逆に線の形が似ていても、最初の位置が違えば別の位置グラフです。区間の途中、境目、終点の順に根拠を照合すると、見た目の印象だけで選ぶ失敗を減らせます。

手元に残す要点

位置の傾きは速度、速度と時間の間の符号付き面積は変位です。
移動距離は向きごとの移動の大きさを足します。
位置は始めの位置に変位を加えて求めます。
向きが変わるところで区間を分けます。

つまずいた場所を見つけるには

答えが違ったときは、最終値だけを消さずに、各区間の矢印と面積の符号を見直します。位置を間違えたなら、変位に初期位置を足したかを確かめます。距離を間違えたなら、折り返し後の長さを引いていないかを調べます。式に単位を書き添えると、速度と位置を取り違えた箇所も見つけやすくなります。

個別指導で確かめる際には、図の1区間を指して、その間に位置が増えるか減るかを先に説明してみます。次に、その判断と計算した面積の符号が一致するかを見ます。位置の図と速度の図を往復できれば、同じ運動を別の軸から読み直せます。